Étude de la Tension Efficace et Instantanée d'un Signal Sinusoïdal
Contexte : Le réseau électrique domestique.
Le courant électrique distribué dans nos maisons est un courant alternatif sinusoïdal. Comprendre ses caractéristiques est fondamental en électrotechnique. Cet exercice se concentre sur deux grandeurs clés : la tension instantanée u(t)La valeur de la tension à un moment précis 't'. Elle varie constamment au cours du temps., qui décrit la valeur de la tension à chaque instant, et la tension efficace UeffLa valeur qui, pour un courant alternatif, produirait le même effet thermique (dégagement de chaleur) qu'un courant continu de même valeur. C'est la valeur la plus couramment utilisée (ex: 230V en Europe)., qui représente la "valeur utile" de cette tension.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les formules de base des signaux sinusoïdaux, une compétence essentielle pour analyser n'importe quel circuit en courant alternatif.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et différencier la tension maximale, instantanée et efficace.
- Savoir calculer la période et la pulsation d'un signal à partir de sa fréquence.
- Appliquer les formules pour déterminer la valeur efficace et une valeur instantanée.
Données de l'étude
Fiche Technique du Signal
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Forme du signal | Sinusoïdal |
| Tension Maximale \(U_{\text{max}}\) | 325 V |
| Fréquence (f) | 50 Hz |
Schéma du Circuit Simple
Questions à traiter
- Calculer la période T du signal.
- Calculer la pulsation (ou vitesse angulaire) \(\omega\) du signal.
- Donner l'expression mathématique complète de la tension instantanée u(t) (on considérera la phase à l'origine nulle).
- Déterminer la valeur de la tension efficace Ueff.
- Calculer la valeur de la tension instantanée u(t) à l'instant t = 2,5 ms.
Les bases sur les signaux sinusoïdaux
Un signal alternatif sinusoïdal est la forme d'onde la plus fondamentale en électrotechnique. Il est caractérisé par son amplitude, sa fréquence et sa phase.
1. Expression Générale et Pulsation
La tension instantanée \(u(t)\) d'un signal sinusoïdal s'écrit :
\[ u(t) = U_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t + \phi) \]
Où \(\omega\) est la pulsation en rad/s, liée à la fréquence f en Hz par la relation :
\[ \omega = 2\pi f \]
2. Tension Efficace (RMS)
La tension efficace est la valeur la plus importante en pratique. Pour un signal purement sinusoïdal, elle est directement liée à la tension maximale par la formule :
\[ U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \]
Correction : Étude de la Tension Efficace et Instantanée d'un Signal Sinusoïdal
Question 1 : Calculer la période T du signal.
Principe
La période (T) est la durée d'un cycle complet du signal. C'est l'inverse de la fréquence (f), qui représente le nombre de cycles par seconde. Si on connaît la fréquence, on peut directement en déduire la période.
Mini-Cours
En physique, la fréquence mesure le nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. La période, quant à elle, est la durée qui sépare deux reproductions à l'identique du phénomène. Ces deux grandeurs sont donc intrinsèquement liées par une relation inverse : plus un phénomène est fréquent, plus sa période est courte, et vice-versa.
Remarque Pédagogique
Cette première étape est fondamentale. La période est une caractéristique essentielle qui permet de se représenter temporellement le signal. Prenez l'habitude de toujours la calculer ou l'identifier avant d'analyser un signal périodique.
Normes
La fréquence des réseaux de distribution électrique est une valeur normalisée. En Europe et dans une grande partie du monde, la norme (par ex. CENELEC EN 50160) fixe cette fréquence à 50 Hz, garantissant ainsi l'interopérabilité des équipements électriques.
Formule(s)
Relation Période-Fréquence
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons l'hypothèse que le signal est stable et parfaitement périodique, c'est-à-dire que sa fréquence ne varie pas dans le temps.
