Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Interaction entre deux charges ponctuelles

Interaction entre Deux Charges Ponctuelles

Interaction entre Deux Charges Ponctuelles (Loi de Coulomb)

Comprendre la Loi de Coulomb

La loi de Coulomb décrit la force électrostatique qui s'exerce entre deux charges électriques ponctuelles. Cette force est directement proportionnelle au produit des deux charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. La direction de la force est portée par la droite joignant les deux charges. Si les charges sont de même signe, la force est répulsive (elles se repoussent). Si les charges sont de signes opposés, la force est attractive (elles s'attirent). Ce principe est fondamental pour comprendre de nombreux phénomènes en électricité et en magnétisme.

Données de l'étude

Deux charges ponctuelles, \(q_1\) et \(q_2\), sont placées dans le vide.

  • Charge \(q_1 = +2.0 \, \mu\text{C}\)
  • Charge \(q_2 = -3.0 \, \mu\text{C}\)
  • Distance entre les charges (\(r\)) : \(10 \, \text{cm}\)
  • Constante de Coulomb (\(k\)) : \( \approx 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Interaction entre deux charges ponctuelles
q₁ +2 µC q₂ -3 µC r = 10 cm F2→1 F1→2 Interaction de Coulomb

Deux charges ponctuelles q₁ (positive) et q₂ (négative) séparées par une distance r.

Questions à traiter

  1. Calculer la valeur (module) de la force électrostatique \(F\) exercée par la charge \(q_1\) sur la charge \(q_2\).
  2. Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Justifier votre réponse.
  3. Quelle est la valeur (module) et la direction de la force exercée par la charge \(q_2\) sur la charge \(q_1\) ? Invoquer le principe approprié.
  4. Si la distance \(r\) entre les charges est doublée (passant à \(20 \, \text{cm}\)), comment la nouvelle force \(F'\) est-elle modifiée par rapport à \(F\) ? Calculer la nouvelle valeur de la force.
  5. Si la charge \(q_2\) est modifiée pour devenir \(q'_2 = +3.0 \, \mu\text{C}\) (la distance restant à \(10 \, \text{cm}\)), quelle est la nouvelle force \(F''\) (valeur et nature) ?

Correction : Interaction entre Deux Charges Ponctuelles

Question 1 : Valeur de la force électrostatique \(F\) exercée par \(q_1\) sur \(q_2\)

Principe :

La valeur de la force électrostatique entre deux charges ponctuelles est donnée par la loi de Coulomb.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\]

Où \(k\) est la constante de Coulomb, \(q_1\) et \(q_2\) sont les valeurs des charges, et \(r\) est la distance entre elles.

Données spécifiques (avec conversions) :
  • \(q_1 = +2.0 \, \mu\text{C} = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_2 = -3.0 \, \mu\text{C} = -3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(r = 10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
  • \(k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= (9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{|(+2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \times (-3.0 \times 10^{-6} \, \text{C})|}{(0.10 \, \text{m})^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{|-6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2|}{0.01 \, \text{m}^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.01} \, \text{N} \\ &= (9 \times 10^9) \times (6.0 \times 10^{-10}) \, \text{N} \\ &= 54 \times 10^{-1} \, \text{N} \\ &= 5.4 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La valeur de la force électrostatique exercée par \(q_1\) sur \(q_2\) est \(F = 5.4 \, \text{N}\).

Question 2 : Nature de la force (attractive ou répulsive)

Principe :

La nature de la force électrostatique dépend des signes des charges en interaction. Des charges de signes opposés s'attirent, tandis que des charges de même signe se repoussent.

Justification :

La charge \(q_1 = +2.0 \, \mu\text{C}\) est positive.

La charge \(q_2 = -3.0 \, \mu\text{C}\) est négative.

Puisque les charges \(q_1\) et \(q_2\) sont de signes opposés, la force entre elles est attractive.

Résultat Question 2 : La force est attractive.

Quiz Intermédiaire 1 : Si deux charges sont toutes les deux négatives, la force entre elles sera :

Question 3 : Force exercée par \(q_2\) sur \(q_1\)

Principe :

Selon la troisième loi de Newton (principe d'action et de réaction), si un corps A exerce une force sur un corps B, alors le corps B exerce sur le corps A une force de même valeur, de même direction, mais de sens opposé.

Explication :

La force exercée par \(q_2\) sur \(q_1\), notée \(\vec{F}_{2 \rightarrow 1}\), est égale en module et opposée en direction à la force exercée par \(q_1\) sur \(q_2\), notée \(\vec{F}_{1 \rightarrow 2}\).

