Exercices Électricité

Conception d’un système d’éclairage

Conception d’un Système d’Éclairage

Conception d’un Système d’Éclairage

Comprendre la Conception d’un Système d’Éclairage LED

La conception d'un système d'éclairage à LEDs alimenté par une source de courant continu, comme une batterie, nécessite de prendre en compte les caractéristiques spécifiques des LEDs. Chaque LED a une tension directe (\(V_F\)) à laquelle elle s'allume et un courant direct nominal (\(I_F\)) pour lequel sa luminosité et sa durée de vie sont optimales. Pour protéger les LEDs d'un courant excessif qui pourrait les endommager, une résistance de limitation (\(R_{\text{lim}}\)) est généralement placée en série avec elles. Si plusieurs LEDs sont utilisées, elles peuvent être groupées en série (leurs tensions \(V_F\) s'additionnent, le courant \(I_F\) reste le même) ou en parallèle (la tension à leurs bornes est la même, les courants \(I_F\) s'additionnent). L'analyse du circuit implique de calculer la valeur correcte de la résistance de limitation, de déterminer les courants dans chaque branche, et d'évaluer la consommation de puissance totale pour, par exemple, estimer l'autonomie d'une batterie.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un système d'éclairage utilisant une source de tension continue \(V_{\text{s}}\) pour alimenter deux branches de LEDs en parallèle.

  • Branche 1 : Contient 3 LEDs (LED1a, LED1b, LED1c) identiques en série, avec une résistance de limitation \(R_{\text{lim1}}\).
  • Branche 2 : Contient 2 LEDs (LED2a, LED2b) identiques (les mêmes que celles de la branche 1) en série, avec une résistance de limitation \(R_{\text{lim2}}\).

Caractéristiques communes des LEDs :

  • Tension directe (de seuil) : \(V_F = 2.1 \, \text{V}\)
  • Courant direct nominal (pour luminosité optimale) : \(I_F = 20 \, \text{mA}\)

Tension de la source :

  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
Schéma : Système d'Éclairage LED Multibranche
Vs 12V + − Rlim1 LED1a LED1b LED1c ↓ IB1 Rlim2 LED2a LED2b ↓ IB2 → Itotal

Système d'éclairage avec deux branches de LEDs en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la tension directe totale (\(V_{F,B1}\)) pour la Branche 1 (3 LEDs en série).
  2. Calculer la tension (\(V_{R1}\)) qui doit apparaître aux bornes de la résistance de limitation \(R_{\text{lim1}}\) de la Branche 1.
  3. Calculer la valeur de la résistance de limitation \(R_{\text{lim1}}\) nécessaire pour la Branche 1.
  4. Calculer la tension directe totale (\(V_{F,B2}\)) pour la Branche 2 (2 LEDs en série).
  5. Calculer la tension (\(V_{R2}\)) qui doit apparaître aux bornes de la résistance de limitation \(R_{\text{lim2}}\) de la Branche 2.
  6. Calculer la valeur de la résistance de limitation \(R_{\text{lim2}}\) nécessaire pour la Branche 2.
  7. Quel est le courant \(I_{\text{B1}}\) dans la Branche 1 et \(I_{\text{B2}}\) dans la Branche 2, si les résistances calculées sont utilisées ?
  8. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
  9. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{LEDs,tot}}\)) consommée par toutes les LEDs.
  10. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{R,tot}}\)) dissipée par les deux résistances de limitation.
  11. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source et la comparer à la somme des puissances consommées.
  12. Si la batterie a une capacité de \(1200 \, \text{mAh}\), estimer l'autonomie du système d'éclairage en heures.

Correction : Conception d’un Système d’Éclairage

Question 1 : Tension directe totale (\(V_{F,B1}\)) pour la Branche 1

Principe :

Pour des LEDs en série, leurs tensions directes s'additionnent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{F,B1} = N_1 \times V_F\]

où \(N_1\) est le nombre de LEDs dans la Branche 1.

Données spécifiques :
  • Nombre de LEDs dans Branche 1 (\(N_1\)) : 3
  • Tension directe par LED (\(V_F\)) : \(2.1 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{F,B1} &= 3 \times 2.1 \, \text{V} \\ &= 6.3 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La tension directe totale pour la Branche 1 est \(V_{F,B1} = 6.3 \, \text{V}\).

Question 2 : Tension (\(V_{R1}\)) aux bornes de \(R_{\text{lim1}}\)

Principe :

La tension aux bornes de la résistance de limitation est la tension de la source moins la tension totale des LEDs dans cette branche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R1} = V_{\text{s}} - V_{F,B1}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(V_{F,B1} = 6.3 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R1} &= 12 \, \text{V} - 6.3 \, \text{V} \\ &= 5.7 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La tension aux bornes de \(R_{\text{lim1}}\) est \(V_{R1} = 5.7 \, \text{V}\).

