Compensation de l'Énergie Réactive d'une Installation Industrielle
Contexte : L'optimisation énergétique.
Une installation industrielle, principalement composée de moteurs asynchrones, est connectée à un réseau triphasé 400V - 50Hz. Ces charges inductives consomment de l'énergie réactiveÉnergie "non utile" échangée entre la source et les charges inductives/capacitives, nécessaire à la création des champs magnétiques., ce qui dégrade le facteur de puissanceRapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (totale). Un facteur proche de 1 indique une utilisation efficace de l'énergie. global de l'installation. Un mauvais facteur de puissance entraîne des pénalités financières de la part du fournisseur d'électricité et augmente les pertes par effet Joule dans les câbles. L'objectif est de ramener ce facteur de puissance à une valeur acceptable en installant une batterie de condensateurs.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une problématique courante en électrotechnique industrielle. Il permet d'appliquer les concepts du triangle des puissances et des nombres complexes pour résoudre un problème concret d'efficacité énergétique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S) d'une installation.
- Comprendre et calculer le facteur de puissance (cos φ).
- Déterminer la puissance réactive de compensation nécessaire pour atteindre un objectif.
- Dimensionner la batterie de condensateurs (calcul de la capacité C).
- Évaluer le gain en termes de courant appelé sur le réseau.
Données de l'étude
Schéma de l'installation avant compensation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de ligne du réseau | U | 400 | V |
| Fréquence | f | 50 | Hz |
| Puissance active totale | P | 150 | kW |
| Facteur de puissance initial | cos φ₁ | 0.75 (inductif) | - |
| Facteur de puissance cible | cos φ₂ | 0.93 (inductif) | - |
Questions à traiter
- Calculer la puissance apparente S₁ et la puissance réactive Q₁ consommées par l'installation avant compensation.
- Calculer la puissance réactive finale Q₂ une fois le facteur de puissance amélioré à 0.93.
- En déduire la puissance réactive Qᴄ que la batterie de condensateurs doit fournir.
- Déterminer la capacité C de chaque condensateur nécessaire, en supposant un couplage en triangle.
- Calculer le courant de ligne I₁ (avant compensation) et I₂ (après compensation). Conclure sur l'intérêt de l'opération.
Les bases : Le Triangle des Puissances
En régime sinusoïdal, les puissances en jeu peuvent être représentées par un triangle rectangle, qui est un outil fondamental en électrotechnique.
1. Relations fondamentales
Les relations entre ces puissances découlent directement de la trigonométrie :
\[ P = S \cdot \cos(\varphi) \quad | \quad Q = S \cdot \sin(\varphi) \quad | \quad S = \sqrt{P^2 + Q^2} \]
On en déduit une relation très utile liant la puissance réactive et la puissance active :
\[ Q = P \cdot \tan(\varphi) \]
2. Compensation d'énergie réactive
La compensation consiste à fournir localement la puissance réactive Qᴄ à l'aide de condensateurs pour réduire celle appelée au réseau. La puissance active P, liée au travail utile, reste inchangée. La puissance réactive à compenser est :
\[ Q_{\text{C}} = Q_{\text{1}} - Q_{\text{2}} = P (\tan\varphi_{\text{1}} - \tan\varphi_{\text{2}}) \]
Pour une batterie de condensateurs triphasée couplée en triangle :
\[ Q_{\text{C}} = 3 \cdot U^2 \cdot C \cdot \omega \quad \text{avec} \quad \omega = 2\pi f \]
Correction : Compensation de l'Énergie Réactive d'une Installation Industrielle
Question 1 : Calcul des puissances S₁ et Q₁ initiales
Principe
Le concept physique ici est la conservation et la distribution de l'énergie dans un circuit électrique. La puissance fournie par la source (puissance apparente S) se décompose en une partie qui produit un travail (puissance active P) et une partie qui soutient les champs magnétiques (puissance réactive Q). Nous allons quantifier ces deux dernières à partir des données initiales.
Mini-Cours
Le triangle des puissances est la représentation géométrique des puissances en régime sinusoïdal. La puissance active P est sur l'axe des réels, la puissance réactive Q sur l'axe des imaginaires, et la puissance apparente S est l'hypoténuse. L'angle φ entre P et S représente le déphasage courant-tension. Connaître deux de ces éléments permet de trouver tous les autres.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours d'identifier clairement les données d'entrée (ici P et cos φ₁) et ce que l'on cherche (S₁ et Q₁). Visualiser le triangle des puissances est une excellente stratégie pour ne pas se tromper de formule trigonométrique.
