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Étude des Modes de Résonance dans une Cavité

Étude des Modes de Résonance dans une Cavité Rectangulaire

Étude des Modes de Résonance dans une Cavité Rectangulaire

Comprendre les Modes de Résonance dans une Cavité

Une cavité résonante est une structure qui confine les ondes électromagnétiques, permettant à des ondes stationnaires de s'établir à certaines fréquences spécifiques, appelées fréquences de résonance. Ces fréquences dépendent de la géométrie de la cavité et du matériau qui la remplit. Chaque fréquence de résonance correspond à un "mode" de résonance, caractérisé par une distribution spatiale particulière des champs électrique et magnétique à l'intérieur de la cavité. Les cavités résonantes sont des composants fondamentaux dans de nombreuses applications micro-ondes et optiques, telles que les filtres, les oscillateurs, les lasers et les accélerateurs de particules. Cet exercice se concentre sur le calcul des fréquences de résonance pour différents modes dans une cavité rectangulaire remplie d'air.

Données de l'étude

On considère une cavité résonante rectangulaire remplie d'air, avec des parois parfaitement conductrices.

Caractéristiques de la cavité :

  • Dimension selon l'axe x (\(a\)) : \(3 \, \text{cm}\)
  • Dimension selon l'axe y (\(b\)) : \(2 \, \text{cm}\)
  • Dimension selon l'axe z (\(d\)) : \(4 \, \text{cm}\)

Constantes :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
Schéma : Cavité Rectangulaire et ses Dimensions
a (x) b (y) d (z) Cavité Rectangulaire

Cavité rectangulaire avec ses dimensions a, b, d le long des axes x, y, z respectivement.

Questions à traiter

  1. Écrire la formule générale des fréquences de résonance \(f_{mnp}\) pour une cavité rectangulaire remplie d'air, en fonction de ses dimensions \(a, b, d\) et des indices de mode \(m, n, p\).
  2. Calculer la fréquence de coupure la plus basse (mode dominant) pour les modes TE (Transverse Électrique). Identifier ce mode. (Rappel : pour TE, un des indices \(m\) ou \(n\) peut être nul, mais pas les deux simultanément, et \(p\) peut être nul. Le mode dominant est celui avec la plus basse fréquence non nulle).
  3. Calculer la fréquence de coupure la plus basse pour les modes TM (Transverse Magnétique). Identifier ce mode. (Rappel : pour TM, \(m \ge 1\), \(n \ge 1\), et \(p \ge 0\)).
  4. Calculer la fréquence de résonance pour le mode TE101.
  5. Calculer la fréquence de résonance pour le mode TM110.
  6. Calculer la fréquence de résonance pour le mode TE201. Y a-t-il une dégénérescence avec un autre mode simple ?

Correction : Étude des Modes de Résonance dans une Cavité

Question 1 : Formule générale des fréquences de résonance \(f_{mnp}\)

Principe :

Les fréquences de résonance d'une cavité rectangulaire remplie d'un milieu de permittivité \(\epsilon\) et de perméabilité \(\mu\) sont déterminées par les conditions aux limites imposées par les parois conductrices. Pour une cavité remplie d'air (ou de vide), la vitesse de propagation des ondes est \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2}\]

Où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide, \(a, b, d\) sont les dimensions de la cavité le long des axes x, y, z respectivement, et \(m, n, p\) sont des entiers non négatifs représentant les indices du mode. Les conditions spécifiques sur \(m, n, p\) dépendent du type de mode (TE ou TM).

Résultat Question 1 : La formule générale est \(f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2}\).

Question 2 : Fréquence de coupure la plus basse pour les modes TE (Mode Dominant)

Principe :

Pour les modes TE (Transverse Électrique), les indices \(m\) et \(n\) ne peuvent pas être nuls simultanément. L'indice \(p\) peut être nul (représentant une variation nulle du champ le long de l'axe z pour un guide d'onde, mais pour une cavité, \(p \ge 1\) est généralement considéré pour les modes TEmnp où le champ varie le long de d, sauf si d est la "longueur" du guide qui forme la cavité). Si on considère une cavité fermée, pour un mode TEmnp, \(p\) est généralement \(\ge 1\). Si \(p=0\), cela correspondrait à un mode de guide d'onde bidimensionnel. Pour les cavités, le mode le plus bas est souvent TE101 ou TE011 (si on suppose \(a, b > 0\)). Le mode dominant est le mode TEmnp ayant la plus basse fréquence de résonance non nulle. Typiquement, si \(a > b\), le mode TE101 est souvent dominant si la dimension \(d\) n'est pas trop petite.

