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Induction Magnétique dans un Transformateur

Induction Magnétique dans un Transformateur

Induction Magnétique dans un Transformateur

Comprendre comment le flux magnétique variable induit une tension dans les enroulements d'un transformateur et calculer cette tension.

L'induction électromagnétique est le phénomène à la base du fonctionnement des transformateurs. Un courant variable circulant dans l'enroulement primaire crée un champ magnétique variable. Ce champ magnétique est canalisé par le noyau ferromagnétique et traverse l'enroulement secondaire.

Le flux magnétique (\(\Phi\)) à travers une spire d'aire \(A\) est donné par \(\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\alpha)\), où \(B\) est l'intensité du champ magnétique et \(\alpha\) l'angle entre \(\vec{B}\) et la normale à la surface de la spire. Si \(\vec{B}\) est perpendiculaire à la surface des spires, \(\alpha = 0^\circ\) et \(\cos(0^\circ) = 1\), donc \(\Phi = B \cdot A\).

La loi de Faraday stipule qu'une variation de flux magnétique \(\Delta \Phi\) à travers une bobine de \(N\) spires pendant une durée \(\Delta t\) induit une force électromotrice (f.é.m.) \(e\) :

\[ e = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \]

Le signe moins est une conséquence de la loi de Lenz, indiquant que la f.é.m. induite s'oppose à la variation de flux qui l'a créée.

Données du Problème

On considère un transformateur monophasé.

  • Nombre de spires à l'enroulement primaire : \(N_1 = 600 \text{ spires}\)
  • Nombre de spires à l'enroulement secondaire : \(N_2 = 150 \text{ spires}\)
  • Aire de la section droite du noyau magnétique (et donc d'une spire) : \(A = 40 \text{ cm}^2\)
  • Le champ magnétique \(\vec{B}\) dans le noyau est uniforme et perpendiculaire à la surface des spires.
  • À un instant \(t_1\), l'intensité du champ magnétique est \(B_1 = 0.20 \text{ T}\).
  • À un instant ultérieur \(t_2\), l'intensité du champ magnétique est \(B_2 = 1.00 \text{ T}\).
  • La durée de cette variation est \(\Delta t = t_2 - t_1 = 0.010 \text{ s}\).
N1 spires V1 N2 spires V2 (e2) Flux Magnétique \(\Phi\)
Variation du flux magnétique dans un transformateur.

Questions

  1. Convertir l'aire \(A\) de la section du noyau en mètres carrés (\(m^2\)).
  2. Calculer le flux magnétique initial \(\Phi_1\) à travers une spire lorsque \(B = B_1\).
  3. Calculer le flux magnétique final \(\Phi_2\) à travers une spire lorsque \(B = B_2\).
  4. Calculer la variation du flux magnétique \(\Delta \Phi_{spire}\) à travers une spire pendant la durée \(\Delta t\).
  5. Calculer la valeur absolue de la force électromotrice (f.é.m.) induite moyenne \(|e_1|\) aux bornes de l'enroulement primaire.
  6. Calculer la valeur absolue de la force électromotrice (f.é.m.) induite moyenne \(|e_2|\) aux bornes de l'enroulement secondaire.
  7. Vérifier si le rapport \(|e_2|/|e_1|\) est approximativement égal au rapport de transformation \(N_2/N_1\).

Correction : Induction Magnétique dans un Transformateur

1. Conversion de l'Aire (\(A\)) en \(m^2\)

On sait que \(1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}\), donc \(1 \text{ cm}^2 = (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2\).

Donnée :

  • \(A = 40 \text{ cm}^2\)
\begin{aligned} A &= 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \\ &= 0.0040 \text{ m}^2 \end{aligned}

L'aire de la section du noyau est \(A = 0.0040 \text{ m}^2\).

2. Calcul du Flux Magnétique Initial (\(\Phi_1\)) par Spire

Le champ \(\vec{B}\) est perpendiculaire à la surface des spires, donc \(\alpha = 0^\circ\) et \(\cos(0^\circ) = 1\). La formule est \(\Phi = B \cdot A\).

