Effets de la Fréquence sur l’Intensité

La pulsation \(\omega\) (ou fréquence angulaire) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Données : \(f_1 = 50.0 \text{ Hz}\), \(\pi \approx 3.1416\).

La réactance capacitive \(X_C\) est donnée par \(X_C = \frac{1}{C\omega}\).

Données : \(C = 10.0 \times 10^{-6} \text{ F}\), \(\omega_1 \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

L'impédance totale \(Z\) d'un circuit R-C série est \(Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\).

Données : \(R = 100 \ \Omega\), \(X_{C1} \approx 318.31 \ \Omega\).

L'intensité efficace du courant \(I_{eff}\) est donnée par la loi d'Ohm en régime alternatif : \(I_{eff} = \frac{U_{eff}}{Z}\).

Données : \(U_{eff} = 12.0 \text{ V}\), \(Z_1 \approx 333.65 \ \Omega\).

On répète les mêmes calculs avec la nouvelle fréquence \(f_2\).

Pulsation \(\omega_2\) :

Réactance capacitive \(X_{C2}\) :

Impédance totale \(Z_2\) :

Intensité efficace \(I_{eff2}\) :

On compare \(I_{eff1}\) (à 50 Hz) et \(I_{eff2}\) (à 500 Hz).

\(I_{eff1} \approx 36.0 \text{ mA}\)

\(I_{eff2} \approx 114.4 \text{ mA}\)

On constate que \(I_{eff2} > I_{eff1}\). L'augmentation de la fréquence a entraîné une augmentation de l'intensité du courant.

Explication qualitative : La réactance capacitive \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) est inversement proportionnelle à la fréquence \(f\). Lorsque la fréquence \(f\) augmente :

• La réactance capacitive \(X_C\) diminue (le condensateur s'oppose moins au passage du courant alternatif de haute fréquence).
• L'impédance totale du circuit R-C série, \(Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\), diminue également.
• Puisque l'intensité \(I_{eff} = U_{eff}/Z\) et que \(U_{eff}\) est constante, une diminution de \(Z\) entraîne une augmentation de \(I_{eff}\).

La fréquence de coupure \(f_c\) d'un circuit R-C (ou R-L) est la fréquence pour laquelle la réactance du composant réactif (ici, \(X_C\)) est égale à la résistance \(R\). Pour un circuit R-C : \(R = X_C = \frac{1}{2\pi f_c C}\).

Calcul numérique :

À la fréquence de coupure \(f_c\), on a \(R = X_C\). L'impédance \(Z_c\) à cette fréquence est \(Z_c = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\). L'intensité efficace est \(I_{eff,c} = \frac{U_{eff}}{Z_c} = \frac{U_{eff}}{R\sqrt{2}}\). L'intensité maximale possible dans le circuit (si \(X_C \rightarrow 0\), c'est-à-dire à très haute fréquence) serait \(I_{max\_possible} = \frac{U_{eff}}{R}\) (le circuit se comporte comme une simple résistance).

Calcul de \(I_{eff,c}\) :

Intensité maximale possible :

Rapport \(I_{eff,c} / I_{max\_possible}\) :

À la fréquence de coupure, l'intensité est environ 70.7% de l'intensité maximale possible (qui serait atteinte si le condensateur se comportait comme un court-circuit, c'est-à-dire à fréquence infinie).

Réponses Correctes :

Question 1 : b) Diminue avec la fréquence.

Question 2 : c) \(\sqrt{R^2 + X_C^2}\).

Question 3 : b) R (car \(X_C \rightarrow 0\) quand \(f \rightarrow \infty\)).

Question 4 : b) La réactance capacitive est égale à la résistance (\(X_C = R\)).

Courant Alternatif (AC) :

Courant électrique dont l'intensité et la direction varient périodiquement dans le temps, généralement de manière sinusoïdale.

Fréquence (\(f\)) :

Nombre de cycles d'un phénomène périodique par unité de temps. Unité : Hertz (Hz).

Pulsation (\(\omega\)) :

Aussi appelée fréquence angulaire, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).

Résistance (\(R\)) :

Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique, dissipant de l'énergie sous forme de chaleur. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Condensateur (Capacité \(C\)) :

Composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices séparées par un isolant. Unité de capacité : Farad (F).

Réactance Capacitive (\(X_C\)) :

Opposition d'un condensateur au passage d'un courant alternatif, dépendant de la fréquence. \(X_C = 1/(C\omega)\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle combine la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Loi d'Ohm en Régime Alternatif :

Relation entre la tension efficace (\(U_{eff}\)), l'intensité efficace (\(I_{eff}\)) et l'impédance (\(Z\)) : \(U_{eff} = Z I_{eff}\).

Fréquence de Coupure (\(f_c\)) :

Fréquence caractéristique d'un filtre (comme un circuit R-C ou R-L) où le gain en puissance est divisé par deux, ou l'amplitude de la tension/courant est divisée par \(\sqrt{2}\) par rapport à la valeur maximale. Pour un R-C, c'est quand \(R = X_C\).