Exercices Électricité

Condition de Transfert de Puissance Maximale

Détermination de la Condition de Transfert de Puissance Maximale

Détermination de la Condition de Transfert de Puissance Maximale

Contexte : Le Dilemme de la Puissance

Lorsque l'on branche un appareil (une chargeComposant ou circuit qui reçoit de l'énergie d'une source. Ex: une ampoule, un moteur.) à une source d'énergie réelle (comme une pile ou une alimentation de laboratoire), on souhaite souvent lui transférer le plus de puissance possible. Cependant, toute source réelle possède une résistance interneRésistance inhérente à une source d'énergie, qui limite le courant et dissipe une partie de l'énergie sous forme de chaleur. qui dissipe une partie de l'énergie avant même qu'elle n'atteigne la charge. Il existe donc une condition bien précise, une "adaptation", entre la résistance de la source et celle de la charge pour que le transfert de puissance soit maximal. Cet exercice a pour but de trouver et de comprendre cette condition fondamentale.

Remarque Pédagogique : Ce concept est crucial dans de nombreux domaines, de la conception d'antennes radio (où l'impédance de l'antenne doit être adaptée à celle de l'émetteur) à l'audio (où l'impédance d'un haut-parleur est adaptée à celle de l'amplificateur). Comprendre ce principe permet d'optimiser les systèmes pour qu'ils fonctionnent au mieux de leur capacité.

Objectifs Pédagogiques

  • Modéliser une source de tension réelle (modèle de Thévenin).
  • Établir l'expression de la puissance reçue par une charge.
  • Appliquer une étude de fonction pour trouver un extremum (maximum).
  • Énoncer et démontrer le théorème de transfert de puissance maximaleLa puissance transférée d'une source à une charge est maximale lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance interne de la source..
  • Calculer la valeur de la puissance maximale et le rendement associé.

Données de l'étude

On modélise une source de tension réelle par son modèle de Thévenin : un générateur de tension idéal de force électromotrice (f.é.m.) \(E_{th}\) en série avec une résistance interne \(R_{th}\). Cette source alimente une résistance de charge variable \(R_L\).

Schéma du Circuit
Source Réelle Eth Rth RL I

Données :

  • Force électromotrice : \(E_{th} = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance interne : \(R_{th} = 50 \, \Omega\)

Questions à traiter

  1. Exprimer le courant \(I\) qui traverse le circuit en fonction de \(E_{th}\), \(R_{th}\) et \(R_L\).
  2. En déduire l'expression de la puissance \(P_L\) dissipée par la résistance de charge \(R_L\) en fonction de \(E_{th}\), \(R_{th}\) et \(R_L\).
  3. Quelle est la condition sur \(R_L\) pour que la puissance \(P_L\) soit maximale ? (On admettra que la fonction \(P_L(R_L)\) présente un maximum).
  4. Calculer la valeur de cette puissance maximale \(P_{L,max}\).

Correction : Détermination de la Condition de Transfert de Puissance Maximale

Question 1 : Expression du Courant I

Principe :
Loi d'Ohm sur le Circuit Série Eth Rth RL I = Tension Totale / Résistance Totale

Le circuit est une simple boucle en série. La résistance totale vue par le générateur de tension idéal \(E_{th}\) est la somme des résistances en série : \(R_{th} + R_L\). On peut alors appliquer la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit pour trouver le courant \(I\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape la plus fondamentale de l'analyse de circuit. Avant tout calcul de puissance ou de tension, il faut connaître le courant, qui est le "flux" commun à tous les éléments dans cette boucle unique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ U_{totale} = R_{totale} \times I_{total} \quad \text{(Loi d'Ohm généralisée)} \]
Donnée(s) :

Pour cette question, nous utilisons les expressions littérales \(E_{th}\), \(R_{th}\) et \(R_L\).

Calcul(s) :
\[ I = \frac{E_{th}}{R_{th} + R_L} \]
Points de vigilance :

La résistance totale : Il ne faut pas oublier d'inclure la résistance interne \(R_{th}\) dans la résistance totale du circuit. Le générateur "voit" sa propre résistance en plus de la charge.

Le saviez-vous ?

Le modèle de Thévenin est universel pour les sources linéaires. N'importe quel circuit complexe à deux bornes, contenant des sources et des résistances, peut être remplacé par ce modèle simple, ce qui simplifie énormément l'analyse.