Normes
Les calculs de puissance et de facteur de puissance sont standardisés au niveau international par des organismes comme la Commission Électrotechnique Internationale (IEC), notamment dans la norme IEC 60038 pour les tensions normalisées.
Formule(s)
Formule de la puissance apparente :
Formule de la puissance réactive :
Hypothèses
Pour appliquer ces formules, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le réseau est parfaitement sinusoïdal et équilibré.
- Les charges de l'installation sont linéaires.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active | P | 150 | kW |
| Facteur de puissance | cos φ₁ | 0.75 | - |
Astuces
Pour calculer tan(φ) directement à partir de cos(φ) sans calculer l'angle, on peut utiliser l'identité trigonométrique \( \tan(\varphi) = \frac{\sqrt{1 - \cos^2(\varphi)}}{\cos(\varphi)} \). Cela peut réduire les erreurs d'arrondi.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances initial (S₁, P, Q₁)
Calcul(s)
Calcul de la puissance apparente S₁ :
Calcul de l'angle de déphasage initial φ₁ :
Calcul de la puissance réactive Q₁ :
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances initial quantifié
Réflexions
Le résultat montre que pour 150 kW de puissance utile, l'installation "emprunte" en permanence 132.29 kVAR au réseau. Cette puissance réactive est presque aussi grande que la puissance active, ce qui est très inefficace et justifie une action de compensation.
Points de vigilance
Ne jamais additionner arithmétiquement les puissances P et Q. C'est une addition vectorielle. L'erreur classique est de faire S = P + Q au lieu de \( S = \sqrt{P^2 + Q^2} \).
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Décomposition de la puissance apparente en ses composantes active et réactive.
- Formule Essentielle : \( S = P / \cos(\varphi) \) et \( Q = P \cdot \tan(\varphi) \).
Le saviez-vous ?
Le premier à avoir formalisé les notions de puissances en régime alternatif est Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric, à la fin du 19ème siècle. Ses travaux sur les nombres complexes ont révolutionné l'analyse des circuits AC.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la puissance active était de 200 kW avec le même cos φ₁, quelle serait la nouvelle puissance réactive Q₁ ?
Question 2 : Calcul de la puissance réactive finale Q₂
Principe
L'installation de condensateurs en parallèle ne change pas la puissance active P consommée par les machines. L'objectif est de réduire le déphasage (donc d'augmenter cos φ) pour diminuer la puissance réactive Q appelée au réseau. Nous calculons cette nouvelle puissance réactive cible Q₂.
Mini-Cours
Le but de la compensation est de réduire l'angle φ (φ₂ < φ₁). En observant le triangle des puissances, on voit que si P reste constant, réduire φ diminue mathématiquement la longueur du côté opposé, qui est Q. La nouvelle puissance apparente S₂ sera également plus faible.
Remarque Pédagogique
La démarche est exactement la même que pour la question 1, mais en utilisant la valeur cible du facteur de puissance. C'est un excellent moyen de vérifier que la méthode est bien acquise.
Normes
Les fournisseurs d'électricité, via leurs conditions générales de vente, imposent souvent un facteur de puissance minimum (souvent 0.93 ou tan φ < 0.4) au-delà duquel des pénalités sont appliquées. Notre objectif de 0.93 est donc une exigence réglementaire et contractuelle courante.
Formule(s)
Hypothèses
L'hypothèse principale ici est que la puissance active P de l'installation reste constante, ce qui est vrai car la charge mécanique des moteurs ne change pas. On suppose aussi que la batterie de condensateurs sera parfaitement dimensionnée.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active | P | 150 | kW |
| Facteur de puissance cible | cos φ₂ | 0.93 | - |
Astuces
Pour comparer rapidement deux situations, on peut se rappeler que tan(φ) est directement proportionnel à Q (pour P constant). En passant de cos φ = 0.75 à 0.93, on sait que l'angle φ diminue, donc tan(φ) diminuera aussi, et par conséquent Q diminuera.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances visé (S₂, P, Q₂)
Calcul(s)
Calcul du nouvel angle φ₂ :
Calcul de la nouvelle puissance réactive Q₂ :
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances final quantifié
Réflexions
Après compensation, le réseau n'aura plus à fournir que 59.28 kVAR, contre 132.29 kVAR initialement. La différence sera fournie localement par les condensateurs. On a donc réduit de plus de moitié la puissance réactive transitant dans les câbles d'alimentation.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour les calculs trigonométriques, et non en "radians" ou "grades", une source d'erreur fréquente.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La puissance active P ne change pas lors de la compensation.
- Méthode : Le calcul de la nouvelle puissance réactive Q₂ est identique au calcul de Q₁, en utilisant le nouveau cos φ₂.
