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Exercices Électricité

Loi d’Ohm avec des Lampes LED en Parallèle

Loi d’Ohm avec des Lampes LED en Parallèle

Loi d’Ohm avec des Lampes LED en Parallèle

Comprendre la Loi d'Ohm et les Circuits d'Éclairage LED

La loi d'Ohm (\(V=IR\)) est une relation fondamentale en électricité qui lie la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) dans un circuit. Dans les installations résidentielles, les circuits d'éclairage sont souvent constitués de plusieurs lampes connectées en parallèle à la source de tension du secteur (généralement 230V AC en Europe).

Les lampes à diodes électroluminescentes (LED) sont devenues très populaires en raison de leur faible consommation d'énergie et de leur longue durée de vie. Chaque lampe LED, avec son driver intégré, consomme une certaine puissance (\(P\)) à une tension donnée. Pour analyser un circuit d'éclairage LED, on peut calculer le courant consommé par chaque lampe (\(I = P/V\) pour une charge résistive ou en tenant compte du facteur de puissance), puis déterminer la résistance équivalente de chaque lampe (\(R = V/I\) ou \(R = V^2/P\)). Lorsque plusieurs lampes identiques sont en parallèle, leur résistance équivalente globale diminue, ce qui entraîne une augmentation du courant total fourni par la source.

Cet exercice se concentre sur l'application de la loi d'Ohm pour analyser un circuit d'éclairage composé de plusieurs lampes LED identiques montées en parallèle.

Données de l'étude

Un circuit d'éclairage dans une pièce est composé de plusieurs lampes LED identiques, alimentées par le secteur.

Caractéristiques de l'installation et des lampes :

  • Tension d'alimentation du réseau (\(V_S\)) : \(230 \, \text{V AC}\) (tension efficace)
  • Nombre de lampes LED (\(N\)) : \(8\)
  • Puissance de chaque lampe LED (\(P_{\text{LED}}\)) : \(10 \, \text{W}\)
  • Facteur de puissance de chaque lampe LED (avec son driver) (\(\cos\varphi\)) : \(0.90\) (inductif)
Schéma du Circuit d'Éclairage LED en Parallèle
VS Itotal LED 1 LED 2 ... LED N Circuit d'éclairage avec N lampes LED en parallèle.

Schéma d'un circuit d'éclairage avec plusieurs lampes LED montées en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la puissance apparente (\(S_{\text{LED}}\)) consommée par une seule lampe LED.
  2. Calculer le courant efficace (\(I_{\text{LED}}\)) consommé par une seule lampe LED.
  3. En considérant chaque lampe LED (avec son driver) comme une impédance, calculer la magnitude de l'impédance équivalente (\(Z_{\text{LED}}\)) d'une seule lampe LED en fonctionnement.
  4. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{LED}}\)) et la réactance équivalente (\(X_{\text{LED}}\)) d'une seule lampe LED.
  5. Calculer la magnitude de l'impédance équivalente totale (\(Z_P\)) de toutes les lampes LED montées en parallèle.
  6. Calculer le courant total efficace (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
  7. Calculer la puissance active totale (\(P_{\text{total}}\)) et la puissance apparente totale (\(S_{\text{total}}\)) consommées par l'ensemble des lampes.

Correction : Loi d’Ohm avec des Lampes LED en Parallèle

Question 1 : Puissance apparente (\(S_{\text{LED}}\)) par lampe

Principe :

La puissance apparente \(S\) est liée à la puissance active \(P\) et au facteur de puissance \(\cos\varphi\) par \(S = P / \cos\varphi\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{\text{LED}} = \frac{P_{\text{LED}}}{\cos\varphi}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{LED}} = 10 \, \text{W}\)
  • \(\cos\varphi = 0.90\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{LED}} &= \frac{10 \, \text{W}}{0.90} \\ &\approx 11.111 \, \text{VA} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La puissance apparente consommée par une lampe LED est \(S_{\text{LED}} \approx 11.11 \, \text{VA}\).

