Étude de la Tension Efficace et Instantanée
Comprendre et calculer les grandeurs caractéristiques d'une tension alternative sinusoïdale.
En électrotechnique, de nombreux systèmes sont alimentés par des tensions alternatives sinusoïdales. Ces tensions varient périodiquement dans le temps.
- La tension instantanée \(u(t)\) est la valeur de la tension à un instant \(t\) donné. Pour un signal sinusoïdal, elle s'écrit : \(u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \varphi)\) ou \(u(t) = U_{max} \cos(\omega t + \varphi)\).
- \(U_{max}\) est l'amplitude ou la valeur maximale de la tension (en Volts, V).
- \(\omega\) est la pulsation (ou vitesse angulaire) de la tension (en radians par seconde, rad/s). Elle est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
- \(f\) est la fréquence de la tension (en Hertz, Hz). C'est le nombre de cycles par seconde. Elle est l'inverse de la période \(T\) : \(f = 1/T\).
- \(T\) est la période de la tension (en secondes, s). C'est la durée d'un cycle complet.
- \(\varphi\) est la phase à l'origine (en radians, rad), qui dépend des conditions initiales.
- La valeur efficace \(U_{eff}\) (ou \(U\)) d'une tension sinusoïdale est liée à son amplitude par la relation : \(U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}\). C'est la valeur qui serait mesurée par un voltmètre en mode "AC" (alternatif). Elle est utile pour les calculs de puissance.
Données du Problème
Une tension alternative sinusoïdale est fournie par le réseau électrique domestique. Un voltmètre en mode AC indique une valeur efficace \(U_{eff} = 230 \text{ V}\). La fréquence de cette tension est \(f = 50 \text{ Hz}\).
On considère que la phase à l'origine est nulle (\(\varphi = 0\) rad) et on utilisera la fonction sinus pour décrire la tension instantanée.
Questions
- Calculer la valeur maximale (amplitude) \(U_{max}\) de la tension.
- Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension.
- Calculer la période \(T\) de la tension.
- Écrire l'expression mathématique de la tension instantanée \(u(t)\) en fonction du temps.
- Calculer la valeur de la tension instantanée \(u(t_1)\) à l'instant \(t_1 = 2.5 \text{ ms}\).
- Calculer la valeur de la tension instantanée \(u(t_2)\) à l'instant \(t_2 = 10 \text{ ms}\).
Correction : Étude de la Tension Efficace et Instantanée
1. Calcul de la Valeur Maximale \(U_{max}\)
Pour un signal sinusoïdal, \(U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}\), donc \(U_{max} = U_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)
La valeur maximale de la tension est \(U_{max} \approx 325 \text{ V}\) (arrondi à l'unité pour correspondre à la précision usuelle de \(U_{eff}\)).
2. Calcul de la Pulsation \(\omega\)
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314 \text{ rad/s}\).
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3. Calcul de la Période \(T\)
La période \(T\) est l'inverse de la fréquence \(f\), soit \(T = 1/f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La période de la tension est \(T = 0.02 \text{ s}\) ou \(20 \text{ ms}\).
4. Expression de la Tension Instantanée \(u(t)\)
On utilise la forme \(u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \varphi)\) avec les valeurs calculées et \(\varphi = 0\).
Données :
\(U_{max} \approx 325 \text{ V}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(\varphi = 0 \text{ rad}\)
où \(u(t)\) est en Volts et \(t\) en secondes.
L'expression de la tension instantanée est \(u(t) = 325 \sin(100\pi t)\) V.
5. Calcul de \(u(t_1)\) à \(t_1 = 2.5 \text{ ms}\)
On remplace \(t\) par \(t_1\) dans l'expression de \(u(t)\). Attention à convertir \(t_1\) en secondes et à régler la calculatrice en mode radians pour le calcul du sinus.
Données :
\(u(t) = 325 \sin(100\pi t)\)
\(t_1 = 2.5 \text{ ms} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ s}\)
La valeur de la tension instantanée à \(t_1 = 2.5 \text{ ms}\) est \(u(t_1) \approx 230 \text{ V}\).
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6. Calcul de \(u(t_2)\) à \(t_2 = 10 \text{ ms}\)
On remplace \(t\) par \(t_2\) dans l'expression de \(u(t)\).
Données :
\(u(t) = 325 \sin(100\pi t)\)
\(t_2 = 10 \text{ ms} = 10 \times 10^{-3} \text{ s} = 0.01 \text{ s}\)
Cet instant \(t_2 = 10 \text{ ms}\) correspond à une demi-période (\(T/2 = 20 \text{ ms} / 2 = 10 \text{ ms}\)). Pour une sinusoïde partant de 0 à \(t=0\), elle repasse par 0 à \(t=T/2\).
La valeur de la tension instantanée à \(t_2 = 10 \text{ ms}\) est \(u(t_2) = 0 \text{ V}\).
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Glossaire des Termes Clés
Tension Instantanée (\(u(t)\)) :
Valeur de la tension électrique à un instant \(t\) précis. Unité : Volt (V).
Amplitude (\(U_{max}\)) :
Valeur maximale atteinte par une tension alternative sinusoïdale. Unité : Volt (V).
Valeur Efficace (\(U_{eff}\) ou \(U\)) :
Valeur qui, pour une tension alternative, correspondrait à la tension continue produisant le même effet thermique (puissance dissipée par effet Joule) dans une résistance. Pour un signal sinusoïdal, \(U_{eff} = U_{max}/\sqrt{2}\). Unité : Volt (V).
Fréquence (\(f\)) :
Nombre de cycles (périodes) d'un signal périodique par unité de temps (par seconde). Unité : Hertz (Hz).
Période (\(T\)) :
Durée d'un cycle complet d'un signal périodique. \(T = 1/f\). Unité : seconde (s).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Phase à l'origine (\(\varphi\)) :
Décalage angulaire du signal sinusoïdal à l'instant \(t=0\). Unité : radian (rad) ou degré (°).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi utilise-t-on la notion de valeur efficace en électrotechnique, notamment pour les calculs de puissance ?
2. Si la phase à l'origine \(\varphi\) n'était pas nulle (par exemple \(\varphi = \pi/4\) rad), comment cela affecterait-il la valeur de \(u(t_1)\) ?
3. Comment la représentation de Fresnel (diagramme vectoriel) peut-elle être utilisée pour visualiser la tension et le courant dans un circuit AC, ainsi que leur déphasage ?
4. Tous les signaux alternatifs sont-ils sinusoïdaux ? Donnez des exemples d'autres formes d'ondes alternatives et discutez si la relation \(U_{eff} = U_{max}/\sqrt{2}\) s'applique toujours.
5. Comment la tension instantanée varie-t-elle au cours d'une période ? À quels instants la tension est-elle maximale, minimale et nulle (pour \(\varphi=0\)) ?
Étude de la Tension Efficace et Instantanée
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