Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Conception d’un Réseau Électrique

Conception d’un Réseau Électrique Linéaire

Conception d’un Réseau Électrique Linéaire

Comprendre la Conception des Réseaux Électriques

La conception d'un réseau de distribution électrique pour un lotissement ou un quartier implique de s'assurer que chaque consommateur reçoit une tension adéquate tout en minimisant les pertes d'énergie et les coûts d'installation. Cela nécessite de calculer les courants circulant dans les différentes sections de la ligne, de déterminer les chutes de tension le long de ces sections, et de choisir des conducteurs de section appropriée. Une chute de tension trop importante peut entraîner un mauvais fonctionnement des appareils, tandis que des pertes excessives rendent le système inefficace. Les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm sont des outils fondamentaux pour ces calculs. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'une ligne de distribution radiale simple alimentant plusieurs charges et l'évaluation de sa performance.

Données de l'étude

Un départ (feeder) de distribution monophasé en courant continu part d'un poste de transformation (point S) et alimente trois points de charge A, B et C, situés séquentiellement le long du feeder. On considère les résistances des segments de ligne (aller et retour combinés pour chaque segment).

Caractéristiques du système :

  • Tension au départ du feeder (au point S) : \(V_S = 240 \, \text{V}\)
  • Résistance du segment de ligne SA (\(R_{SA}\)) : \(0.08 \, \Omega\)
  • Courant consommé par la charge au point A (\(I_{LA}\)) : \(35 \, \text{A}\)
  • Résistance du segment de ligne AB (\(R_{AB}\)) : \(0.12 \, \Omega\)
  • Courant consommé par la charge au point B (\(I_{LB}\)) : \(25 \, \text{A}\)
  • Résistance du segment de ligne BC (\(R_{BC}\)) : \(0.18 \, \Omega\)
  • Courant consommé par la charge au point C (\(I_{LC}\)) : \(15 \, \text{A}\)
Schéma du Réseau de Distribution Linéaire
Vs S RSA A ILA RAB B ILB RBC C ILC I_SA I_AB I_BC Réseau de Distribution Linéaire

Une source \(V_S\) alimente trois charges \(I_{LA}, I_{LB}, I_{LC}\) à travers des segments de ligne résistifs.

Questions à traiter

  1. Calculer le courant \(I_{BC}\) circulant dans le segment de ligne BC.
  2. Calculer le courant \(I_{AB}\) circulant dans le segment de ligne AB.
  3. Calculer le courant \(I_{SA}\) circulant dans le segment de ligne SA (courant total fourni par la source).
  4. Calculer la tension au point A (\(V_A\)).
  5. Calculer la tension au point B (\(V_B\)).
  6. Calculer la tension au point C (\(V_C\)).
  7. Calculer la chute de tension totale en pourcentage au point C par rapport à la tension de la source \(V_S\).
  8. Calculer la puissance perdue dans chaque segment de ligne (\(P_{perte,SA}\), \(P_{perte,AB}\), \(P_{perte,BC}\)).
  9. Calculer la puissance totale consommée par les charges (\(P_{charges,totale}\)).
  10. Calculer la puissance totale fournie par la source (\(P_S\)) et le rendement global (\(\eta\)) de la ligne de distribution.

Correction : Conception d’un Réseau Électrique Linéaire

Question 1 : Courant \(I_{BC}\) dans le segment BC

Principe :

Le segment BC alimente uniquement la charge au point C. Donc, le courant dans le segment BC est égal au courant consommé par la charge C (\(I_{LC}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{BC} = I_{LC}\]
Données spécifiques :
  • Courant consommé par la charge C (\(I_{LC}\)) : \(15 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ I_{BC} = 15 \, \text{A} \]
Résultat Question 1 : Le courant dans le segment BC est \(I_{BC} = 15 \, \text{A}\).

Question 2 : Courant \(I_{AB}\) dans le segment AB

Principe :

Le segment AB alimente la charge au point B (\(I_{LB}\)) ainsi que toutes les charges en aval du point B (ici, le segment BC qui alimente la charge C). Donc, le courant dans le segment AB est la somme du courant consommé en B et du courant circulant dans le segment BC.

Formule(s) utilisée(s) (Loi des nœuds implicite au nœud B) :
\[I_{AB} = I_{LB} + I_{BC}\]
Données spécifiques :
  • Courant consommé par la charge B (\(I_{LB}\)) : \(25 \, \text{A}\)
  • Courant dans le segment BC (\(I_{BC}\)) : \(15 \, \text{A}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{AB} &= 25 \, \text{A} + 15 \, \text{A} \\ &= 40 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le courant dans le segment AB est \(I_{AB} = 40 \, \text{A}\).

Question 3 : Courant \(I_{SA}\) dans le segment SA

Principe :

Le segment SA alimente la charge au point A (\(I_{LA}\)) ainsi que toutes les charges en aval du point A (c'est-à-dire les segments AB et BC). Donc, le courant dans le segment SA est la somme du courant consommé en A et du courant circulant dans le segment AB. Ce courant \(I_{SA}\) est aussi le courant total fourni par la source.