Donnée(s)
D'après l'énoncé, la seule donnée nécessaire est la fréquence.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | f | 50 | Hz |
Astuces
Les fréquences de 50 Hz et 60 Hz (utilisée en Amérique du Nord) sont si courantes qu'il est utile de mémoriser leurs périodes respectives : pour \(f = 50 \text{ Hz}\), \(T = 20 \text{ ms}\) ; pour \(f = 60 \text{ Hz}\), \(T \approx 16,7 \text{ ms}\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons un cycle complet d'une onde sinusoïdale. La période T est la distance horizontale entre deux points identiques successifs, comme deux crêtes.
Représentation de la Période T
Calcul(s)
Calcul de la période en secondes
Conversion en millisecondes
Schéma (Après les calculs)
Maintenant que nous avons calculé la valeur, nous pouvons l'annoter sur notre schéma pour une meilleure visualisation.
Période du signal de 50 Hz
Réflexions
Une période de 20 ms signifie que le cycle complet de la tension (passant d'une valeur nulle, à la crête positive, nulle, crête négative, puis retour à zéro) se produit 50 fois par seconde. C'est une durée extrêmement courte, ce qui explique pourquoi nous ne percevons pas le scintillement des ampoules à incandescence.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les unités si nécessaire. La fréquence doit être en Hertz (Hz) pour que la période soit calculée en secondes (s). Attention également aux conversions entre secondes (s) et millisecondes (ms).
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez les points suivants :
- Concept Clé : La période est l'inverse de la fréquence.
- Formule Essentielle : \(T = 1/f\)
- Point de Vigilance Majeur : Unités (Hz pour f, s pour T).
Le saviez-vous ?
La "guerre des courants" à la fin du 19ème siècle a opposé le courant continu (DC), promu par Thomas Edison, au courant alternatif (AC), développé par Nikola Tesla et George Westinghouse. Le courant alternatif l'a emporté en grande partie car il peut être facilement transformé pour être transporté sur de longues distances à haute tension avec de faibles pertes, ce qui est impossible avec le courant continu.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Si la fréquence était de 60 Hz (standard américain), quelle serait la période en ms (arrondir à une décimale) ?
Question 2 : Calculer la pulsation (ou vitesse angulaire) \(\omega\) du signal.
Principe
La pulsation \(\omega\) représente la "vitesse de rotation" du vecteur associé au signal sinusoïdal, en radians par seconde. Elle est directement proportionnelle à la fréquence f. Un tour complet (un cycle) correspond à \(2\pi\) radians.
Mini-Cours
Imaginez un point tournant sur un cercle à vitesse constante. La projection de ce point sur un axe vertical décrit une sinusoïde. La pulsation \(\omega\) est la vitesse angulaire de ce point. Si le point fait 'f' tours par seconde, et que chaque tour vaut \(2\pi\) radians, alors sa vitesse angulaire est logiquement de \(2\pi f\) radians par seconde.
Remarque Pédagogique
La pulsation \(\omega\) est une grandeur extrêmement importante en électrotechnique car elle apparaît dans toutes les formules de calcul d'impédance pour les bobines (\(Z_{L} = jL\omega\)) et les condensateurs (\(Z_{C} = 1/jC\omega\)) en régime sinusoïdal.
Normes
La pulsation n'est pas directement une grandeur normée. Elle se déduit de la fréquence (f), qui elle, est normalisée.
Formule(s)
Relation Pulsation-Fréquence
Hypothèses
Nous supposons que le modèle sinusoïdal est une représentation parfaite du signal électrique réel, ce qui justifie l'utilisation de cette formule géométrique.
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire est la fréquence.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | f | 50 | Hz |
Astuces
Pour une fréquence de 50 Hz, très commune en Europe, la pulsation est toujours de \(100\pi \text{ rad/s}\). C'est une valeur à retenir pour aller plus vite dans les calculs !
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la pulsation comme la vitesse de rotation d'un vecteur dans le cercle trigonométrique.
