Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Différence de potentiel entre deux points

Différence de Potentiel entre Deux Points

Différence de Potentiel entre Deux Points

Comprendre la Différence de Potentiel Électrique

La différence de potentiel (d.d.p.) électrique, souvent appelée tension, entre deux points A et B est définie comme le travail que fournirait le champ électrique pour déplacer une charge positive unité du point A au point B. Elle est égale à la différence des potentiels électriques en ces deux points : \(U_{AB} = V_A - V_B\). Si l'on connaît le potentiel en chaque point dû à un système de charges, on peut facilement calculer la d.d.p. Cette grandeur est fondamentale car elle est directement liée à l'énergie nécessaire pour déplacer des charges et au courant électrique dans les circuits.

Données de l'étude

On considère une charge ponctuelle unique \(q = +5,0 \, \text{nC}\) située à l'origine O d'un repère cartésien \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).

On souhaite calculer la différence de potentiel \(U_{AB} = V_A - V_B\) entre les points suivants :

  • Point A de coordonnées \((3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Point B de coordonnées \((0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Charge et Points A et B
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) O {/* Charge q à l'origine (0,0) -> (50,150) en SVG */} q {/* Point A (3,0) -> (50+3*30, 150) = (140,150) en SVG (échelle: 1cm = 30px) */} A(3,0) {/* Point B (0,4) -> (50, 150-4*30) = (50,30) en SVG */} B(0,4) {/* Distance r_A de q à A */} r_A {/* Distance r_B de q à B */} r_B Charge q et points d'évaluation A et B

Configuration de la charge \(q\) et des points A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance \(r_A\) entre la charge \(q\) et le point A.
  2. Calculer le potentiel électrique \(V_A\) créé par la charge \(q\) au point A.
  3. Calculer la distance \(r_B\) entre la charge \(q\) et le point B.
  4. Calculer le potentiel électrique \(V_B\) créé par la charge \(q\) au point B.
  5. Calculer la différence de potentiel \(U_{AB} = V_A - V_B\).
  6. Si une charge test \(q' = -0,2 \, \text{nC}\) est déplacée du point A au point B, quel est le travail \(W_{AB}\) effectué par le champ électrique sur cette charge \(q'\) ?

Correction : Différence de Potentiel entre Deux Points

Question 1 : Distance \(r_A\) entre \(q\) et A

Principe :

La distance entre deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) dans un plan est donnée par \(r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Données spécifiques :
  • Position de \(q\) (Origine O) : \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de A : \((3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(q\) en \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), A en \((0,03 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} r_A &= \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} \\ &= \sqrt{(0,03 \, \text{m} - 0 \, \text{m})^2 + (0 \, \text{m} - 0 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{(0,03 \, \text{m})^2 + (0 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2} \\ &= 0,03 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La distance \(r_A = 0,03 \, \text{m}\).

Question 2 : Potentiel électrique \(V_A\) créé par \(q\) au point A

Principe :

Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e \frac{q}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_A = k_e \frac{q}{r_A}\]
Données spécifiques :
  • \(q = +5,0 \, \text{nC} = +5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r_A = 0,03 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_A &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,03 \, \text{m}} \\ &= \frac{45 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}}{0,03} \\ &= 1500 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C} \\ &= 1500 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(V_A = 1500 \, \text{V}\).

Question 3 : Distance \(r_B\) entre \(q\) et B

Principe :

Similaire à la question 1.

Données spécifiques :
  • Position de \(q\) (Origine O) : \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de B : \((0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(q\) en \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), B en \((0 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} r_B &= \sqrt{(x_B - x_O)^2 + (y_B - y_O)^2} \\ &= \sqrt{(0 \, \text{m} - 0 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m} - 0 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{(0 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= 0,04 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La distance \(r_B = 0,04 \, \text{m}\).

Question 4 : Potentiel électrique \(V_B\) créé par \(q\) au point B

Principe :

Identique à la question 2, mais pour le point B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_B = k_e \frac{q}{r_B}\]
Données spécifiques :
  • \(q = +5,0 \, \text{nC} = +5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r_B = 0,04 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_B &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{5,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,04 \, \text{m}} \\ &= \frac{45 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}}{0,04} \\ &= 1125 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C} \\ &= 1125 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(V_B = 1125 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire : Si une charge source est positive, le potentiel électrique qu'elle crée :

Question 5 : Différence de potentiel \(U_{AB} = V_A - V_B\)

Principe :

La différence de potentiel \(U_{AB}\) entre deux points A et B est simplement la différence entre le potentiel au point A et le potentiel au point B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[U_{AB} = V_A - V_B\]
Données spécifiques :
  • \(V_A = 1500 \, \text{V}\)
  • \(V_B = 1125 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_{AB} &= 1500 \, \text{V} - 1125 \, \text{V} \\ &= 375 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(U_{AB} = 375 \, \text{V}\).

Question 6 : Travail \(W_{AB}\) effectué par le champ électrique sur \(q'\)

Principe :

Le travail \(W_{AB}\) effectué par le champ électrique pour déplacer une charge \(q'\) d'un point A à un point B est donné par \(W_{AB} = q'(V_A - V_B) = q' U_{AB}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{AB} = q' U_{AB} \]
Données spécifiques :
  • \(q' = -0,2 \, \text{nC} = -0,2 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(U_{AB} = 375 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{AB} &= (-0,2 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (375 \, \text{V}) \\ &= -75 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= -75 \, \text{nJ} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le champ électrique effectue un travail résistant (ou que la force électrique s'oppose globalement au déplacement de A vers B pour cette charge négative).

Résultat Question 6 : Le travail effectué par le champ électrique sur \(q'\) est \(W_{AB} = -75 \, \text{nJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La différence de potentiel \(U_{AB} = V_A - V_B\) représente :

2. Si \(V_A > V_B\), alors :

3. L'unité de la différence de potentiel est la même que celle :

Glossaire

Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Unité : Volt (V).
Différence de Potentiel (\(U_{AB}\) ou \(\Delta V\))
Également appelée tension, c'est la différence de potentiel électrique entre deux points. \(U_{AB} = V_A - V_B\). Elle représente le travail par unité de charge nécessaire pour déplacer une charge d'un point à un autre contre le champ électrique.
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Principe de Superposition (pour le potentiel)
Pour un système de plusieurs charges, le potentiel électrique total en un point est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés individuellement par chaque charge en ce point.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, valant environ \(9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Travail du Champ Électrique (\(W_{AB}\))
Lorsqu'une charge \(q\) se déplace d'un point A à un point B dans un champ électrique, le travail effectué par le champ électrique sur la charge est \(W_{AB} = q(V_A - V_B) = q U_{AB}\).
Volt (V)
Unité SI du potentiel électrique et de la différence de potentiel. \(1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C}\).
Différence de Potentiel entre Deux Points

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