FAQ en rapport avec la question :
Que représente la tension aux bornes de la source réelle ?

La tension mesurée aux bornes de la source réelle (incluant \(R_{th}\)) n'est pas \(E_{th}\) ! C'est \(U_{source} = E_{th} - R_{th} \times I\). Cette tension est aussi égale à la tension aux bornes de la charge, \(U_L = R_L \times I\). On voit que plus le courant \(I\) augmente, plus la tension de sortie de la source diminue.

Résultat : L'expression du courant est \(I = \frac{E_{th}}{R_{th} + R_L}\).

Question 2 : Expression de la Puissance P_L

Principe :
Puissance dans la Charge RL I I PL = RL x I²

La puissance dissipée dans une résistance est donnée par la formule \(P = R \times I^2\). Ici, nous nous intéressons à la puissance dans la charge \(R_L\), donc \(P_L = R_L \times I^2\). En remplaçant \(I\) par l'expression trouvée à la question précédente, on obtient l'expression de \(P_L\) en fonction des paramètres du circuit.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette expression est fondamentale car elle montre que la puissance dans la charge dépend de la valeur de cette charge. Si \(R_L=0\), la puissance est nulle. Si \(R_L\) est infinie, le courant est nul et la puissance est aussi nulle. Il doit donc exister une valeur intermédiaire de \(R_L\) pour laquelle la puissance est maximale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_L = R_L \times I^2 \]
\[ I = \frac{E_{th}}{R_{th} + R_L} \]
Donnée(s) :

On utilise les expressions littérales et le résultat de la question 1.

Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P_L &= R_L \times \left( \frac{E_{th}}{R_{th} + R_L} \right)^2 \\ P_L &= \frac{R_L \times E_{th}^2}{(R_{th} + R_L)^2} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le carré s'applique à tout : En substituant l'expression de I, il ne faut pas oublier que le carré s'applique à la fois au numérateur (\(E_{th}\)) et au dénominateur (\(R_{th} + R_L\)).

Le saviez-vous ?

La puissance n'est pas toujours dissipée sous forme de chaleur. Dans un moteur, une grande partie de la puissance électrique est convertie en puissance mécanique (rotation). Dans un haut-parleur, elle est convertie en puissance acoustique (son).

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas utiliser P = U²/R ?

On pourrait, mais ce serait plus complexe. Il faudrait d'abord exprimer la tension \(U_L\) aux bornes de \(R_L\), qui est \(U_L = I \times R_L = \frac{E_{th} \times R_L}{R_{th} + R_L}\). Ensuite, \(P_L = U_L^2 / R_L = \left( \frac{E_{th} \times R_L}{R_{th} + R_L} \right)^2 / R_L\). Après simplification, on retrouve bien la même formule, mais la méthode via \(I^2\) est plus directe.

Résultat : L'expression de la puissance est \(P_L = \frac{R_L \cdot E_{th}^2}{(R_{th} + R_L)^2}\).

Question 3 : Condition de Puissance Maximale

Principe :
Recherche du Maximum RL PL Rth

Pour trouver le maximum de la fonction \(P_L(R_L)\), on devrait normalement calculer sa dérivée par rapport à \(R_L\) et trouver pour quelle valeur cette dérivée s'annule. C'est le théorème de transfert de puissance maximale, qui stipule que la puissance transférée à la charge est maximale lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance interne de la source.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce résultat est un compromis. Si \(R_L\) est très faible, le courant est élevé mais la puissance (\(R_L I^2\)) est faible. Si \(R_L\) est très grande, le courant est faible et la puissance est également faible. Le "point d'équilibre" parfait où le produit est maximal se produit lorsque les résistances sont égales. On parle d'adaptation des résistances.

Formule(s) utilisée(s) :

C'est un résultat de cours (théorème).

\[ P_L \text{ est maximale si } R_L = R_{th} \]
Donnée(s) :
  • \(R_{th} = 50 \, \Omega\)
Calcul(s) :

Application directe du théorème.

\[ R_L = 50 \, \Omega \]
Points de vigilance :

Ne pas confondre les résistances : La condition est que la résistance de charge (\(R_L\)) doit être égale à la résistance interne de la source (\(R_{th}\)). Il ne s'agit pas d'une autre résistance du circuit.

Le saviez-vous ?