Le saviez-vous ?
Certaines installations modernes utilisent des compensateurs d'énergie réactive statiques (SVC) ou des filtres actifs (STATCOM) basés sur l'électronique de puissance. Ils permettent un ajustement beaucoup plus rapide et précis de la compensation que les batteries de condensateurs commutées par gradins.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'objectif était un cos φ de 0.96, quelle serait la valeur de Q₂ ?
Question 3 : Calcul de la puissance réactive de compensation Qᴄ
Principe
Le principe physique est celui de la superposition des puissances en un nœud. La puissance réactive totale demandée par l'installation (Q₁) est désormais fournie par deux sources en parallèle : le réseau (qui fournit Q₂) et la batterie de condensateurs (qui fournit Qᴄ). La puissance réactive du condensateur est donc la part que le réseau n'a plus à fournir.
Mini-Cours
Les condensateurs sont des éléments qui fournissent de l'énergie réactive (par convention, leur puissance réactive est négative), tandis que les bobines (moteurs) en consomment (puissance réactive positive). En plaçant un condensateur en parallèle, sa puissance réactive "annule" une partie de la puissance réactive de la charge inductive, réduisant ainsi la demande globale sur le réseau.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est une simple soustraction. L'important est de bien comprendre ce qu'elle représente : Qᴄ n'est pas une puissance consommée ou perdue, c'est une puissance qui sera échangée localement entre les condensateurs et les moteurs, soulageant d'autant le réseau électrique en amont.
Normes
Les batteries de condensateurs elles-mêmes sont normalisées (par ex. IEC 60831). Les fabricants proposent des "gradins" de puissances normalisées (ex: 10, 25, 50 kVAR). Dans la pratique, on choisit le gradin standard immédiatement supérieur à la valeur calculée.
Formule(s)
Ou la formule directe :
Hypothèses
Nous supposons que les condensateurs sont parfaits, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas de pertes actives (résistance interne nulle). C'est une approximation très proche de la réalité.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance réactive initiale | Q₁ | 132.29 | kVAR |
| Puissance réactive finale | Q₂ | 59.28 | kVAR |
Astuces
La formule \( Q_C = P (\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2) \) est très pratique car elle évite de calculer Q₁ et Q₂ séparément. On peut calculer les deux tangentes directement à partir des cos φ et faire une seule application numérique.
Schéma (Avant les calculs)
Superposition des triangles de puissance
Calcul(s)
Calcul de la puissance réactive à compenser :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de la compensation
Réflexions
La valeur de 73.01 kVAR représente la taille de la batterie de condensateurs à installer. Dans un catalogue de fournisseur, on choisirait probablement la valeur standard la plus proche, par exemple une batterie de 75 kVAR, ce qui améliorerait le facteur de puissance légèrement au-delà de l'objectif.
Points de vigilance
Attention au signe. Une charge inductive consomme Q > 0. Un condensateur fournit Q, ce qui est équivalent à consommer un Q < 0. La puissance réactive de la batterie de condensateurs est bien positive (elle doit fournir 73.01 kVAR), mais son impédance est négative ( -jX ). Ne pas confondre les deux concepts.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : La puissance de compensation est la différence entre la puissance réactive avant et après.
- Formule Essentielle : \( Q_C = Q_1 - Q_2 \).
Le saviez-vous ?
Un excès de compensation (trop de condensateurs) peut être dangereux. Si Qᴄ > Q₁, l'installation devient globalement capacitive, ce qui peut provoquer des surtensions sur le réseau, surtout en cas de faible charge. C'est pourquoi les batteries sont souvent automatiques et s'adaptent à la charge.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'installation consommait 100 kVAR et que l'on visait 40 kVAR, quelle serait la puissance Qᴄ de la batterie ?
Question 4 : Calcul de la capacité C des condensateurs (couplage triangle)
Principe
La capacité d'un condensateur est sa propriété physique intrinsèque à stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. La puissance réactive qu'il peut échanger dépend de cette capacité, de la tension à ses bornes et de la fréquence. Nous allons utiliser la relation qui lie ces grandeurs pour trouver C.
Mini-Cours
L'impédance d'un condensateur est \( Z_{\text{C}} = \frac{1}{jC\omega} \). La puissance réactive est \( Q_{\text{C}} = \frac{U_{\text{C}}^2}{X_{\text{C}}} \) où \( X_{\text{C}} = \frac{1}{C\omega} \) est la réactance. En triphasé et couplage triangle, la tension aux bornes de chaque condensateur (\(U_{\text{C}}\)) est la tension de ligne U, et la puissance totale est trois fois la puissance par phase.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape où la théorie de l'électrotechnique rejoint la conception de matériel. Le calcul de C permet de choisir un composant physique réel dans un catalogue de fabricant. Il est crucial de bien maîtriser les formules triphasées.
