Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal
Comprendre le Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal
Considérez un circuit RL série composé d’une résistance R et d’une bobine d’inductance L, connecté à une source de tension alternative \(V(t) = V_m \sin(\omega t)\), où \(V_m\) est l’amplitude de la tension, \(\omega\) est la vitesse angulaire de la source de tension, et t est le temps.
Données:
- Amplitude de la tension source: \(V_m = 120\,V\)
- Fréquence de la source de tension: f = 60 Hz
- Résistance R: 8 \(\Omega\)
- Inductance L: 0.15 H
Questions:
1. Calculez la vitesse angulaire \(\omega\) de la source de tension.
2. Déterminez la réactance inductive \(X_L\) du circuit.
3. Calculez l’impédance totale Z du circuit.
4. Déterminez l’amplitude du courant total \(I_m\) dans le circuit.
5. Calculez la phase \(\phi\) entre la tension source et le courant.
6. Déterminez les expressions de la tension aux bornes de la résistance \(V_R(t)\) et de l’inductance \(V_L(t)\).
7. Calculez la puissance active P, la puissance réactive Q, et la puissance apparente S consommées par le circuit.
Correction : Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal
1. Vitesse angulaire \(\omega\) de la source de tension
La vitesse angulaire \(\omega\) se calcule par la formule
\[ \omega = 2\pi f \]
Avec une fréquence f = 60 Hz, on obtient:
\[ \omega = 2 \times \pi \times 60 \] \[ \omega = 376.99\,\text{rad/s} \]
2. Réactance inductive \(X_L\) du circuit
La réactance inductive \(X_L\) est donnée par
\[ X_L = \omega L \]
En substituant les valeurs données:
\[ X_L = 376.99 \times 0.15 \] \[ X_L = 56.55\,\Omega \]
3. Impédance totale \(Z\) du circuit
L’impédance totale \(Z\) est calculée avec
\[ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \] \[ Z = \sqrt{8^2 + 56.55^2} \] \[ Z = 57.11\,\Omega \]
4. Amplitude du courant total \(I_m\) dans le circuit
L’amplitude du courant \(I_m\) se trouve par
\[ I_m = \frac{V_m}{Z} \] \[ I_m = \frac{120}{57.11} = 2.10\,A \]
5. Phase \(\phi\) entre la tension source et le courant
La phase \(\phi\) est déterminée par
\[ \tan(\phi) = \frac{X_L}{R} \]
\[ \phi = \arctan\left(\frac{56.55}{8}\right) \] \[ \phi = 1.43\,\text{radians} \]
ou 1.43 radians correspond à environ 82.01°.
6. Puissance active P, puissance réactive Q, et puissance apparente S
Puissance active P:
\[ P = I_{\text{rms}}^2 R \] \[ P = \left(\frac{2.10}{\sqrt{2}}\right)^2 \times 8 \] \[ P = 17.66\,W \]
Puissance réactive Q:
\[ Q = I_{\text{rms}}^2 X_L \] \[ Q = \left(\frac{2.10}{\sqrt{2}}\right)^2 \times 56.55 \] \[ Q = 124.83\,VAR \]
Puissance apparente S:
\[ S = I_{\text{rms}} \times V_{\text{rms}} \] \[ S = \frac{2.10}{\sqrt{2}} \times \frac{120}{\sqrt{2}} \] \[ S = 126.07\,VA \]
Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal
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