Module : \(|\vec{F}_{2 \rightarrow 1}| = |\vec{F}_{1 \rightarrow 2}| = F = 5.4 \, \text{N}\).

Direction : La force \(\vec{F}_{2 \rightarrow 1}\) est également portée par la droite joignant les deux charges. Puisque la force \(\vec{F}_{1 \rightarrow 2}\) est attractive (dirigée de \(q_2\) vers \(q_1\)), la force \(\vec{F}_{2 \rightarrow 1}\) est aussi attractive (dirigée de \(q_1\) vers \(q_2\)).

Résultat Question 3 : La force exercée par \(q_2\) sur \(q_1\) a une valeur de \(5.4 \, \text{N}\) et est dirigée de \(q_1\) vers \(q_2\) (attractive).

Question 4 : Force si la distance est doublée

Principe :

La loi de Coulomb indique que la force électrostatique est inversement proportionnelle au carré de la distance (\(F \propto 1/r^2\)). Si la distance est multipliée par un facteur \(n\), la force est divisée par \(n^2\).

Calculs :
Nouvelle distance :
\[r' = 2r = 2 \times 10 \, \text{cm} \] \[r' = 20 \, \text{cm} \] \[r' = 0.20 \, \text{m}\].

La nouvelle force \(F'\) sera :

\[F' = k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{(2r)^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{4r^2} = \frac{1}{4} \left( k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \right) = \frac{F}{4}\] \[ \begin{aligned} F' &= \frac{5.4 \, \text{N}}{4} \\ &= 1.35 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Si la distance est doublée, la force est divisée par 4. La nouvelle valeur de la force est \(F' = 1.35 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la distance entre deux charges est divisée par 3, la force électrostatique entre elles est :

Question 5 : Force si \(q_2\) devient \(q'_2 = +3.0 \, \mu\text{C}\)

Principe :

Nous recalculons la force avec la nouvelle valeur de \(q_2\), la distance restant \(r = 10 \, \text{cm}\). La nature de la force changera car les deux charges seront maintenant de même signe.

Données spécifiques (pour cette question) :
  • \(q_1 = +2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q'_2 = +3.0 \, \mu\text{C} = +3.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(r = 0.10 \, \text{m}\)
  • \(k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul de la valeur de la force \(F''\) :
\[ \begin{aligned} F'' &= k \frac{|q_1 q'_2|}{r^2} \\ &= (9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{|(+2.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \times (+3.0 \times 10^{-6} \, \text{C})|}{(0.10 \, \text{m})^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{|+6.0 \times 10^{-12} \, \text{C}^2|}{0.01 \, \text{m}^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{6.0 \times 10^{-12}}{0.01} \, \text{N} \\ &= 5.4 \, \text{N} \end{aligned} \]

La valeur de la force reste la même car \(|q_2| = |q'_2|\).

Nature de la force :

La charge \(q_1 = +2.0 \, \mu\text{C}\) est positive.

La nouvelle charge \(q'_2 = +3.0 \, \mu\text{C}\) est positive.

Puisque les charges \(q_1\) et \(q'_2\) sont de même signe (toutes les deux positives), la force entre elles est maintenant répulsive.

Résultat Question 5 : La nouvelle force \(F''\) a une valeur de \(5.4 \, \text{N}\) et est répulsive.

Quiz Intermédiaire 3 : Si la valeur absolue de l'une des charges double et que la distance est également doublée, la force électrostatique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Question 1. La loi de Coulomb stipule que la force électrostatique est :

Question 2. Deux charges ponctuelles de signes opposés :

Question 3. Si la charge \(q_1\) exerce une force \(\vec{F}\) sur la charge \(q_2\), alors la charge \(q_2\) exerce sur \(q_1\) une force :

Glossaire

Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb
Loi physique décrivant la force d'interaction électrostatique entre deux charges électriques ponctuelles.
Force Électrostatique
Force d'attraction ou de répulsion entre des objets due à leur charge électrique.
Principe d'Action et de Réaction (Troisième loi de Newton)
Pour chaque action, il existe une réaction égale et opposée : si un corps A exerce une force sur un corps B, alors B exerce une force de même intensité, de même direction et de sens opposé sur A.
Coulomb (\(\text{C}\))
Unité de mesure de la charge électrique dans le Système International d'unités (SI).
Microcoulomb (\(\mu\text{C}\))
Unité de charge électrique égale à \(10^{-6}\) Coulombs.
Interaction entre Deux Charges Ponctuelles

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