Conditions pour les modes TEmnp : \(m, n\) ne sont pas tous les deux nuls. \(p\) est un entier positif (\(p \ge 1\)). (Si \(p=0\), \(m,n \ge 1\) pour TE). Les modes TEmn0 n'existent pas si on définit TE par \(H_z \neq 0\). Si on le définit par \(E_z=0\), alors TEmn0 est possible. Pour une cavité fermée, on s'attend à des variations dans les 3 dimensions. Le mode TE avec la plus basse fréquence est généralement TE101 (si a est la plus grande dimension transverse) ou TE011 (si b est la plus grande dimension transverse), ou TE110 (si d est très grand). Le terme "fréquence de coupure" est plus typique des guides d'ondes. Pour une cavité, on parle de "fréquence de résonance". Le mode dominant est celui avec la plus basse fréquence de résonance.

Nous allons chercher le triplet (m,n,p) qui minimise \( (m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2 \) avec les contraintes TE. Pour TE, \(m\) ou \(n\) peut être nul, mais pas les deux. \(p\) doit être \(\ge 1\) pour une résonance tridimensionnelle. Si \(a=3\text{cm}, b=2\text{cm}, d=4\text{cm}\). Mode TE101: \((1/a)^2 + (0/b)^2 + (1/d)^2 = (1/3)^2 + (1/4)^2 = 1/9 + 1/16 = (16+9)/144 = 25/144\). Mode TE011: \((0/a)^2 + (1/b)^2 + (1/d)^2 = (1/2)^2 + (1/4)^2 = 1/4 + 1/16 = (4+1)/16 = 5/16 = 45/144\). Mode TE110: (Si permis, \(p=0\)) \((1/a)^2 + (1/b)^2 + (0/d)^2 = (1/3)^2 + (1/2)^2 = 1/9 + 1/4 = (4+9)/36 = 13/36 = 52/144\). Le mode TE101 semble être le candidat pour le mode dominant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{101}^{\text{TE}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{0}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{d}\right)^2} = \frac{c}{2} \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{d^2}}\]
Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(a = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\)
  • \(d = 4 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{101}^{\text{TE}} &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.03 \, \text{m}}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.04 \, \text{m}}\right)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{\left(33.33\right)^2 + \left(25\right)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1110.89 + 625} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1735.89} \\ &\approx 1.5 \times 10^8 \times 41.664 \\ &\approx 6.2496 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &\approx 6.25 \, \text{GHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le mode dominant est TE101, avec une fréquence de résonance \(f_{101}^{\text{TE}} \approx 6.25 \, \text{GHz}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le mode dominant dans une cavité rectangulaire est :

Question 3 : Fréquence de coupure la plus basse pour les modes TM

Principe :

Pour les modes TM (Transverse Magnétique), les indices \(m\) et \(n\) doivent être supérieurs ou égaux à 1 (\(m \ge 1, n \ge 1\)). L'indice \(p\) peut être nul (\(p \ge 0\)). Le mode TM le plus bas est donc généralement TM110 ou TM111, selon les dimensions de la cavité.

Nous cherchons le triplet (m,n,p) qui minimise \( (m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2 \) avec \(m \ge 1, n \ge 1, p \ge 0\). Mode TM110: \((1/a)^2 + (1/b)^2 + (0/d)^2 = (1/3)^2 + (1/2)^2 = 1/9 + 1/4 = (4+9)/36 = 13/36 \approx 0.3611\). Mode TM111: \((1/a)^2 + (1/b)^2 + (1/d)^2 = (1/3)^2 + (1/2)^2 + (1/4)^2 = 1/9 + 1/4 + 1/16 = (16+36+9)/144 = 61/144 \approx 0.4236\). Le mode TM110 a la plus basse fréquence.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{110}^{\text{TM}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{0}{d}\right)^2} = \frac{c}{2} \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}\]
Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(a = 0.03 \, \text{m}\)
  • \(b = 0.02 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{110}^{\text{TM}} &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.03 \, \text{m}}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02 \, \text{m}}\right)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{(33.33)^2 + (50)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1110.89 + 2500} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{3610.89} \\ &\approx 1.5 \times 10^8 \times 60.09 \\ &\approx 9.0135 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &\approx 9.01 \, \text{GHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La fréquence de résonance la plus basse pour les modes TM est celle du mode TM110, \(f_{110}^{\text{TM}} \approx 9.01 \, \text{GHz}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Pour un mode TMmnp dans une cavité rectangulaire :

Question 4 : Fréquence de résonance du mode TE101

Principe :

C'est une application directe de la formule générale avec \(m=1, n=0, p=1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{101}^{\text{TE}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{d}\right)^2}\]
Données et Calcul :

Ce calcul a déjà été effectué pour la Question 2.

\[ \begin{aligned} f_{101}^{\text{TE}} &\approx 6.2496 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &\approx 6.25 \, \text{GHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La fréquence de résonance pour le mode TE101 est \(f_{101}^{\text{TE}} \approx 6.25 \, \text{GHz}\).

Question 5 : Fréquence de résonance du mode TM110

Principe :

Application de la formule générale avec \(m=1, n=1, p=0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{110}^{\text{TM}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2}\]
Données et Calcul :

Ce calcul a déjà été effectué pour la Question 3.

\[ \begin{aligned} f_{110}^{\text{TM}} &\approx 9.0135 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &\approx 9.01 \, \text{GHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La fréquence de résonance pour le mode TM110 est \(f_{110}^{\text{TM}} \approx 9.01 \, \text{GHz}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Lequel de ces modes n'existe PAS pour les modes TM dans une cavité rectangulaire ?