Données :

  • \(B_1 = 0.20 \text{ T}\)
  • \(A = 0.0040 \text{ m}^2\)
\begin{aligned} \Phi_1 &= B_1 \cdot A \\ &= 0.20 \text{ T} \times 0.0040 \text{ m}^2 \\ &= 0.00080 \text{ Wb} \\ &= 8.0 \times 10^{-4} \text{ Wb} \end{aligned}

Le flux magnétique initial par spire est \(\Phi_1 = 8.0 \times 10^{-4} \text{ Wb}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Le flux magnétique à travers une surface est maximal lorsque l'angle entre le champ magnétique et la normale à la surface est de :

3. Calcul du Flux Magnétique Final (\(\Phi_2\)) par Spire

On utilise la même formule \(\Phi = B \cdot A\).

Données :

  • \(B_2 = 1.00 \text{ T}\)
  • \(A = 0.0040 \text{ m}^2\)
\begin{aligned} \Phi_2 &= B_2 \cdot A \\ &= 1.00 \text{ T} \times 0.0040 \text{ m}^2 \\ &= 0.0040 \text{ Wb} \\ &= 4.0 \times 10^{-3} \text{ Wb} \end{aligned}

Le flux magnétique final par spire est \(\Phi_2 = 4.0 \times 10^{-3} \text{ Wb}\).

4. Calcul de la Variation du Flux Magnétique (\(\Delta \Phi_{spire}\)) par Spire

\(\Delta \Phi_{spire} = \Phi_2 - \Phi_1\).

Données calculées :

  • \(\Phi_1 = 8.0 \times 10^{-4} \text{ Wb}\)
  • \(\Phi_2 = 4.0 \times 10^{-3} \text{ Wb} = 40 \times 10^{-4} \text{ Wb}\)
\begin{aligned} \Delta \Phi_{spire} &= (40 \times 10^{-4} \text{ Wb}) - (8.0 \times 10^{-4} \text{ Wb}) \\ &= (40 - 8.0) \times 10^{-4} \text{ Wb} \\ &= 32 \times 10^{-4} \text{ Wb} \\ &= 3.2 \times 10^{-3} \text{ Wb} \end{aligned}

La variation du flux magnétique par spire est \(\Delta \Phi_{spire} = 3.2 \times 10^{-3} \text{ Wb}\).

5. Calcul de la f.é.m. Induite Moyenne (\(|e_1|\)) au Primaire

On utilise \(|e_1| = N_1 \left| \frac{\Delta \Phi_{spire}}{\Delta t} \right|\).

Données :

  • \(N_1 = 600 \text{ spires}\)
  • \(\Delta \Phi_{spire} = 3.2 \times 10^{-3} \text{ Wb}\)
  • \(\Delta t = 0.010 \text{ s}\)
\begin{aligned} |e_1| &= 600 \times \left| \frac{3.2 \times 10^{-3} \text{ Wb}}{0.010 \text{ s}} \right| \\ &= 600 \times \frac{0.0032}{0.010} \text{ V} \\ &= 600 \times 0.32 \text{ V} \\ &= 192 \text{ V} \end{aligned}

La valeur absolue de la f.é.m. induite moyenne au primaire est \(|e_1| = 192 \text{ V}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si la même variation de flux se produit sur une durée \(\Delta t\) deux fois plus longue, la f.é.m. induite sera :

6. Calcul de la f.é.m. Induite Moyenne (\(|e_2|\)) au Secondaire

On utilise \(|e_2| = N_2 \left| \frac{\Delta \Phi_{spire}}{\Delta t} \right|\). Le \(\Delta \Phi_{spire}\) et \(\Delta t\) sont les mêmes que pour le primaire car le flux est supposé parfaitement canalisé.

