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Construction du Diagramme de Fresnel - Circuit RLC

Construction d'un Diagramme de Fresnel (Circuit RLC)

Comprendre les Diagrammes de Fresnel

En électrotechnique, le diagramme de Fresnel est une représentation graphique des relations de phase et d'amplitude entre différentes grandeurs sinusoïdales de même fréquence (comme les tensions et courants). Chaque grandeur est représentée par un vecteur tournant (ou phaseur). La longueur du vecteur représente l'amplitude (valeur efficace ou maximale) et l'angle qu'il fait avec un axe de référence (souvent l'axe horizontal) représente sa phase à l'origine. Cet outil est essentiel pour analyser les circuits en courant alternatif, notamment pour additionner des tensions ou des courants déphasés.

Données de l'étude

On étudie un circuit RLC série alimenté par une source de tension alternative.

Caractéristiques du circuit :

Résistance (\(R\)) : \(30 \, \text{ } \Omega\)
Inductance (\(L\)) : \(150 \, \text{mH}\)
Capacité (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F}\)
Tension d'alimentation (efficace, \(V_{\text{eff}}\)) : \(230 \, \text{V}\)
Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Calculer la pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\).
Calculer la réactance inductive \(X_{\text{L}}\).
Calculer la réactance capacitive \(X_{\text{C}}\).
Déterminer l'impédance totale du circuit \(Z\) (module \(|Z|\) et phase \(\phi\)).
Calculer le courant total \(I_{\text{eff}}\) traversant le circuit.
Calculer les tensions efficaces aux bornes de chaque composant (\(V_{\text{R}}\), \(V_{\text{L}}\), \(V_{\text{C}}\)).
Construire le diagramme de Fresnel des tensions en prenant le courant comme référence de phase (à 0°).

Correction : Analyse du Circuit RLC Série

Question 1 : Pulsation (\(\omega\))

Principe :

La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est directement liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) du signal. Elle représente la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel.

Formule(s) utilisée(s) :

\omega = 2 \pi f

Données :

\(f = 50 \, \text{Hz}\)

Calcul :

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi \times 50 \\ &\approx 314.16 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Résultat Q1 : La pulsation est \(\omega \approx 314.16 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Réactance Inductive (\(X_{\text{L}}\))

Principe :

La réactance inductive \(X_{\text{L}}\) est l'opposition de la bobine au passage du courant alternatif. Elle augmente avec la fréquence.

Formule(s) utilisée(s) :

X_{\text{L}} = L \omega

Données :

\(L = 150 \, \text{mH} = 0.15 \, \text{H}\)
\(\omega \approx 314.16 \, \text{rad/s}\)

Calcul :

\begin{aligned} X_{\text{L}} &= 0.15 \, \text{H} \times 314.16 \, \text{rad/s} \\ &\approx 47.12 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Q2 : La réactance inductive est \(X_{\text{L}} \approx 47.12 \, \Omega\).

Question 3 : Réactance Capacitive (\(X_{\text{C}}\))

Principe :

La réactance capacitive \(X_{\text{C}}\) est l'opposition du condensateur au passage du courant alternatif. Elle diminue lorsque la fréquence augmente.

Formule(s) utilisée(s) :

X_{\text{C}} = \frac{1}{C \omega}

Données :

\(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(\omega \approx 314.16 \, \text{rad/s}\)

Calcul :

\begin{aligned} X_{\text{C}} &= \frac{1}{100 \times 10^{-6} \, \text{F} \times 314.16 \, \text{rad/s}} \\ &\approx \frac{1}{0.031416} \\ &\approx 31.83 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Q3 : La réactance capacitive est \(X_{\text{C}} \approx 31.83 \, \Omega\).

Quiz : Dans ce circuit, puisque \(X_{\text{L}} > X_{\text{C}}\), le circuit a un comportement global :

Capacitif
Inductif
Résistif pur

Question 4 : Impédance Totale (\(Z\))

Principe :

L'impédance \(Z\) est l'opposition totale du circuit au courant. C'est la somme vectorielle de la résistance et de la réactance totale (\(X_{\text{L}} - X_{\text{C}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :

|Z| = \sqrt{R^2 + (X_{\text{L}} - X_{\text{C}})^2} \] \[\phi = \arctan\left(\frac{X_{\text{L}} - X_{\text{C}}}{R}\right)

Données :

\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_{\text{L}} \approx 47.12 \, \Omega\)
\(X_{\text{C}} \approx 31.83 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} |Z| &= \sqrt{30^2 + (47.12 - 31.83)^2} \\ &= \sqrt{900 + (15.29)^2} \\ &= \sqrt{900 + 233.78} \\ &\approx 33.67 \, \Omega \end{aligned}

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{15.29}{30}\right) \\ &\approx \arctan(0.5097) \\ &\approx 27.0^\circ \end{aligned}

Résultat Q4 : L'impédance est \(Z \approx 33.67 \, \Omega\) avec un déphasage de \(\phi \approx +27.0^\circ\).