Question 3 : Valeur de \(R_{\text{lim1}}\)

Principe :

On utilise la loi d'Ohm : \(R = V/I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{lim1}} = \frac{V_{R1}}{I_F}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{R1} = 5.7 \, \text{V}\)
  • \(I_F = 20 \, \text{mA} = 0.020 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{lim1}} &= \frac{5.7 \, \text{V}}{0.020 \, \text{A}} \\ &= 285 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance de limitation pour la Branche 1 est \(R_{\text{lim1}} = 285 \, \Omega\).

Question 4 : Tension directe totale (\(V_{F,B2}\)) pour la Branche 2

Principe :

Pour des LEDs en série, leurs tensions directes s'additionnent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{F,B2} = N_2 \times V_F\]

où \(N_2\) est le nombre de LEDs dans la Branche 2.

Données spécifiques :
  • Nombre de LEDs dans Branche 2 (\(N_2\)) : 2
  • Tension directe par LED (\(V_F\)) : \(2.1 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{F,B2} &= 2 \times 2.1 \, \text{V} \\ &= 4.2 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension directe totale pour la Branche 2 est \(V_{F,B2} = 4.2 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{R2}\)) aux bornes de \(R_{\text{lim2}}\)

Principe :

La tension aux bornes de la résistance de limitation est la tension de la source moins la tension totale des LEDs dans cette branche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{R2} = V_{\text{s}} - V_{F,B2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(V_{F,B2} = 4.2 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{R2} &= 12 \, \text{V} - 4.2 \, \text{V} \\ &= 7.8 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(R_{\text{lim2}}\) est \(V_{R2} = 7.8 \, \text{V}\).

Question 6 : Valeur de \(R_{\text{lim2}}\)

Principe :

On utilise la loi d'Ohm : \(R = V/I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{lim2}} = \frac{V_{R2}}{I_F}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{R2} = 7.8 \, \text{V}\)
  • \(I_F = 0.020 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{lim2}} &= \frac{7.8 \, \text{V}}{0.020 \, \text{A}} \\ &= 390 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La résistance de limitation pour la Branche 2 est \(R_{\text{lim2}} = 390 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si on voulait que les LEDs de la Branche 2 soient moins lumineuses (par exemple, en visant \(I_F = 10mA\)), la valeur de \(R_{lim2}\) devrait être :

Question 7 : Courants \(I_{\text{B1}}\) et \(I_{\text{B2}}\)

Principe :

Si les résistances de limitation ont été calculées pour obtenir le courant nominal \(I_F\) dans chaque branche, alors les courants de branche seront égaux à \(I_F\).

Réponse :

Puisque \(R_{\text{lim1}}\) et \(R_{\text{lim2}}\) ont été calculées pour que les LEDs dans leurs branches respectives soient traversées par \(I_F = 20 \, \text{mA}\) :

\[I_{\text{B1}} = I_F = 0.020 \, \text{A}\] \[I_{\text{B2}} = I_F = 0.020 \, \text{A}\]
Résultat Question 7 : \(I_{\text{B1}} = 0.020 \, \text{A}\) et \(I_{\text{B2}} = 0.020 \, \text{A}\).

Question 8 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est la somme des courants dans les branches parallèles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = I_{\text{B1}} + I_{\text{B2}}\]
Données spécifiques :
  • \(I_{\text{B1}} = 0.020 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{B2}} = 0.020 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= 0.020 \, \text{A} + 0.020 \, \text{A} \\ &= 0.040 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} = 0.040 \, \text{A}\) (ou \(40 \, \text{mA}\)).

Question 9 : Puissance totale (\(P_{\text{LEDs,tot}}\)) consommée par toutes les LEDs

Principe :

La puissance consommée par une LED est \(P_{\text{LED}} = V_F I_F\). La puissance totale est la somme des puissances de toutes les LEDs.

Calcul :

Nombre total de LEDs = 3 (Branche 1) + 2 (Branche 2) = 5 LEDs.

Puissance par LED : \(P_{\text{LED,ind}} = 2.1 \, \text{V} \times 0.020 \, \text{A} = 0.042 \, \text{W}\).

\[ \begin{aligned} P_{\text{LEDs,tot}} &= 5 \times P_{\text{LED,ind}} \\ &= 5 \times 0.042 \, \text{W} \\ &= 0.21 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La puissance totale consommée par toutes les LEDs est \(P_{\text{LEDs,tot}} = 0.21 \, \text{W}\).

Question 10 : Puissance totale (\(P_{\text{R,tot}}\)) dissipée par les résistances

Principe :

La puissance dissipée par une résistance est \(P_R = I^2 R\). La puissance totale est la somme des puissances dissipées par \(R_{\text{lim1}}\) et \(R_{\text{lim2}}\).