Représentation de la Pulsation
Calcul(s)
Calcul de la pulsation
Schéma (Après les calculs)
Notre vecteur tourne à une vitesse de 100π radians (soit 50 tours) par seconde.
Vecteur tournant à \(\omega\)
Réflexions
Une pulsation de 314,16 rad/s est une vitesse de rotation très élevée. Cela signifie que le vecteur représentant notre tension fait 50 tours complets sur lui-même chaque seconde, générant ainsi les 50 cycles de l'onde sinusoïdale.
Points de vigilance
Ne confondez pas la fréquence f (en Hz) et la pulsation \(\omega\) (en rad/s). N'oubliez jamais le facteur \(2\pi\) dans la formule de conversion. Une erreur ici se répercutera sur tous les calculs suivants.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
- Concept Clé : La pulsation est la vitesse angulaire du signal.
- Formule Essentielle : \(\omega = 2\pi f\)
- Point de Vigilance Majeur : L'unité de \(\omega\) est le rad/s.
Le saviez-vous ?
Le radian est une unité d'angle "naturelle" en mathématiques et en physique. Utiliser des radians (plutôt que des degrés) simplifie de nombreuses formules importantes, notamment en dérivation et en intégration (par exemple, la dérivée de sin(x) est cos(x) seulement si x est en radians).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la pulsation (en rad/s, valeur exacte) pour le réseau nord-américain à 60 Hz ?
Question 3 : Donner l'expression mathématique complète de la tension instantanée u(t) (on considérera la phase à l'origine nulle).
Principe
L'expression de la tension instantanée \(u(t)\) se construit à partir du modèle général d'un signal sinusoïdal : \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)\). Il suffit de remplacer l'amplitude (\(U_{\text{max}}\)) et la pulsation (\(\omega\)) par les valeurs de notre exercice. La phase à l'origine (\(\phi\)) est donnée comme nulle.
Mini-Cours
Une fonction sinusoïdale est entièrement définie par trois paramètres : son amplitude (la hauteur des crêtes), sa pulsation (la vitesse d'oscillation) et sa phase (le décalage initial). En fixant ces trois valeurs, on obtient une description unique et complète du signal pour n'importe quel instant t.
Remarque Pédagogique
Comprendre comment construire cette équation est crucial. C'est le passage des caractéristiques physiques (amplitude, fréquence) à un modèle mathématique abstrait mais extrêmement puissant pour l'analyse.
Normes
Il n'y a pas de norme directe pour l'écriture de l'équation, mais la convention veut que l'on utilise \(U_{\text{max}}\) pour l'amplitude et \(\omega\) pour la pulsation.
Formule(s)
Modèle général de la tension sinusoïdale
Hypothèses
Pour cet exercice, nous posons deux hypothèses :
- Le signal est parfaitement sinusoïdal, sans aucune distorsion harmonique.
- La phase à l'origine est nulle (\(\phi = 0 \text{ rad}\)), ce qui signifie que nous démarrons notre observation (\(t=0\)) au moment précis où la tension passe par zéro en étant croissante.
Donnée(s)
On réutilise les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Maximale | \(U_{\text{max}}\) | 325 | V |
| Pulsation | \(\omega\) | \(100\pi\) | rad/s |
| Phase | \(\phi\) | 0 | rad |
Astuces
Mémoriser les valeurs remarquables de la fonction sinus peut grandement accélérer les vérifications mentales. Par exemple, à \(t=T/4\) (soit \(\omega t = \pi/2\)), \(\sin(\omega t) = 1\), donc \(u(t)\) doit être égal à \(U_{\text{max}}\).
Schéma (Avant les calculs)
Le modèle mathématique est une recette pour dessiner le graphique du signal. Avant de mettre les valeurs, on identifie où placer l'amplitude et comment la pulsation va dicter la "vitesse" de l'oscillation.