La démonstration mathématique consiste à dériver \(P_L\) par rapport à \(R_L\) et à poser \(\frac{dP_L}{dR_L} = 0\). La dérivée (avec la formule de dérivation d'un quotient u/v) est \(\frac{E_{th}^2 ((R_{th}+R_L)^2 - 2R_L(R_{th}+R_L))}{(R_{th}+R_L)^4}\). L'annulation du numérateur donne \(R_{th}+R_L = 2R_L\), soit \(R_L = R_{th}\).

FAQ en rapport avec la question :
Ce théorème s'applique-t-il au courant alternatif (AC) ?

Oui, mais il est plus général. En AC, les résistances sont remplacées par des impédances complexes (\(Z\)). Le transfert de puissance maximale se produit lorsque l'impédance de la charge est le conjugué complexe de l'impédance de la source : \(Z_L = Z_{th}^*\).

Résultat : La puissance transférée à la charge est maximale lorsque \(R_L = R_{th} = 50 \, \Omega\).

Question 4 : Calcul de la Puissance Maximale P_L,max

Principe :
Calcul au Point Optimal Eth Rth RL=Rth PLmax = ?

Maintenant que nous connaissons la condition pour obtenir la puissance maximale (\(R_L = R_{th}\)), il suffit de remplacer \(R_L\) par \(R_{th}\) dans l'expression de la puissance \(P_L\) que nous avons trouvée à la question 2 pour calculer la valeur de cette puissance maximale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette valeur représente le "meilleur" transfert de puissance que cette source peut offrir. Aucune autre valeur de résistance de charge ne permettra d'extraire plus de puissance de cette source spécifique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{L,max} = \frac{R_L \cdot E_{th}^2}{(R_{th} + R_L)^2} \quad \text{avec } R_L = R_{th} \]
Donnée(s) :
  • \(E_{th} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_{th} = 50 \, \Omega\)
  • \(R_L = 50 \, \Omega\) (condition de puissance max)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P_{L,max} &= \frac{R_{th} \cdot E_{th}^2}{(R_{th} + R_{th})^2} \\ &= \frac{R_{th} \cdot E_{th}^2}{(2R_{th})^2} \\ &= \frac{R_{th} \cdot E_{th}^2}{4R_{th}^2} \\ &= \frac{E_{th}^2}{4R_{th}} \\ &= \frac{(12V)^2}{4 \times 50\Omega} = \frac{144}{200} = 0.72 \, \text{W} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le facteur 4 au dénominateur : Une erreur fréquente est d'oublier de mettre le "2" au carré lorsqu'on calcule \((2R_{th})^2\). La formule finale simplifiée \(P_{L,max} = E_{th}^2 / (4R_{th})\) est très utile et rapide à utiliser.

Le saviez-vous ?

À la puissance maximale, la tension aux bornes de la charge \(R_L\) est exactement la moitié de la tension à vide de la source : \(U_L = I \times R_L = \frac{E_{th}}{2R_{th}} \times R_{th} = E_{th}/2\). Ici, \(U_L = 12V / 2 = 6V\).

FAQ en rapport avec la question :
Quel est le rendement dans ce cas ?

Le rendement \(\eta\) est le rapport de la puissance utile (\(P_L\)) sur la puissance totale fournie par le générateur idéal (\(P_{tot} = E_{th} \times I\)). À la puissance maximale, \(P_{L,max} = 0.72W\) et \(I = E_{th} / (2R_{th}) = 12/100 = 0.12A\). La puissance totale est \(P_{tot} = 12V \times 0.12A = 1.44W\). Le rendement est donc \(\eta = 0.72 / 1.44 = 0.5\), soit 50%. La moitié de l'énergie est perdue en chaleur dans la source elle-même !

Résultat : La puissance maximale transférée à la charge est \(P_{L,max} = 0.72 \, \text{W}\).

Simulation Interactive du Circuit

Faites varier la résistance de charge \(R_L\) et observez comment la puissance qu'elle reçoit évolue. Le graphique montre la puissance \(P_L\) en fonction du rapport \(R_L/R_{th}\).