Formule(s) utilisée(s) (Loi des nœuds implicite au nœud A) :
\[I_{SA} = I_{LA} + I_{AB}\]
Données spécifiques :
  • Courant consommé par la charge A (\(I_{LA}\)) : \(35 \, \text{A}\)
  • Courant dans le segment AB (\(I_{AB}\)) : \(40 \, \text{A}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{SA} &= 35 \, \text{A} + 40 \, \text{A} \\ &= 75 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant dans le segment SA (courant total de la source) est \(I_{SA} = 75 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans une ligne de distribution radiale, le courant dans un segment de ligne :

Question 4 : Tension au point A (\(V_A\))

Principe :

La tension au point A est la tension à la source moins la chute de tension dans le segment SA (\(\Delta V_{SA} = R_{SA} I_{SA}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_A = V_S - R_{SA} I_{SA}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 240 \, \text{V}\)
  • \(R_{SA} = 0.08 \, \Omega\)
  • \(I_{SA} = 75 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V_{SA} &= 0.08 \, \Omega \times 75 \, \text{A} \\ &= 6.0 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_A &= 240 \, \text{V} - 6.0 \, \text{V} \\ &= 234.0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension au point A est \(V_A = 234.0 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension au point B (\(V_B\))

Principe :

La tension au point B est la tension au point A moins la chute de tension dans le segment AB (\(\Delta V_{AB} = R_{AB} I_{AB}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_B = V_A - R_{AB} I_{AB}\]
Données spécifiques :
  • \(V_A = 234.0 \, \text{V}\)
  • \(R_{AB} = 0.12 \, \Omega\)
  • \(I_{AB} = 40 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V_{AB} &= 0.12 \, \Omega \times 40 \, \text{A} \\ &= 4.8 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_B &= 234.0 \, \text{V} - 4.8 \, \text{V} \\ &= 229.2 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension au point B est \(V_B = 229.2 \, \text{V}\).

Question 6 : Tension au point C (\(V_C\))

Principe :

La tension au point C est la tension au point B moins la chute de tension dans le segment BC (\(\Delta V_{BC} = R_{BC} I_{BC}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_C = V_B - R_{BC} I_{BC}\]
Données spécifiques :
  • \(V_B = 229.2 \, \text{V}\)
  • \(R_{BC} = 0.18 \, \Omega\)
  • \(I_{BC} = 15 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V_{BC} &= 0.18 \, \Omega \times 15 \, \text{A} \\ &= 2.7 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_C &= 229.2 \, \text{V} - 2.7 \, \text{V} \\ &= 226.5 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La tension au point C est \(V_C = 226.5 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La tension disponible pour une charge située plus loin sur une ligne de distribution radiale est généralement :

Question 7 : Chute de tension totale en pourcentage au point C

Principe :

La chute de tension totale au point C est \(V_S - V_C\). Le pourcentage est calculé par rapport à \(V_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta V_{SC,total} = V_S - V_C\] \[\text{Chute en } \% = \frac{\Delta V_{SC,total}}{V_S} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 240 \, \text{V}\)
  • \(V_C \approx 226.5 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V_{SC,total} &= 240 \, \text{V} - 226.5 \, \text{V} \\ &= 13.5 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{Chute en } \% &= \frac{13.5 \, \text{V}}{240 \, \text{V}} \times 100\% \\ &= 0.05625 \times 100\% \\ &= 5.625\% \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La chute de tension totale au point C est de \(13.5 \, \text{V}\), soit \(5.625\%\) de la tension source.

Question 8 : Puissance perdue dans chaque segment de ligne

Principe :

La puissance perdue dans un segment de ligne est \(P_{perte} = R_{segment} I_{segment}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{perte} = R I^2\]
Données :
  • \(R_{SA} = 0.08 \, \Omega\), \(I_{SA} = 75 \, \text{A}\)
  • \(R_{AB} = 0.12 \, \Omega\), \(I_{AB} = 40 \, \text{A}\)
  • \(R_{BC} = 0.18 \, \Omega\), \(I_{BC} = 15 \, \text{A}\)
Calculs :
\[ \begin{aligned} P_{perte,SA} &= R_{SA} I_{SA}^2 \\ &= 0.08 \, \Omega \times (75 \, \text{A})^2 \\ &= 0.08 \times 5625 \\ &= 450 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{perte,AB} &= R_{AB} I_{AB}^2 \\ &= 0.12 \, \Omega \times (40 \, \text{A})^2 \\ &= 0.12 \times 1600 \\ &= 192 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{perte,BC} &= R_{BC} I_{BC}^2 \\ &= 0.18 \, \Omega \times (15 \, \text{A})^2 \\ &= 0.18 \times 225 \\ &= 40.5 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 :
  • \(P_{perte,SA} = 450 \, \text{W}\)
  • \(P_{perte,AB} = 192 \, \text{W}\)
  • \(P_{perte,BC} = 40.5 \, \text{W}\)

Question 9 : Puissance totale consommée par les charges (\(P_{charges,totale}\))