Modèle Graphique d'un Sinus
Calcul(s)
Construction de l'équation
On part du modèle général \(u(t) = U_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t + \phi)\) et on y insère les valeurs spécifiques à notre exercice.
Simplification de l'équation
L'expression \((100\pi t + 0)\) est l'argument de la fonction sinus. Le terme `+ 0` correspond à la phase à l'origine, qui est nulle. En mathématiques, zéro est l'élément neutre de l'addition (\(X + 0 = X\)). Par conséquent, \((100\pi t + 0)\) est strictement identique à \(100\pi t\). On peut donc omettre le `+ 0` pour obtenir la forme finale, plus simple et conventionnelle.
Schéma (Après les calculs)
Le graphique représente maintenant précisément la tension du réseau électrique domestique européen.
Graphique de u(t)
Réflexions
Cette simple équation mathématique est un modèle extraordinairement puissant. Elle permet de prédire la valeur exacte de la tension à n'importe quel instant, passé ou futur. C'est le fondement de toute l'analyse des circuits en régime alternatif.
Points de vigilance
Assurez-vous de ne pas confondre la tension maximale \(U_{\text{max}}\) (l'amplitude) avec la tension efficace \(U_{\text{eff}}\). L'équation de la tension instantanée utilise toujours la valeur maximale.
Points à retenir
L'essentiel à retenir est la structure du modèle :
- Concept Clé : L'équation modélise l'oscillation de la tension.
- Formule Essentielle : \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi)\)
- Point de Vigilance Majeur : Utiliser \(U_{\text{max}}\), pas \(U_{\text{eff}}\).
Le saviez-vous ?
Le mathématicien Joseph Fourier a démontré au début du 19ème siècle que n'importe quel signal périodique, même très complexe comme le son d'un instrument de musique, peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux purs (appelée Série de Fourier). Cela rend l'étude du signal sinusoïdal encore plus fondamentale.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Écrivez l'expression de u(t) pour un signal de 60 Hz avec une tension maximale de 170 V (valeurs typiques du réseau américain).
Question 4 : Déterminer la valeur de la tension efficace Ueff.
Principe
La tension efficace Ueff est une valeur "moyenne" quadratique qui représente l'équivalent en tension continue pour produire le même effet Joule (chaleur) dans une résistance. Pour un signal sinusoïdal, il existe une relation simple entre la valeur efficace et la valeur maximale.
Mini-Cours
Le terme "efficace" vient de l'effet produit. La puissance instantanée dans une résistance R est \(p(t) = u(t)² / R\). Comme u(t) varie, p(t) varie aussi. La puissance moyenne (qui détermine l'échauffement) est la moyenne de p(t) sur une période. Le calcul montre que cette puissance moyenne est \(P = U_{\text{eff}}² / R\). La tension efficace est donc la valeur qui représente cette puissance moyenne.
Remarque Pédagogique
Retenez bien ceci : lorsque l'on parle de "tension du secteur de 230 V", on parle TOUJOURS de la tension efficace. C'est la valeur de référence pour tous les appareils et toutes les mesures. Les voltmètres en position AC mesurent cette valeur.
Normes
La norme européenne EN 50160 spécifie que la tension de fourniture sur les réseaux basse tension doit être de 230 V avec une tolérance de ±10%. Cette valeur de 230 V est une tension efficace.
Formule(s)
Relation Efficace-Maximal (Sinusoïdal)
Hypothèses
L'hypothèse cruciale ici est que le signal est purement sinusoïdal. Pour d'autres formes d'ondes (carrée, triangulaire), la relation entre la valeur efficace et la valeur maximale est différente.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension Maximale | \(U_{\text{max}}\) | 325 | V |
Astuces
Il est pratique de mémoriser que \(1/\sqrt{2} \approx 0,707\) et \(\sqrt{2} \approx 1,414\). Ainsi : \(U_{\text{eff}} \approx U_{\text{max}} \times 0,707\) et \(U_{\text{max}} \approx U_{\text{eff}} \times 1,414\). Cela permet des estimations rapides.
