Conception d'un Oscillateur à Pont de Wien

Les oscillateurs sont des circuits essentiels en électronique utilisés pour générer des signaux périodiques sans entrée externe. L’oscillateur à pont de Wien est un type d’oscillateur utilisé pour générer des signaux sinusoïdaux. Dans cet exercice, nous allons concevoir un oscillateur à pont de Wien simple utilisant un amplificateur opérationnel.

Objectifs

Calculer les valeurs des composants pour obtenir une fréquence de sortie désirée.
Analyser la stabilité et les conditions de démarrage de l’oscillateur.

Données

Fréquence de sortie désirée (\(f\)) : 1 kHz
Gain de boucle fermée requis (\(K\)) : 3 (pour le démarrage et l'oscillation stable)
Tension d’alimentation de l’amplificateur opérationnel : ±15 V
Résistance choisie pour le pont : \(R = 10 \, \text{k}\Omega\)

Questions

Calcul des composants R et C : La fréquence d’oscillation pour un oscillateur à pont de Wien (avec \(R_1=R_2=R\) et \(C_1=C_2=C\)) est donnée par la formule : \[ f = \frac{1}{2 \pi R C} \] Choisissez \(R=10 \, \text{k}\Omega\) et calculez la valeur de \(C\) nécessaire pour obtenir \(f = 1\) kHz.
Analyse de la condition de démarrage : Pour que l’oscillateur à pont de Wien démarre et maintienne une oscillation stable, le gain en boucle fermée de l'amplificateur non-inverseur (\(K\)) doit être exactement 3. Ce gain est contrôlé par le réseau de rétroaction composé de deux résistances, \(R_f\) (ou \(R_1\)) et \(R_i\) (ou \(R_2\)), avec \(K = 1 + R_f / R_i\). Déterminez la relation requise entre \(R_f\) et \(R_i\).
Évaluation de la stabilité : Discutez de l’effet d’un gain \(K\) légèrement supérieur ou inférieur à 3 sur la stabilité et l’amplitude du signal oscillant.

Correction : Conception d’un Oscillateur à Pont de Wien

1. Calcul de la Capacité C

L'oscillateur à pont de Wien utilise un réseau RC passe-bande (le pont de Wien) dans la boucle de rétroaction positive d'un amplificateur non-inverseur. Pour une conception simple où les deux résistances du pont sont égales (\(R\)) et les deux capacités sont égales (\(C\)), la fréquence d'oscillation \(f\) est déterminée par la formule \(f = \frac{1}{2 \pi R C}\). Nous devons calculer \(C\) pour une fréquence \(f = 1\) kHz en utilisant la résistance \(R = 10 \, \text{k}\Omega\) fournie.

Schéma de l'oscillateur à pont de Wien.

Données pour cette étape

Fréquence désirée : \(f = 1 \, \text{kHz} = 1000 \, \text{Hz}\)
Résistance choisie : \(R = 10 \, \text{k}\Omega = 10^4 \, \Omega\)

Calcul

Réarrangeons la formule pour trouver C :

C = \frac{1}{2 \pi R f} \] \[ \begin{aligned} C &= \frac{1}{2 \pi (10^4 \, \Omega) (1000 \, \text{Hz})} \\ C &= \frac{1}{2 \pi \times 10^7} \\ C &\approx 1.5915 \times 10^{-8} \, \text{F} \end{aligned}

Convertissons cette valeur en nanofarads (nF) : \(1 \, \text{nF} = 10^{-9} \, \text{F}\).

C \approx 15.915 \times 10^{-9} \, \text{F} \approx 15.9 \, \text{nF}

La valeur standard la plus proche serait 15 nF ou 16 nF. Si l'on doit utiliser des valeurs très courantes, 10 nF ou 22 nF pourraient être envisagées, mais cela décalerait la fréquence d'oscillation.

Résultat

La capacité \(C\) requise pour obtenir une fréquence d'oscillation de 1 kHz avec \(R = 10 \, \text{k}\Omega\) est \(C \approx 15.9 \, \text{nF}\).

2. Analyse de la Condition de Démarrage (Gain K=3)

Le pont de Wien (réseau RCRC) a un gain maximal de 1/3 à la fréquence de résonance \(f = \frac{1}{2 \pi R C}\), et le déphasage est nul à cette fréquence. Pour satisfaire le critère de Barkhausen pour l'oscillation (gain de boucle total = 1 et déphasage total = 0° ou 360°), l'amplificateur non-inverseur doit compenser l'atténuation du pont en fournissant un gain \(K\) exactement égal à 3. Ce gain est défini par les résistances de la boucle de contre-réaction négative \(R_f\) et \(R_i\) selon la formule \(K = 1 + \frac{R_f}{R_i}\).

Calcul des résistances de gain

Nous devons avoir \(K=3\), donc :

\begin{aligned} K &= 1 + \frac{R_f}{R_i} = 3 \\ \frac{R_f}{R_i} &= 3 - 1 = 2 \\ R_f &= 2 R_i \end{aligned}

Il faut donc choisir une résistance de contre-réaction \(R_f\) qui est le double de la résistance \(R_i\) connectée à la masse. Par exemple, on pourrait choisir \(R_i = 10 \, \text{k}\Omega\) et \(R_f = 20 \, \text{k}\Omega\).

Configuration du gain

La condition de démarrage exige que le gain de l'amplificateur non-inverseur soit \(K=3\). Ceci est réalisé en choisissant les résistances de contre-réaction telles que \(R_f = 2 R_i\).

Exemple de choix : \(R_i = 10 \, \text{k}\Omega\), \(R_f = 20 \, \text{k}\Omega\).

3. Évaluation de la Stabilité

La condition \(K=3\) est critique. En pratique, il est difficile d'obtenir un gain exactement égal à 3 en raison des tolérances des composants.

Si \(K < 3\) : Le gain de boucle total est inférieur à 1. Les oscillations ne peuvent pas démarrer, ou si elles existent, elles s'amortissent et disparaissent.
Si \(K > 3\) : Le gain de boucle total est supérieur à 1. Les oscillations démarrent (condition nécessaire au démarrage), mais leur amplitude augmente exponentiellement jusqu'à ce qu'elle soit limitée par la saturation de l'amplificateur opérationnel (due aux tensions d'alimentation ±15 V). Cela entraîne une distorsion du signal sinusoïdal (écrêtage).

Pour obtenir une oscillation stable avec une faible distorsion, les oscillateurs à pont de Wien pratiques incluent souvent un mécanisme de contrôle automatique de gain (AGC - Automatic Gain Control). Ce mécanisme ajuste dynamiquement le gain \(K\) pour le maintenir très proche de 3. Par exemple, on peut utiliser une petite lampe à incandescence ou des diodes en guise de résistance non linéaire dans le circuit de contre-réaction, ou un JFET comme résistance variable contrôlée par la tension de sortie redressée. Sans un tel mécanisme, un gain légèrement supérieur à 3 est nécessaire pour assurer le démarrage, mais cela conduit inévitablement à une saturation et à une distorsion de la sinusoïde.

Conclusion sur la stabilité

Un gain \(K\) légèrement inférieur à 3 empêche l'oscillation. Un gain \(K\) légèrement supérieur à 3 assure le démarrage mais conduit à la saturation de l'AOP et à la distorsion du signal. Un mécanisme de stabilisation du gain est nécessaire pour une sortie sinusoïdale pure et stable.