Principe :

La puissance consommée par chaque charge est \(P = V_{charge} I_{charge}\). La puissance totale utile est la somme de ces puissances.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{LA} = V_A I_{LA}\] \[P_{LB} = V_B I_{LB}\] \[P_{LC} = V_C I_{LC}\] \[P_{charges,totale} = P_{LA} + P_{LB} + P_{LC}\]
Données spécifiques :
  • \(V_A = 234 \, \text{V}\), \(I_{LA} = 35 \, \text{A}\)
  • \(V_B = 229.2 \, \text{V}\), \(I_{LB} = 25 \, \text{A}\)
  • \(V_C = 226.5 \, \text{V}\), \(I_{LC} = 15 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{LA} &= 234 \, \text{V} \times 35 \, \text{A} \\ &= 8190 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{LB} &= 229.2 \, \text{V} \times 25 \, \text{A} \\ &= 5730 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{LC} &= 226.5 \, \text{V} \times 15 \, \text{A} \\ &= 3397.5 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{charges,totale} &= 8190 + 5730 + 3397.5 \, \text{W} \\ &= 17317.5 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La puissance totale consommée par les charges est \(P_{charges,totale} = 17317.5 \, \text{W}\).

Question 10 : Puissance totale fournie par la source (\(P_S\)) et rendement global (\(\eta\))

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_S = V_S I_S = V_S I_{SA}\). La puissance totale perdue dans les lignes est \(P_{pertes,totales} = P_{perte,SA} + P_{perte,AB} + P_{perte,BC}\). Le rendement est \(\eta = P_{charges,totale} / P_S\). On doit aussi avoir \(P_S = P_{charges,totale} + P_{pertes,totales}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_S = V_S I_{SA}\] \[P_{pertes,totales} = P_{perte,SA} + P_{perte,AB} + P_{perte,BC}\] \[\eta = \frac{P_{charges,totale}}{P_S}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 240 \, \text{V}\), \(I_{SA} = 75 \, \text{A}\)
  • \(P_{perte,SA} = 450 \, \text{W}\)
  • \(P_{perte,AB} = 192 \, \text{W}\)
  • \(P_{perte,BC} = 40.5 \, \text{W}\)
  • \(P_{charges,totale} = 17317.5 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_S &= 240 \, \text{V} \times 75 \, \text{A} \\ &= 18000 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{pertes,totales} &= 450 \, \text{W} + 192 \, \text{W} + 40.5 \, \text{W} \\ &= 682.5 \, \text{W} \end{aligned} \]

Vérification : \(P_S = P_{charges,totale} + P_{pertes,totales} = 17317.5 \, \text{W} + 682.5 \, \text{W} = 18000 \, \text{W}\). Concordance.

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{17317.5 \, \text{W}}{18000 \, \text{W}} \\ &\approx 0.962083 \\ &\approx 96.21\% \end{aligned} \]
Résultat Question 10 :
  • Puissance totale fournie par la source : \(P_S = 18000 \, \text{W}\)
  • Rendement global de la distribution : \(\eta \approx 96.21\%\)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La chute de tension dans un segment de ligne est directement proportionnelle à :

2. Dans une ligne de distribution radiale avec plusieurs charges, le courant dans un segment proche de la source est :

3. Pour minimiser les pertes en ligne (en pourcentage) pour une puissance donnée transmise à la charge, il est préférable de :

Glossaire

Chute de Tension
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur ou d'un segment de circuit due à son impédance (ou résistance en DC) et au courant qui le traverse. \(V_{chute} = ZI\) ou \(RI\).
Ligne de Distribution Radiale
Système de distribution où la puissance s'écoule d'une source unique vers les charges le long de chemins qui ne forment pas de boucles (pas de maillage).
Feeder (Départ)
Conducteur ou ensemble de conducteurs qui distribue l'énergie électrique d'un point central (source, poste) vers des points de consommation ou des sous-réseaux.
Loi d'Ohm
Relation fondamentale \(V = RI\) liant la tension, le courant et la résistance dans un circuit électrique ou une portion de circuit.
Lois de Kirchhoff
Ensemble de deux lois (loi des nœuds et loi des mailles) qui permettent d'analyser les courants et les tensions dans les circuits électriques complexes.
Pertes en Ligne (Pertes Joule)
Puissance dissipée sous forme de chaleur dans la résistance des conducteurs d'une ligne de distribution, due au passage du courant (\(P = RI^2\)).
Optimisation de Réseau
Processus visant à améliorer l'efficacité, la fiabilité et la qualité de service d'un réseau électrique, souvent en minimisant les pertes et les chutes de tension.
Section du Conducteur
Aire de la section transversale d'un conducteur électrique. Une plus grande section implique généralement une plus faible résistance pour une longueur et un matériau donnés.
Rendement de Distribution (\(\eta\))
Rapport de la puissance utile (consommée par les charges) à la puissance totale fournie par la source. Il mesure l'efficacité de la transmission d'énergie.
Conception d’un Réseau Électrique Linéaire

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