Paramètres du Circuit
Puissance dans la charge (PL)
Rendement du circuit (η)
Courbe de Puissance Transférée

Pièges à Éviter

Confondre Puissance Maximale et Rendement Maximal : Le piège le plus courant est de penser que le transfert de puissance maximal est la situation la plus "efficace". C'est faux. À la puissance maximale, le rendement est de 50%, ce qui signifie que la source dissipe autant de puissance en chaleur qu'elle n'en fournit à la charge. C'est un gaspillage énorme, acceptable uniquement pour des signaux de très faible énergie (comme en radiofréquence) où l'on cherche à capter le plus de signal possible, quel qu'en soit le coût énergétique.

Appliquer la Condition Aveuglément : La condition \(R_L = R_{th}\) découle directement de l'expression de la puissance. Il est essentiel de s'assurer que cette expression est correcte avant d'appliquer le théorème. Si le circuit était différent (par exemple avec une autre résistance en série avec la charge), la résistance interne "vue" par la source ne serait plus seulement \(R_{th}\), et la condition changerait.

Pour Aller Plus Loin : Puissance Maximale vs. Rendement Maximal

Le grand compromis de l'ingénieur : Nous avons vu que la puissance maximale est transférée lorsque \(R_L = R_{th}\), mais que le rendement n'est alors que de 50%. Cela signifie que pour chaque Watt utile transféré à la charge, un autre Watt est perdu en chaleur dans la source. C'est acceptable pour des signaux de faible puissance (ex: réception radio), mais c'est un gaspillage inacceptable pour des systèmes de forte puissance (ex: distribution électrique).

  • Transfert de puissance : On choisit \(R_L \approx R_{th}\) quand on veut extraire le maximum d'énergie d'un signal faible, même si c'est inefficace.
  • Transfert d'énergie : Pour les systèmes de distribution d'énergie, on choisit une résistance de charge \(R_L\) beaucoup plus grande que la résistance interne \(R_{th}\). Le courant est plus faible, la puissance transférée n'est pas maximale, mais le rendement (\(\eta = R_L / (R_L+R_{th})\)) tend vers 100%. On gaspille très peu d'énergie dans les lignes électriques.

Le Saviez-Vous ?

Le "bruit" thermique dans une résistance, appelé bruit de Johnson-Nyquist, est un signal de tension aléatoire généré par l'agitation thermique des électrons. La puissance maximale de ce bruit qu'on peut extraire est aussi gouvernée par ce théorème, ce qui est fondamental dans la conception de capteurs et d'amplificateurs très sensibles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que ce théorème s'applique si la charge n'est pas une simple résistance ?

Oui. Si la charge est un circuit complexe, on doit d'abord calculer sa propre résistance équivalente d'entrée. Le transfert de puissance maximale se produira lorsque la résistance équivalente de la charge sera égale à la résistance interne de la source.

Comment mesure-t-on la résistance interne d'une vraie pile ?

On peut la mesurer simplement. D'abord, on mesure la tension de la pile à vide (sans rien brancher), ce qui donne \(E_{th}\). Ensuite, on branche une résistance connue \(R_L\) et on mesure la tension \(U_L\) à ses bornes. On calcule le courant \(I = U_L / R_L\). Enfin, comme on sait que \(U_L = E_{th} - R_{th} \times I\), on peut isoler la seule inconnue : \(R_{th} = (E_{th} - U_L) / I\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On veut alimenter une ampoule (\(R_L = 200 \Omega\)) avec notre source (\(R_{th} = 50 \Omega\)). Dans cette situation, le rendement sera :

2. Pour une source de 10V avec une résistance interne de 10Ω, quelle est la puissance maximale qu'elle peut délivrer ?

Source de Tension Réelle
Modèle d'un générateur qui inclut sa force électromotrice (tension à vide) et sa résistance interne, qui cause une chute de tension lorsque la source débite un courant.
Résistance Interne (Rth)
Résistance inhérente à une source d'énergie. Elle modélise les pertes d'énergie (généralement en chaleur) à l'intérieur de la source elle-même.
Résistance de Charge (RL)
La résistance du composant ou du circuit externe qui est alimenté par la source et qui consomme la puissance.
Théorème du Transfert de Puissance Maximale
Un théorème fondamental qui énonce que, pour une source DC, la puissance maximale est délivrée à la charge lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance interne de la source (\(R_L = R_{th}\)).
Rendement (η)
Le rapport entre la puissance utile (délivrée à la charge) et la puissance totale (fournie par la source idéale). \(\eta = P_L / P_{tot}\). C'est une mesure de l'efficacité du transfert d'énergie.
Détermination de la Condition de Transfert de Puissance Maximale

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