Étude d'un Circuit RC - Exercice corrigé

Contexte : Le Circuit RC

Un circuit RC est un circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateurComposant électronique qui stocke l'énergie sous la forme d'un champ électrostatique. (C). Ces circuits sont fondamentaux en électronique, car ils forment la base de nombreux systèmes de filtrage, de temporisation et d'oscillateurs. L'étude de la charge et de la décharge du condensateur à travers la résistance permet de comprendre le comportement temporel du circuit, caractérisé par une réponse exponentielle et une notion clé : la constante de tempsCaractéristique d'un circuit RC (τ=RC) qui représente le temps nécessaire pour que la tension du condensateur atteigne environ 63,2% de sa valeur finale lors de la charge..

Remarque Pédagogique : Contrairement à une résistance pure, un condensateur ne réagit pas instantanément à un changement de tension. Il lui faut un certain temps pour se "remplir" (charge) ou se "vider" (décharge) d'énergie. C'est ce comportement qui est exploité dans de nombreuses applications, comme le flash d'un appareil photo ou les minuteries.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer la constante de temps (\(\tau\)) d'un circuit RC.
Comprendre et appliquer les équations de charge d'un condensateur.
Comprendre et appliquer les équations de décharge d'un condensateur.
Analyser graphiquement les courbes de charge et de décharge.

Données de l'étude

On considère le circuit RC ci-dessous. Le condensateur est initialement déchargé. À l'instant \(t=0\), on bascule l'interrupteur en position 1 pour commencer la phase de charge.

Données disponibles :

Tension de la source (E) : \(10 \, \text{V}\)
Résistance (R) : \(5 \, \text{k}\Omega\)
Capacité (C) : \(20 \, \mu\text{F}\)

Schéma du Circuit RC

Questions à traiter

Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
Quelle est la tension aux bornes du condensateur, \(V_C(t)\), à l'instant \(t=\tau\) durant la charge ?
Une fois le condensateur complètement chargé, l'interrupteur est basculé en position 2 (court-circuitant la source). Combien de temps faudra-t-il pour que la tension du condensateur chute à 1% de sa valeur initiale ?

Correction : Étude du Circuit RC

Question 1 : Calcul de la Constante de Temps \(\tau\)

Principe :

La constante de temps \(\tau\) (tau) est une caractéristique fondamentale d'un circuit RC. Elle représente le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne environ 63,2% de sa valeur finale lors de la charge. Elle se calcule simplement en multipliant la résistance par la capacité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La constante de temps \(\tau\) a la dimension d'un temps et s'exprime en secondes. Il est crucial de convertir toutes les valeurs dans leurs unités de base (Ohms, Farads) avant de faire le calcul.

Formule(s) utilisée(s) :

\tau = R \times C

Calcul(s) :

\begin{aligned} \tau &= (5 \times 10^3 \, \Omega) \times (20 \times 10^{-6} \, \text{F}) \\ &= 100 \times 10^{-3} \, \text{s} \\ &= 0.1 \, \text{s} \quad (\text{ou } 100 \, \text{ms}) \end{aligned}

Résultat Question 1 : La constante de temps du circuit est de 0.1 seconde (ou 100 ms).

Question 2 : Tension à \(t=\tau\) (Charge)

Principe :

La tension aux bornes du condensateur durant la charge ne monte pas linéairement mais suit une courbe exponentielle. L'équation qui décrit ce phénomène permet de calculer la tension à n'importe quel instant \(t\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le terme \(e^{-t/\tau}\) représente la "partie restante" avant d'atteindre la tension finale. À \(t=\tau\), ce terme vaut \(e^{-1} \approx 0.368\). La tension a donc atteint \(1 - 0.368 = 0.632\), soit 63.2% de la tension finale. C'est une propriété universelle de tous les circuits RC.

Formule(s) utilisée(s) :

V_C(t) = E \times (1 - e^{-t/\tau})

Calcul(s) :

\begin{aligned} V_C(\tau) &= 10 \, \text{V} \times (1 - e^{-\tau/\tau}) \\ &= 10 \times (1 - e^{-1}) \\ &\approx 10 \times (1 - 0.368) \\ &\approx 10 \times 0.632 \\ &\approx 6.32 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat Question 2 : À \(t = \tau\), la tension aux bornes du condensateur est d'environ 6.32 V.

Question 3 : Temps de Décharge à 1%

Principe :

Lors de la décharge, la tension diminue de manière exponentielle à partir de sa valeur maximale (E). On utilise l'équation de décharge pour trouver l'instant \(t\) correspondant à une tension donnée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour isoler le temps \(t\) dans une équation exponentielle, on doit utiliser la fonction logarithme népérien (\(\ln\)). C'est l'opération inverse de l'exponentielle.