Question 5 : Courant Total (\(I_{\text{eff}}\))

Principe :

Le courant efficace est donné par la loi d'Ohm appliquée au circuit entier. La phase du courant est décalée par rapport à la tension de l'angle d'impédance \(\phi\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{|Z|}

Données :

\(V_{\text{eff}} = 230 \, \text{V}\)
\(|Z| \approx 33.67 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \frac{230 \, \text{V}}{33.67 \, \Omega} \\ &\approx 6.83 \, \text{A} \end{aligned}

Le déphasage de la tension par rapport au courant est de \(+27.0^\circ\). Inversement, le courant est en retard de \(27.0^\circ\) sur la tension.

Résultat Q5 : Le courant efficace est \(I_{\text{eff}} \approx 6.83 \, \text{A}\).

Question 6 : Tensions (\(V_{\text{R}}, V_{\text{L}}, V_{\text{C}}\))

Principe :

On calcule la tension aux bornes de chaque composant avec la loi d'Ohm. \(V_{\text{R}}\) est en phase avec le courant, \(V_{\text{L}}\) est en avance de 90° sur le courant, et \(V_{\text{C}}\) est en retard de 90° sur le courant.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{R}} = R \cdot I_{\text{eff}} \quad | \quad V_{\text{L}} = X_{\text{L}} \cdot I_{\text{eff}} \quad | \quad V_{\text{C}} = X_{\text{C}} \cdot I_{\text{eff}}

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{R}} &= 30 \times 6.83 \\ &\approx 204.9 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{\text{L}} &= 47.12 \times 6.83 \\ &\approx 321.8 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{\text{C}} &= 31.83 \times 6.83 \\ &\approx 217.4 \, \text{V} \end{aligned}

Note : La somme arithmétique de ces tensions ne donne pas 230V ! C'est leur somme vectorielle qui est égale à la tension source.

Résultat Q6 : Les tensions sont \(V_{\text{R}} \approx 204.9\,\text{V}\), \(V_{\text{L}} \approx 321.8\,\text{V}\), \(V_{\text{C}} \approx 217.4\,\text{V}\).

Question 7 : Diagramme de Fresnel des Tensions

Construction :

On place le vecteur du courant I sur l'axe horizontal (référence de phase 0°). Ensuite, on trace les vecteurs de tension :

Vecteur V_R : en phase avec I (sur l'axe horizontal).
Vecteur V_L : en avance de 90° sur I (vers le haut).
Vecteur V_C : en retard de 90° sur I (vers le bas).

Le vecteur de la tension totale V_eff est la somme vectorielle V_R + V_L + V_C. Son angle avec I est \(\phi\).

Diagramme de Fresnel

Quiz Final

1. Si la fréquence augmente, que devient la réactance inductive \(X_{\text{L}}\) ?

Elle augmente.
Elle diminue.
Elle reste la même.

2. Dans un diagramme de Fresnel pour un circuit RLC série, quel vecteur est souvent pris comme référence ?

La tension aux bornes de la bobine (\(V_{\text{L}}\)).
La tension d'alimentation (\(V_{\text{eff}}\)).
Le courant (\(I\)), car il est commun à tous les éléments.

Glossaire

Diagramme de Fresnel: Représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales (tensions, courants) dans un circuit AC, montrant leurs amplitudes et leurs déphasages relatifs.
Pulsation (\(\omega\)): Vitesse angulaire de la sinusoïde, mesurée en radians par seconde (rad/s). \(\omega = 2\pi f\).
Réactance (\(X\)): Opposition d'un composant (bobine ou condensateur) au passage d'un courant alternatif. L'unité est l'Ohm (\(\Omega\)).
Impédance (\(Z\)): Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est la somme complexe de la résistance et de la réactance. L'unité est l'Ohm (\(\Omega\)).
Déphasage (\(\phi\)): Décalage angulaire entre deux grandeurs sinusoïdales, typiquement entre la tension et le courant.

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Correction : Analyse du Circuit RLC Série

Question 1 : Pulsation (\(\omega\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données :

Calcul :

Question 2 : Réactance Inductive (\(X_{\text{L}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données :

Calcul :

Question 3 : Réactance Capacitive (\(X_{\text{C}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données :

Calcul :

Question 4 : Impédance Totale (\(Z\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données :

Calcul :

Question 5 : Courant Total (\(I_{\text{eff}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données :

Calcul :

Question 6 : Tensions (\(V_{\text{R}}, V_{\text{L}}, V_{\text{C}}\))

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

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