Schéma (Avant les calculs)
Sur le graphique du signal, la tension efficace est une ligne horizontale située en dessous de la crête Umax.
Position de Ueff par rapport à Umax
Calcul(s)
Calcul de la tension efficace
Arrondi à la valeur nominale
Schéma (Après les calculs)
La tension efficace se situe à environ 70,7% de la tension maximale.
Valeurs de Ueff et Umax
Réflexions
Le résultat de 230 V correspond exactement à la valeur nominale standard du réseau européen. Cela confirme que la tension maximale de 325 V est la bonne valeur de crête pour obtenir une tension efficace de 230 V. La tension que l'on utilise au quotidien est donc bien inférieure à la tension réellement atteinte aux crêtes du signal.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser la formule \(U_{\text{eff}} = U_{\text{max}} / \sqrt{2}\) pour des signaux qui ne sont pas purement sinusoïdaux (par exemple, en sortie de certains onduleurs ou variateurs de vitesse). Le facteur de conversion serait différent.
Points à retenir
Ce qu'il faut absolument retenir :
- Concept Clé : La tension efficace représente l'équivalent thermique en courant continu.
- Formule Essentielle : \(U_{\text{eff}} = U_{\text{max}} / \sqrt{2}\) (pour un sinus !)
- Point de Vigilance Majeur : Les valeurs usuelles (230V, 12V...) sont des valeurs efficaces.
Le saviez-vous ?
La valeur de 230 V est la tension efficace standard du réseau de distribution électrique domestique dans toute l'Europe. C'est la valeur que vous lisez sur vos appareils électriques, et non la tension maximale de 325 V !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Un multimètre mesure une tension efficace de 12 V AC à la sortie d'un petit transformateur. Quelle est la tension maximale (en V, arrondir à une décimale) que l'on pourrait mesurer avec un oscilloscope ?
Question 5 : Calculer u(t) à t = 2,5 ms.
Principe
Pour trouver la valeur de la tension à un instant donné, il suffit de remplacer la variable 't' par cette valeur dans l'expression de la tension instantanée u(t) trouvée à la question 3. C'est l'application directe du modèle mathématique.
Mini-Cours
L'équation \(u(t) = 325 \sin(100\pi t)\) est une fonction mathématique. Comme pour toute fonction, lui donner une valeur d'entrée (\(t = 2,5 \text{ ms}\)) permet de calculer la valeur de sortie correspondante (u). Cela permet de connaître l'état exact du système à n'importe quel moment.
Remarque Pédagogique
Cet exercice illustre la puissance prédictive du modèle mathématique. En connaissant les caractéristiques générales du signal (amplitude, fréquence), on peut déterminer son état précis à n'importe quel instant, ce qui est crucial pour la conception de systèmes électroniques synchronisés.
Normes
Il n'y a pas de norme qui s'applique à ce calcul spécifique. C'est une application directe des principes de l'électrotechnique.
Formule(s)
Expression de la tension instantanée
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que l'instant t = 2,5 ms est mesuré avec une précision suffisante et que la source de tension est idéale et suit parfaitement le modèle mathématique.
Donnée(s)
Nous avons besoin de l'équation de u(t) et de l'instant de calcul.
| Paramètre | Description | Valeur |
|---|---|---|
| u(t) | Expression de la tension | \(325 \sin(100\pi t) \text{ V}\) |
| t | Instant de calcul | 2,5 ms |
Astuces
Il est souvent utile de comparer l'instant 't' à la période 'T'. Ici, \(t = 2,5 \text{ ms}\) et \(T = 20 \text{ ms}\). On voit que \(t = T/8\). L'angle \(\omega t\) devient alors \(2\pi f \times (T/8) = 2\pi f \times (1/f)/8 = 2\pi/8 = \pi/4\). Reconnaître ces fractions de période simplifie le calcul de l'angle.
