Flux Électrique à travers un Cube

Flux Électrique à travers un Cube

Comprendre le Flux Électrique à travers un Cube

Considérons une charge ponctuelle \( q \) placée à l’origine d’un système de coordonnées cartésiennes. Un cube de côté \( a \) est centré au point \( P(a, a, a) \). La charge génère un champ électrique dans l’espace environnant.

Pour comprendre le Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface, cliquez sur le lien.

Données :

  • Charge ponctuelle \( q = +2 \times 10^{-9} \) coulombs (positive)
  • Longueur du côté du cube \( a = 0.1 \) mètres
  • Permittivité du vide \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \) farad/mètre

Questions:

1. Calcul du Champ Électrique :

  • Déterminez l’expression du champ électrique \( \vec{E} \) dû à la charge \( q \) en un point quelconque \( (x, y, z) \) dans l’espace.

2. Flux Électrique à travers une Face du Cube :

  • Calculez le flux du champ électrique \( \Phi_E \) à travers la face du cube située le plus loin de la charge. Cette face est celle dont le centre a les coordonnées \( (a, a, 2a) \).

3. Théorème de Gauss :

  • Vérifiez si le résultat obtenu est cohérent avec le théorème de Gauss, sachant que le cube ne contient pas la charge \( q \).

Correction : Flux Électrique à travers un Cube

1. Calcul du Champ Électrique \( \vec{E} \)

Formule générale :

\[ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^3} \vec{r} \]

Valeurs substituées :

  • \( q = 2 \times 10^{-9} \) C
  • \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \) F/m

Position de la charge et du point d’observation :

  • Position de la charge \( q \): \( (0, 0, 0) \)
  • Centre de la face la plus éloignée du cube: \( (0.1, 0.1, 0.2) \) m

Vecteur position \( \vec{r} \) :

\[ \vec{r} = (0.1 – 0, 0.1 – 0, 0.2 – 0) \] \[ \vec{r} = (0.1, 0.1, 0.2)\, \text{m} \]

Magnitude de \( \vec{r} \) :

\[ r = \sqrt{(0.1)^2 + (0.1)^2 + (0.2)^2} \] \[ r = \sqrt{0.01 + 0.01 + 0.04} \] \[ r = \sqrt{0.06} = 0.24495\, \text{m} \]

Champ électrique \( \vec{E} \) :

\[ \vec{E} = \frac{1}{4\pi(8.85 \times 10^{-12})} \frac{2 \times 10^{-9}}{(0.24495)^3} \vec{r} \] \[ \vec{E} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-9}}{0.0147} \vec{r} \] \[ \vec{E} = \frac{18 \times 10^{-9}}{0.0147} (0.1, 0.1, 0.2) \] \[ \vec{E} \approx \frac{18 \times 10^{-9}}{0.0147} \times (0.1, 0.1, 0.2) \] \[ \vec{E} \approx (122449, 122449, 244898)\, \text{V/m} \]

2. Calcul du Flux \( \Phi_E \)

Surface \( d\vec{A} \) :

  • Aire d’une face du cube: \( a^2 = (0.1)^2 = 0.01 \) m²
  • Vecteur normal (vers l’extérieur sur l’axe z positif pour la face éloignée): \( (0, 0, 1) \)

Flux électrique \( \Phi_E \) :

\[ \Phi_E = \vec{E} \cdot d\vec{A} \] \[ \Phi_E = (0, 0, 244898) \cdot (0, 0, 0.01) \] \[ \Phi_E = 2448.98\, \text{Vm/m}^2 \]

3. Vérification avec le Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss stipule que le flux net à travers une surface fermée est zéro si aucune charge n’est enfermée :

\[ \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0 \]

Puisque notre cube ne contient pas la charge et qu’on calcule le flux à travers une seule face, le flux net à travers l’ensemble du cube serait nul si toutes les contributions sont prises en compte, ce qui est cohérent avec le fait que \( Q_{\text{enc}} = 0 \).

Conclusion :

Le calcul montre que le flux à travers la face spécifique est positif et significatif, mais le flux total à travers toutes les faces du cube serait zéro, ce qui confirme l’application correcte du théorème de Gauss dans ce contexte de charge extérieure.

Flux Électrique à travers un Cube

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