Calcul :

Pour \(R_{\text{lim1}}\): \(P_{R1} = I_{\text{B1}}^2 R_{\text{lim1}}\)

\[ \begin{aligned} P_{R1} &= (0.020 \, \text{A})^2 \times 285 \, \Omega \\ &= 0.0004 \, \text{A}^2 \times 285 \, \Omega \\ &= 0.114 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_{\text{lim2}}\): \(P_{R2} = I_{\text{B2}}^2 R_{\text{lim2}}\)

\[ \begin{aligned} P_{R2} &= (0.020 \, \text{A})^2 \times 390 \, \Omega \\ &= 0.0004 \, \text{A}^2 \times 390 \, \Omega \\ &= 0.156 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{\text{R,tot}} &= P_{R1} + P_{R2} \\ &= 0.114 \, \text{W} + 0.156 \, \text{W} \\ &= 0.270 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 10 : La puissance totale dissipée par les résistances de limitation est \(P_{\text{R,tot}} = 0.270 \, \text{W}\).

Question 11 : Puissance totale fournie par la source et comparaison

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_{\text{source}} = V_{\text{s}} I_{\text{total}}\). Elle doit être égale à la somme des puissances consommées par tous les composants (\(P_{\text{LEDs,tot}} + P_{\text{R,tot}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{source}} = V_{\text{s}} I_{\text{total}}\] \[P_{\text{dissipée\_circuit}} = P_{\text{LEDs,tot}} + P_{\text{R,tot}}\]
Données :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{total}} = 0.040 \, \text{A}\)
  • \(P_{\text{LEDs,tot}} = 0.21 \, \text{W}\)
  • \(P_{\text{R,tot}} = 0.270 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{source}} &= 12 \, \text{V} \times 0.040 \, \text{A} \\ &= 0.48 \, \text{W} \\ P_{\text{dissipée\_circuit}} &= 0.21 \, \text{W} + 0.270 \, \text{W} \\ &= 0.48 \, \text{W} \end{aligned} \]

Comparaison : \(P_{\text{source}} = 0.48 \, \text{W}\) et \(P_{\text{dissipée\_circuit}} = 0.48 \, \text{W}\).

Résultat Question 11 : La puissance fournie par la source est \(P_{\text{source}} = 0.48 \, \text{W}\), ce qui est égal à la puissance totale consommée par le circuit.

Quiz Intermédiaire 2 : Si la tension de seuil \(V_F\) d'une LED augmente, et que l'on souhaite maintenir le même courant \(I_F\) avec la même source \(V_s\), la résistance de limitation doit :

Question 12 : Autonomie du système d'éclairage

Principe :

L'autonomie est l'énergie totale de la batterie divisée par la puissance totale consommée par le circuit. L'énergie de la batterie (\(E_{\text{bat}}\)) est sa capacité en Ah multipliée par sa tension.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{bat}} = C_{\text{bat (Ah)}} \times V_{\text{bat}}\] \[T_{\text{autonomie}} = \frac{E_{\text{bat}}}{P_{\text{circuit}}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{bat}} = 1200 \, \text{mAh} = 1.2 \, \text{Ah}\)
  • \(V_{\text{bat}} = 12 \, \text{V}\) (tension de la source \(V_s\))
  • \(P_{\text{circuit}} = 0.48 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{bat}} &= 1.2 \, \text{Ah} \times 12 \, \text{V} \\ &= 14.4 \, \text{Wh} \\ T_{\text{autonomie}} &= \frac{14.4 \, \text{Wh}}{0.48 \, \text{W}} \\ &= 30 \, \text{h} \end{aligned} \]
Résultat Question 12 : L'autonomie estimée du système d'éclairage est de \(30 \, \text{heures}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour des LEDs en série, leurs tensions directes (\(V_F\)) :

2. Si la capacité d'une batterie (en mAh) double et que la consommation du circuit reste la même, l'autonomie :

3. La résistance de limitation dans un circuit LED sert principalement à :

Glossaire

Diode Électroluminescente (LED)
Composant semi-conducteur qui émet de la lumière lorsqu'un courant électrique le traverse dans le sens direct.
Tension Directe (\(V_F\))
Chute de tension aux bornes d'une LED lorsqu'elle est passante et émet de la lumière.
Courant Direct Nominal (\(I_F\))
Courant optimal pour le fonctionnement d'une LED, spécifié par le fabricant.
Résistance de Limitation
Résistance placée en série avec une ou plusieurs LEDs pour limiter le courant à une valeur sûre.
Capacité de Batterie (\(C_{\text{bat}}\))
Quantité de charge électrique qu'une batterie peut stocker, souvent exprimée en Ampères-heures (Ah) ou milliampères-heures (mAh).
Énergie de Batterie (\(E_{\text{bat}}\))
Quantité totale d'énergie stockée dans une batterie, typiquement en Watt-heures (Wh). \(E_{\text{bat}} = C_{\text{bat (Ah)}} \times V_{\text{bat}}\).
Autonomie
Durée pendant laquelle un appareil alimenté par batterie peut fonctionner avant que la batterie ne soit déchargée.
Puissance Électrique (P)
Taux de transfert ou de conversion d'énergie électrique, mesuré en Watts (W).
Conception d’un Système d’Éclairage

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