Schéma (Avant les calculs)
Sur le graphique de la tension, nous cherchons le point sur la courbe qui correspond à l'abscisse t = 2,5 ms.
Localisation de t = 2,5 ms
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de l'unité de temps
La pulsation \(\omega\) est en rad/s, il est donc impératif de convertir l'instant t en secondes pour la cohérence des unités.
Étape 2 : Substitution de t dans l'équation
On remplace la variable 't' par sa valeur en secondes dans l'expression de la tension instantanée.
Étape 3 : Calcul de l'argument du sinus (l'angle en radians)
On calcule la valeur de l'expression à l'intérieur du sinus.
Étape 4 : Calcul final de la tension
On remplace l'argument par sa valeur calculée et on termine le calcul. (Attention : la calculatrice doit être en mode RADIAN).
Schéma (Après les calculs)
Nous pouvons maintenant placer précisément la valeur calculée sur notre graphique.
Valeur de u(t) à 2,5 ms
Réflexions
Il est intéressant de noter qu'à t = 2,5 ms (soit seulement 1/8ème de la période), la tension a déjà atteint 229,8 V, une valeur très proche de la tension efficace (230 V). Cela montre que la croissance de la tension est très rapide au début du cycle.
Points de vigilance
Attention aux unités ! Le temps 't' doit être en secondes (s) pour être cohérent avec la pulsation \(\omega\) qui est en radians par seconde (rad/s). De plus, l'angle (\(\omega t\)) sera en radians. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode RADIAN et non en mode DEGRÉ.
Points à retenir
La méthodologie à retenir pour ce type de calcul est :
- Étape 1 : S'assurer de la cohérence des unités (t en secondes).
- Étape 2 : Remplacer 't' dans l'expression de u(t).
- Étape 3 : Mettre sa calculatrice en mode RADIAN avant de calculer le sinus.
Le saviez-vous ?
Les oscilloscopes sont des instruments de mesure qui permettent de visualiser en temps réel la courbe de la tension en fonction du temps, u(t). Ils permettent de "voir" directement la forme d'onde que nous traçons ici et de mesurer ses caractéristiques (amplitude, période, valeurs instantanées).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la même équation, quelle est la tension instantanée à t = 5 ms ? (Indice : 5ms = T/4)
Outil Interactif : Simulateur de Signal
Utilisez les curseurs pour faire varier la tension maximale et la fréquence du signal. Observez en temps réel l'impact sur la tension efficace, la période et la forme de l'onde.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la relation correcte entre \(U_{\text{eff}}\) et \(U_{\text{max}}\) pour un signal sinusoïdal ?
2. Quelle est l'unité de la pulsation \(\omega\) ?
3. Un signal a une fréquence de 100 Hz. Quelle est sa période ?
4. À quoi sert la tension efficace ?
5. Pour un signal \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t)\), à quel moment la tension est-elle maximale ?
Glossaire
- Tension Efficace (\(U_{\text{eff}}\))
- Aussi appelée valeur RMS (Root Mean Square), elle représente la valeur de tension continue qui produirait le même échauffement dans une résistance qu'un signal alternatif. C'est la valeur standard utilisée pour caractériser un réseau électrique (ex: 230 V).
- Tension Instantanée (\(u(t)\))
- La valeur exacte de la tension à un instant 't' donné. Pour un signal alternatif, cette valeur change en permanence.
- Tension Maximale (\(U_{\text{max}}\))
- Aussi appelée amplitude, c'est la valeur de crête atteinte par le signal au cours d'un cycle.
- Fréquence (f)
- Le nombre de cycles complets effectués par le signal en une seconde. Son unité est le Hertz (Hz).
- Période (T)
- La durée, en secondes, d'un seul cycle du signal. C'est l'inverse de la fréquence (\(T = 1/f\)).
- Pulsation (\(\omega\))
- La vitesse angulaire du signal, exprimée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence par la relation \(\omega = 2\pi f\).
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