Question 2 : Courant efficace (\(I_{\text{LED}}\)) par lampe

Principe :

Pour une charge monophasée, le courant efficace \(I\) est calculé à partir de la puissance apparente \(S\) et de la tension efficace \(V_S\) : \(I = S / V_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{LED}} = \frac{S_{\text{LED}}}{V_S}\]
Données spécifiques :
  • \(S_{\text{LED}} \approx 11.111 \, \text{VA}\) (de Q1)
  • \(V_S = 230 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{LED}} &= \frac{11.111 \, \text{VA}}{230 \, \text{V}} \\ &\approx 0.048309 \, \text{A} \end{aligned} \]

Soit \(I_{\text{LED}} \approx 48.31 \, \text{mA}\).

Résultat Question 2 : Le courant efficace consommé par une lampe LED est \(I_{\text{LED}} \approx 0.0483 \, \text{A}\) (ou \(48.3 \, \text{mA}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la puissance active d'une lampe LED est de 10W et son facteur de puissance est de 1, le courant sous 230V sera :

Question 3 : Magnitude de l'impédance équivalente (\(Z_{\text{LED}}\)) d'une lampe

Principe :

La magnitude de l'impédance \(Z\) d'une charge est donnée par le rapport de la tension efficace \(V\) à ses bornes sur le courant efficace \(I\) qui la traverse : \(Z = V/I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{LED}} = \frac{V_S}{I_{\text{LED}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 230 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{LED}} \approx 0.048309 \, \text{A}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{LED}} &= \frac{230 \, \text{V}}{0.048309 \, \text{A}} \\ &\approx 4761.0 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

Soit \(Z_{\text{LED}} \approx 4.76 \, \text{kΩ}\).

Résultat Question 3 : La magnitude de l'impédance équivalente d'une lampe LED est \(Z_{\text{LED}} \approx 4761 \, \text{Ω}\).

Question 4 : Résistance (\(R_{\text{LED}}\)) et Réactance (\(X_{\text{LED}}\)) d'une lampe

Principe :

L'impédance complexe est \(Z = R + jX\). On sait que \(R = Z \cos\varphi\) et \(X = Z \sin\varphi\). Nous devons d'abord calculer \(\sin\varphi\). Si \(\cos\varphi = 0.90\), alors \(\varphi = \arccos(0.90) \approx 25.84^\circ\). \(\sin\varphi = \sin(25.84^\circ) \approx 0.4359\). (Puisque \(\cos\varphi\) est inductif, \(X_L\) sera positif).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{LED}} = Z_{\text{LED}} \cos\varphi\] \[X_{\text{LED}} = Z_{\text{LED}} \sin\varphi\]
Données spécifiques :
  • \(Z_{\text{LED}} \approx 4761.0 \, \text{Ω}\) (de Q3)
  • \(\cos\varphi = 0.90\)
  • \(\sin\varphi \approx 0.4359\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{LED}} &= 4761.0 \, \text{Ω} \cdot 0.90 \\ &\approx 4284.9 \, \text{Ω} \\ \\ X_{\text{LED}} &= 4761.0 \, \text{Ω} \cdot 0.4359 \\ &\approx 2075.2 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • Résistance équivalente : \(R_{\text{LED}} \approx 4285 \, \text{Ω}\)
  • Réactance équivalente (inductive) : \(X_{\text{LED}} \approx 2075 \, \text{Ω}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Pour une charge inductive, la réactance \(X_L\) est :

Question 5 : Impédance équivalente totale (\(Z_P\)) des lampes en parallèle

Principe :

Pour \(N\) impédances identiques \(Z_{\text{LED}}\) en parallèle, l'impédance équivalente \(Z_P\) est \(Z_P = Z_{\text{LED}} / N\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_P = \frac{Z_{\text{LED}}}{N}\]
Données spécifiques :
  • \(Z_{\text{LED}} \approx 4761.0 \, \text{Ω}\) (de Q3)
  • \(N = 8\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_P &= \frac{4761.0 \, \text{Ω}}{8} \\ &\approx 595.125 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La magnitude de l'impédance équivalente totale des lampes en parallèle est \(Z_P \approx 595.13 \, \text{Ω}\).