Normes
Les valeurs de capacité des condensateurs de puissance sont également standardisées en séries normalisées (par exemple, la série E12). Après calcul, on choisit la valeur disponible la plus proche qui convient.
Formule(s)
Formule de la puissance réactive d'une batterie triangle :
Formule de la capacité C isolée :
Hypothèses
On suppose que le couplage est en triangle. Si le couplage était en étoile, la tension aux bornes de chaque condensateur serait la tension simple \( V = U / \sqrt{3} \), et la formule changerait. Le couplage triangle est le plus courant pour la compensation BT.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance de compensation | Qᴄ | 73010 | VAR |
| Tension de ligne | U | 400 | V |
| Fréquence | f | 50 | Hz |
Astuces
Pour les réseaux 50 Hz, la pulsation \( \omega = 2\pi f \) vaut environ 314.16 rad/s. C'est une valeur à connaître par cœur pour gagner du temps dans les calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Couplage triangle des condensateurs
Calcul(s)
Calcul de la capacité C :
Conversion du résultat en microfarads (µF) :
Schéma (Après les calculs)
Couplage triangle avec valeurs de capacité
Réflexions
Une capacité de 484 µF est une valeur significative pour un condensateur de puissance. Ce n'est pas un petit composant électronique. Cela montre l'échelle des composants nécessaires pour manipuler des puissances industrielles.
Points de vigilance
Ne pas oublier le facteur 3 dans la formule pour le triphasé. Une autre erreur courante est d'oublier le carré sur la tension U².
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : La puissance réactive d'un condensateur est proportionnelle au carré de la tension et à la fréquence.
- Formule Essentielle (Triangle) : \( Q_C = 3 U^2 C \omega \).
Le saviez-vous ?
Les condensateurs de puissance contiennent un film diélectrique (souvent du polypropylène métallisé) qui a la capacité de se "régénérer". Si un petit claquage se produit, la chaleur vaporise la fine couche de métal autour du défaut, l'isolant et empêchant un court-circuit complet.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le réseau était en 230V triphasé, quelle serait la capacité C nécessaire pour la même Qᴄ ?
Question 5 : Calcul des courants I₁ et I₂ et conclusion
Principe
Le courant de ligne total appelé par l'installation est directement proportionnel à sa puissance apparente S. Puisque nous avons réduit S (de S₁ à S₂) tout en gardant P constant, le courant de ligne doit logiquement diminuer. Nous allons quantifier cette diminution.
Mini-Cours
En triphasé équilibré, la puissance apparente est donnée par \( S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \). C'est la formule la plus importante pour lier la puissance (en VA) au courant (en A) dans un réseau triphasé. Le facteur √3 vient des relations vectorielles des tensions et courants triphasés.
Remarque Pédagogique
Ce dernier calcul est la justification économique principale de la compensation. Moins de courant signifie moins de pertes en ligne (\( P_{\text{pertes}} = R \cdot I^2 \)) et la possibilité d'utiliser des câbles de section plus faible, ou de raccorder plus de machines sur une ligne existante.
Normes
Le courant calculé I₂ permet de vérifier que la section des câbles d'alimentation est toujours conforme aux normes d'installation (par exemple, la NF C 15-100 en France), qui définissent le courant maximal admissible pour une section de câble donnée.
Formule(s)
Formule du courant en triphasé :
Hypothèses
On suppose que la tension du réseau U=400V reste stable et ne s'effondre pas avec le courant appelé, ce qui est une hypothèse raisonnable pour un réseau industriel.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance apparente initiale | S₁ | 200000 | VA |
| Facteur de puissance cible | cos φ₂ | 0.93 | - |
| Tension de ligne | U | 400 | V |
Astuces
Retenez la valeur \( \sqrt{3} \approx 1.732 \). La valeur \( U \cdot \sqrt{3} \) pour un réseau 400V est d'environ 693. C'est un calcul qui revient très souvent en triphasé.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation après compensation
Calcul(s)
Calcul du courant \(I_{\text{1}}\) (avant compensation) :
Calcul de la nouvelle puissance apparente \(S_{\text{2}}\) :
Calcul du courant \(I_{\text{2}}\) (après compensation) :
Schéma (Après les calculs)
Le schéma le plus parlant après ces calculs serait un diagramme à barres comparant le courant avant et après compensation, pour visualiser directement le gain.