Question 6 : Fréquence de résonance du mode TE201 et dégénérescence

Principe :

Calcul de la fréquence pour le mode TE201 et comparaison avec d'autres modes pour identifier une éventuelle dégénérescence (modes différents ayant la même fréquence de résonance).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{201}^{\text{TE}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{2}{a}\right)^2 + \left(\frac{0}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{d}\right)^2} = \frac{c}{2} \sqrt{\frac{4}{a^2} + \frac{1}{d^2}}\]
Données spécifiques (converties en mètres) :
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(a = 0.03 \, \text{m}\)
  • \(d = 0.04 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{201}^{\text{TE}} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{2}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.04}\right)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{(66.66...)^2 + (25)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{4444.44... + 625} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{5069.44...} \\ &\approx 1.5 \times 10^8 \times 71.20 \\ &\approx 10.68 \times 10^9 \, \text{Hz} \\ &\approx 10.68 \, \text{GHz} \end{aligned} \]

Pour la dégénérescence, il faudrait vérifier si d'autres combinaisons (m,n,p) donnent la même valeur pour \(\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2 + (p/d)^2}\). Par exemple, le mode TE0n1 pourrait-il être dégénéré ? Pour TE01p, \((0/a)^2 + (1/b)^2 + (p/d)^2 = (1/0.02)^2 + (p/0.04)^2 = 50^2 + (25p)^2 = 2500 + 625p^2\). Pour TE201, la somme des carrés internes est \((2/0.03)^2 + (1/0.04)^2 \approx (66.67)^2 + (25)^2 \approx 4444.44 + 625 = 5069.44\). Si on cherche un mode TE0np tel que \((n/0.02)^2 + (p/0.04)^2 = 5069.44\). Si \(n=1\), \((1/0.02)^2 + (p/0.04)^2 = 50^2 + (25p)^2 = 2500 + 625p^2 = 5069.44\). \(625p^2 = 5069.44 - 2500 = 2569.44\). \(p^2 = 2569.44 / 625 \approx 4.11\). \(p \approx \sqrt{4.11} \approx 2.027\). Ce n'est pas un entier, donc TE012 n'est pas dégénéré avec TE201. La dégénérescence est plus probable si les dimensions sont des multiples simples les unes des autres.

Résultat Question 6 : La fréquence de résonance pour le mode TE201 est \(f_{201}^{\text{TE}} \approx 10.68 \, \text{GHz}\). Une analyse plus poussée serait nécessaire pour confirmer une dégénérescence exacte, mais elle n'est pas évidente avec ces dimensions pour des modes simples.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fréquence de résonance la plus basse d'une cavité rectangulaire est appelée :

2. Pour un mode TEmnp dans une cavité rectangulaire, quelle condition est vraie ?

3. Si les dimensions \(a, b, d\) d'une cavité rectangulaire sont toutes doublées, la fréquence de résonance d'un mode donné \(f_{mnp}\) sera :

Glossaire

Cavité Résonante
Structure métallique creuse qui confine les ondes électromagnétiques, permettant la formation d'ondes stationnaires à des fréquences de résonance spécifiques.
Mode de Résonance
Distribution spatiale spécifique des champs électrique et magnétique à l'intérieur d'une cavité résonante, correspondant à une fréquence de résonance particulière. Identifié par des indices (m,n,p).
Fréquence de Résonance (\(f_{mnp}\))
Fréquence spécifique à laquelle une cavité peut emmagasiner de l'énergie électromagnétique sous forme d'onde stationnaire.
Mode TE (Transverse Électrique)
Mode de propagation (ou de résonance) où le champ électrique est entièrement transverse à une direction de référence (souvent l'axe de la structure ou la direction de propagation principale dans un guide). Pour une cavité, cela signifie que le champ électrique n'a pas de composante le long d'un axe particulier (souvent l'axe z si \(E_z=0\)).
Mode TM (Transverse Magnétique)
Mode de propagation (ou de résonance) où le champ magnétique est entièrement transverse à une direction de référence. Pour une cavité, cela signifie que le champ magnétique n'a pas de composante le long d'un axe particulier (souvent l'axe z si \(H_z=0\)).
Mode Dominant
Mode de résonance ayant la plus basse fréquence de résonance non nulle pour un type donné (TE ou TM) ou pour l'ensemble des modes possibles.
Dégénérescence des Modes
Situation où deux ou plusieurs modes de résonance distincts (avec des combinaisons d'indices \(m,n,p\) différentes) ont la même fréquence de résonance.
Fréquence de Coupure
Terme plus couramment utilisé pour les guides d'ondes, représentant la fréquence minimale à laquelle un mode particulier peut se propager. Pour les cavités, on parle de fréquences de résonance.
Étude des Modes de Résonance dans une Cavité

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