Question 6 : Courant total efficace (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total est la somme des courants de chaque lampe. Comme les lampes sont identiques et en parallèle, \(I_{\text{total}} = N \cdot I_{\text{LED}}\). Alternativement, \(I_{\text{total}} = V_S / Z_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = N \cdot I_{\text{LED}}\]
Données spécifiques :
  • \(N = 8\)
  • \(I_{\text{LED}} \approx 0.048309 \, \text{A}\) (de Q2)
  • \(V_S = 230 \, \text{V}\)
  • \(Z_P \approx 595.125 \, \text{Ω}\) (de Q5)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= 8 \cdot 0.048309 \, \text{A} \\ &\approx 0.386472 \, \text{A} \end{aligned} \]

Calcul (méthode 2, vérification) :

\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{V_S}{Z_P} \\ &= \frac{230 \, \text{V}}{595.125 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.38647 \, \text{A} \end{aligned} \]

Les résultats concordent.

Résultat Question 6 : Le courant total efficace fourni par la source est \(I_{\text{total}} \approx 0.386 \, \text{A}\).

Question 7 : Puissance active totale (\(P_{\text{total}}\)) et apparente totale (\(S_{\text{total}}\))

Principe :

La puissance active totale est \(P_{\text{total}} = N \cdot P_{\text{LED}}\). La puissance apparente totale est \(S_{\text{total}} = V_S \cdot I_{\text{total}}\) ou \(S_{\text{total}} = P_{\text{total}} / \cos\varphi\).

Données spécifiques :
  • \(N = 8\)
  • \(P_{\text{LED}} = 10 \, \text{W}\)
  • \(V_S = 230 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{total}} \approx 0.38647 \, \text{A}\) (de Q6)
  • \(\cos\varphi = 0.90\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{total}} &= 8 \cdot 10 \, \text{W} \\ &= 80 \, \text{W} \\ \\ S_{\text{total}} &= V_S \cdot I_{\text{total}} \\ &= (230 \, \text{V}) \cdot (0.38647 \, \text{A}) \\ &\approx 88.8881 \, \text{VA} \\ \text{Vérification : } S_{\text{total}} &= \frac{P_{\text{total}}}{\cos\varphi} \\ &= \frac{80 \, \text{W}}{0.90} \\ &\approx 88.888... \, \text{VA} \end{aligned} \]

Les résultats concordent.

Résultat Question 7 :
  • Puissance active totale : \(P_{\text{total}} = 80 \, \text{W}\)
  • Puissance apparente totale : \(S_{\text{total}} \approx 88.89 \, \text{VA}\)

Quiz Intermédiaire 3 : Si des charges identiques sont ajoutées en parallèle à une source de tension constante, le courant total fourni par la source :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour des résistances identiques en parallèle, la résistance équivalente :

2. La loi d'Ohm relie :

3. Dans un circuit purement résistif alimenté en AC, la puissance active est :

Glossaire

Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité : \(V = IR\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
Résistance Électrique (\(R\))
Opposition au passage du courant électrique dans un matériau ou un composant. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Circuit en Parallèle
Configuration de circuit où les composants sont connectés de telle sorte que la tension est la même à travers chaque composant.
Résistance Équivalente
Valeur unique de résistance qui aurait le même effet sur le circuit que le groupement de résistances qu'elle remplace.
Courant Électrique (\(I\))
Flux de charge électrique. Unité : Ampère (A).
Tension Électrique (\(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points. Unité : Volt (V).
Puissance Active (\(P\))
Puissance réellement consommée par une charge et convertie en une autre forme d'énergie (chaleur, lumière, travail mécanique). Unité : Watt (W).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit de la valeur efficace de la tension et de la valeur efficace du courant dans un circuit AC. Unité : Voltampère (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos\varphi\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente dans un circuit AC. Il indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance électrique.
Lampe LED (Diode Électroluminescente)
Composant semi-conducteur qui émet de la lumière lorsqu'il est parcouru par un courant électrique. Les lampes LED modernes incluent un driver pour fonctionner sur le secteur.
Loi d’Ohm avec des Lampes LED en Parallèle

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