Comparaison des courants de ligne
Réflexions
La compensation de l'énergie réactive a permis de réduire le courant de ligne de 288.7 A à 232.8 A, soit une diminution de 55.9 A (près de 20%). Cette réduction a plusieurs avantages économiques et techniques majeurs :
- Réduction des pertes par effet Joule dans les câbles d'alimentation (proportionnelles à I²).
- Diminution de la facture d'électricité (suppression des pénalités pour mauvais facteur de puissance).
- Augmentation de la puissance active disponible sur la même installation sans changer les câbles ou le transformateur.
Points de vigilance
Toujours utiliser la puissance apparente S (en VA) pour calculer le courant, jamais la puissance active P (en W), sauf si le facteur de puissance est de 1. C'est une erreur très courante.
Points à retenir
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Le courant de ligne est proportionnel à la puissance apparente S.
- Impact : Améliorer le cos φ réduit S, et donc réduit I, ce qui diminue les pertes et les coûts.
Le saviez-vous ?
La plus grande installation de compensation d'énergie réactive au monde est le STATCOM de la station de conversion d'East-West Interconnector en Irlande, capable de fournir ou d'absorber 225 MVAR pour stabiliser le réseau électrique de l'île.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la réduction de courant en pourcentage si on passait d'un cos φ de 0.7 à 0.98 ?
Outil Interactif : Simulateur de Compensation
Utilisez les curseurs pour faire varier la puissance active de l'installation et son facteur de puissance initial. Le simulateur calcule en temps réel la compensation nécessaire pour atteindre un cos φ de 0.93 et l'impact sur le courant.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour cos φ₂ = 0.93)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. À quoi sert principalement l'énergie réactive dans une charge inductive comme un moteur ?
2. Quelle est l'unité de la puissance réactive ?
3. Pour une puissance active P constante, si on améliore le facteur de puissance de 0.7 à 0.95, le courant de ligne va :
4. Comment sont branchés les condensateurs de compensation par rapport à l'installation ?
5. La formule \( Q_C = P (\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2) \) permet de calculer :
Glossaire
- Énergie Réactive (Q)
- Énergie échangée périodiquement entre la source et les charges inductives ou capacitives. Elle est indispensable au fonctionnement de nombreux appareils (moteurs, transformateurs) mais ne fournit pas de travail utile. Son unité est le VAR.
- Facteur de Puissance (cos φ)
- Nombre sans dimension, compris entre 0 et 1, qui représente le rapport entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Un facteur de puissance proche de 1 signifie que l'énergie électrique est utilisée de manière efficace.
- Puissance Active (P)
- La "vraie" puissance, celle qui est convertie en travail utile (mécanique, thermique, lumineux). Son unité est le Watt (W).
- Puissance Apparente (S)
- La puissance totale fournie par la source, qui inclut à la fois la puissance active et la puissance réactive. C'est la somme vectorielle de P et Q. Son unité est le Volt-Ampère (VA).
D’autres exercices d’electrotechnique:
C’est faut le S2 c’est différent le Q vaut P.teg fi2.
Le Q2 n’as pas le même S
Bonjour Lokmane,
Dans le contexte de l’exercice initial, il est implicite que la puissance apparente S reste constante à 500 kVA. Cette supposition est courante dans des exercices académiques où l’on étudie l’effet de la compensation de la puissance réactive sur le facteur de puissance, sans modification de la charge (ici, le moteur).
Si S était différent après compensation, cela signifierait que la charge elle-même a changé, ce qui n’est pas l’objectif ici. L’objectif est de modifier uniquement le facteur de puissance par ajout de capacité de compensation.
A propos de Q2:
Votre commentaire semble impliquer que la puissance apparente \( S \) devrait changer pour calculer \( Q_2 \). Cependant, dans ce cas particulier, \( Q_2 \) est recalculé en utilisant la même \( S \) mais avec un angle de déphasage différent (\( \phi_2 \)) dû à l’amélioration du facteur de puissance.
La formule pour la puissance réactive \( Q \) après compensation est correctement donnée par
\[ Q = S \times \sin(\phi) \]
avec la nouvelle valeur de \( \phi \) correspondant à \( \cos^{-1}(0.95) \).
A propos de « Q vaut P.teg fi2 »}
Votre commentaire mentionne \( P \times \tan(\phi_2) \) pour calculer \( Q_2 \), ce qui est une autre méthode valide pour trouver la puissance réactive après compensation. Cette méthode utilise la puissance active \( P \) qui reste constante (350 kW) et le nouveau facteur de puissance pour trouver \( Q_2 \).