Formule(s) utilisée(s) :

V_C(t) = E \times e^{-t/\tau}

Calcul(s) :

\begin{aligned} 0.01 \times E &= E \times e^{-t/\tau} \\ 0.01 &= e^{-t/\tau} \\ \ln(0.01) &= -t/\tau \\ t &= -\tau \times \ln(0.01) \\ t &\approx -0.1 \times (-4.605) \\ t &\approx 0.46 \, \text{s} \end{aligned}

Conclusion : Il faudra environ 0.46 seconde pour que la tension du condensateur chute à 1% de sa valeur initiale.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée
Constante de temps (\(\tau\))	Cliquez pour révéler
Tension à t=τ (charge)	Cliquez pour révéler
Temps de décharge à 1%	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On veut créer une temporisation de 2 secondes. On dispose d'un condensateur de \(100 \, \mu\text{F}\). Quelle valeur de résistance (R) doit-on choisir pour que la constante de temps du circuit soit de 2 secondes ?

R = kΩ

Pièges à Éviter

Unités incorrectes : L'erreur la plus fréquente est de ne pas convertir les unités. \(5 \, \text{k}\Omega\) doit devenir \(5000 \, \Omega\) et \(20 \, \mu\text{F}\) doit devenir \(20 \times 10^{-6} \, \text{F}\) pour que le résultat soit en secondes.

Confusion entre charge et décharge : Les équations sont similaires mais distinctes. Pour la charge, la tension "monte" vers E : \(E(1 - e^{-t/\tau})\). Pour la décharge, elle "descend" depuis E : \(E \cdot e^{-t/\tau}\).

Simulation Interactive du Circuit RC

Variez la résistance et la capacité pour observer leur effet sur la constante de temps et la vitesse de charge.

Paramètres de Simulation

Résistance (R) : 5 kΩ

Capacité (C) : 20 µF

Constante de temps \(\tau\)

Courbe de Charge \(V_C(t)\)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Filtres Passe-Bas et Passe-Haut

En observant la tension aux bornes du condensateur, le circuit RC agit comme un filtre "passe-bas" : il laisse passer les basses fréquences (signaux lents) mais atténue les hautes fréquences. Si on observait la tension aux bornes de la résistance, on aurait un filtre "passe-haut". C'est la base de nombreux circuits audio.

2. Circuit de Dérivation

Si l'on regarde le courant dans le circuit, il est maximal au début de la charge (\(I=E/R\)) et tend vers zéro. La tension aux bornes de la résistance (\(V_R = R \times I\)) a donc la même forme que le courant. On peut montrer que le circuit "dérive" la tension d'entrée. C'est un concept clé en traitement du signal.

Le Saviez-Vous ?

Les circuits RC sont au cœur des défibrillateurs cardiaques. Un condensateur de grande capacité est chargé à une haute tension (plusieurs milliers de volts). Lors du choc, il se décharge très rapidement à travers le cœur du patient via deux électrodes, délivrant une grande quantité d'énergie en un temps très court pour tenter de restaurer un rythme cardiaque normal.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la charge s'arrête-t-elle ?

La charge s'arrête lorsque la tension aux bornes du condensateur devient égale à la tension de la source d'alimentation (E). À ce moment, il n'y a plus de différence de potentiel aux bornes de la résistance, le courant cesse de circuler, et le condensateur ne peut plus accumuler de charges.

Que signifie "le condensateur est complètement chargé" ?

En théorie, la tension du condensateur n'atteint jamais E, elle s'en approche asymptotiquement. En pratique, on considère qu'un condensateur est complètement chargé (à plus de 99.3%) après un temps égal à 5 fois la constante de temps (\(t = 5\tau\)). C'est une règle d'ingénieur très utilisée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la valeur de la résistance R dans un circuit RC, la constante de temps \(\tau\) :

est divisée par deux.
reste la même.
est doublée.

2. Après un temps \(t = 5\tau\), la tension aux bornes d'un condensateur en charge est approximativement :

63% de la tension finale
99% de la tension finale
100% de la tension finale

Glossaire

Circuit RC: Un circuit électrique composé d'une résistance et d'un condensateur. Il est caractérisé par sa réponse temporelle exponentielle.
Condensateur (C): Un composant passif qui emmagasine de l'énergie dans un champ électrique. Sa capacité se mesure en Farads (F).
Constante de Temps (\(\tau\)): Le produit de la résistance et de la capacité (\(\tau = RC\)). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge d'un circuit RC. Après une durée \(\tau\), le condensateur a atteint 63.2% de sa charge finale.

Étude d’un Circuit RC

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Circuit RC

Questions à traiter

Correction : Étude du Circuit RC

Question 1 : Calcul de la Constante de Temps \(\tau\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 2 : Tension à \(t=\tau\) (Charge)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 3 : Temps de Décharge à 1%

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

Simulation Interactive du Circuit RC

Paramètres de Simulation

Courbe de Charge \(V_C(t)\)

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