Données :

  • \(N_2 = 150 \text{ spires}\)
  • \(\Delta \Phi_{spire} = 3.2 \times 10^{-3} \text{ Wb}\)
  • \(\Delta t = 0.010 \text{ s}\)
\begin{aligned} |e_2| &= 150 \times \left| \frac{3.2 \times 10^{-3} \text{ Wb}}{0.010 \text{ s}} \right| \\ &= 150 \times 0.32 \text{ V} \\ &= 48 \text{ V} \end{aligned}

La valeur absolue de la f.é.m. induite moyenne au secondaire est \(|e_2| = 48 \text{ V}\).

7. Vérification du Rapport des f.é.m. et du Rapport de Transformation

On calcule le rapport \(|e_2|/|e_1|\) et on le compare au rapport de transformation \(m = N_2/N_1\).

Rapport des f.é.m. induites :

\[ \frac{|e_2|}{|e_1|} = \frac{48 \text{ V}}{192 \text{ V}} = 0.25 \]

Rapport de transformation (nombre de spires) :

\begin{aligned} m &= \frac{N_2}{N_1} = \frac{150 \text{ spires}}{600 \text{ spires}} \\ &= \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \\ &= 0.25 \end{aligned}

On constate que \(\frac{|e_2|}{|e_1|} = \frac{N_2}{N_1} = m\). Cela est cohérent avec la théorie du transformateur idéal où les tensions induites sont proportionnelles au nombre de spires.

Le rapport des f.é.m. induites (\(0.25\)) est égal au rapport de transformation (\(0.25\)).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La loi de Faraday décrit :

Question 2 : L'unité du flux magnétique est le Weber (Wb), qui est équivalent à :

Question 3 : Dans un transformateur abaisseur idéal, le nombre de spires au secondaire \(N_2\) est :

Question 4 : Si le flux magnétique à travers une bobine double en une durée \(\Delta t\), la f.é.m. induite :

Glossaire des Termes Clés

Induction Électromagnétique :

Phénomène physique par lequel un champ magnétique variable dans le temps induit une force électromotrice (f.é.m.) dans un circuit électrique, ou un champ électrique.

Flux Magnétique (\(\Phi\)) :

Mesure de la quantité de lignes de champ magnétique qui traversent une surface donnée. Unité : Weber (Wb).

Force Électromotrice (f.é.m., \(e\)) :

Tension induite dans un circuit due à une variation de flux magnétique, capable de provoquer un courant si le circuit est fermé. Unité : Volt (V).

Loi de Faraday :

Loi qui quantifie la f.é.m. induite comme étant proportionnelle à la vitesse de variation du flux magnétique.

Loi de Lenz :

Loi qui détermine le sens de la f.é.m. (et du courant) induite : les effets du courant induit s'opposent à la cause qui lui a donné naissance (la variation de flux).

Transformateur :

Dispositif qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction mutuelle, généralement pour modifier la tension.

Spire / Enroulement / Bobine :

Un tour de fil conducteur (spire), ou un ensemble de spires (enroulement ou bobine).

Noyau Ferromagnétique :

Matériau à haute perméabilité magnétique utilisé dans les transformateurs pour canaliser et intensifier le flux magnétique.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la f.é.m. induite au secondaire changerait-elle si le champ magnétique variait de manière non uniforme (par exemple, sinusoïdalement) au lieu d'une variation linéaire sur \(\Delta t\) ?

2. Si le noyau du transformateur n'était pas ferromagnétique mais en air, comment cela affecterait-il le flux magnétique et la f.é.m. induite pour un même courant primaire ?

3. Expliquez le principe de fonctionnement d'un générateur de bicyclette (dynamo) en utilisant la loi de Faraday.

4. Qu'est-ce que l'inductance d'une bobine ? Quel est son lien avec la f.é.m. auto-induite ?

5. Les courants de Foucault sont aussi un phénomène d'induction. Expliquez brièvement ce qu'ils sont et comment ils peuvent être à la fois utiles (freinage par induction) et indésirables (pertes dans les transformateurs).

Induction Magnétique dans un Transformateur

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