Exercices Électricité

Loi d’Ohm dans la Distribution Électrique

Loi d’Ohm dans la Distribution Électrique

Loi d’Ohm dans la Distribution Électrique

Comprendre la Loi d'Ohm en Distribution Électrique

La loi d'Ohm (\(U = RI\)) est l'une des lois fondamentales de l'électricité. Dans les systèmes de distribution électrique, elle est cruciale pour analyser le comportement des lignes de transmission et des charges. Les conducteurs des lignes de distribution possèdent une résistance qui provoque une chute de tension et des pertes d'énergie par effet Joule lorsque le courant les traverse. Comprendre et calculer ces effets est essentiel pour la conception et l'exploitation efficaces des réseaux électriques, afin d'assurer que la tension fournie aux utilisateurs reste dans des limites acceptables et que les pertes d'énergie soient minimisées. Cet exercice se concentre sur l'application de la loi d'Ohm pour analyser une ligne de distribution simple alimentant une charge.

Données de l'étude

Une source de tension continue alimente une charge résistive à travers une ligne de distribution bifilaire en cuivre.

Caractéristiques du système :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(240 \, \text{V}\) (DC)
  • Longueur de chaque conducteur de la ligne (\(L_{conducteur}\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Résistivité du cuivre (\(\rho_{cu}\)) : \(1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}\) à \(20^\circ\text{C}\)
  • Section transversale de chaque conducteur (\(S_{cond}\)) : \(4 \, \text{mm}^2\)
  • Puissance consommée par la charge (\(P_{charge}\)) : \(2 \, \text{kW}\)
Schéma : Ligne de Distribution Simple
+ - Vs Rline/2 Rline/2 I Charge Pcharge Vload Distribution Électrique Simple

Une source \(V_S\) alimente une charge \(P_{charge}\) à travers une ligne de résistance \(R_{line}\).

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance totale (\(R_{ligne}\)) de la ligne de distribution (aller et retour).
  2. En supposant que la tension aux bornes de la charge est \(V_{charge}\), exprimer le courant \(I\) dans le circuit en fonction de \(P_{charge}\) et \(V_{charge}\).
  3. Établir une équation reliant \(V_S\), \(I\), \(R_{ligne}\) et \(V_{charge}\). En utilisant la relation de la question 2, former une équation du second degré en \(I\) (ou en \(V_{charge}\)) et la résoudre pour trouver le courant \(I\) circulant dans la ligne.
  4. Calculer la tension réelle aux bornes de la charge (\(V_{charge}\)).
  5. Calculer la chute de tension (\(V_{chute}\)) dans la ligne de distribution.
  6. Calculer la puissance perdue par effet Joule dans la ligne (\(P_{pertes}\)).
  7. Calculer le rendement (\(\eta\)) de la transmission de puissance.

Correction : Loi d’Ohm dans la Distribution Électrique

Question 1 : Résistance totale (\(R_{ligne}\)) de la ligne

Principe :

La résistance d'un conducteur est donnée par \(R = \rho \frac{L_{totale}}{S_{cond}}\), où \(\rho\) est la résistivité, \(L_{totale}\) est la longueur totale du conducteur pour le passage du courant (aller et retour), et \(S_{cond}\) est sa section transversale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{ligne} = \rho_{cu} \frac{2 \cdot L_{conducteur}}{S_{cond}}\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Résistivité du cuivre (\(\rho_{cu}\)) : \(1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}\)
  • Longueur d'un conducteur (\(L_{conducteur}\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Section transversale (\(S_{cond}\)) : \(4 \, \text{mm}^2 = 4 \times (10^{-3} \, \text{m})^2 = 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{ligne} &= (1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}) \frac{2 \times 50 \, \text{m}}{4 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \\ &= (1.7 \times 10^{-8}) \frac{100}{4 \times 10^{-6}} \, \Omega \\ &= (1.7 \times 10^{-8}) \times 25 \times 10^6 \, \Omega \\ &= 1.7 \times 25 \times 10^{-2} \, \Omega \\ &= 42.5 \times 10^{-2} \, \Omega \\ &= 0.425 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance totale de la ligne est \(R_{ligne} = 0.425 \, \Omega\).

Question 2 : Expression du courant \(I\) en fonction de \(P_{charge}\) et \(V_{charge}\)

Principe :

Pour une charge résistive (ou en courant continu), la puissance \(P_{charge}\) est donnée par \(P_{charge} = V_{charge} \cdot I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{P_{charge}}{V_{charge}}\]
Résultat Question 2 : Le courant est \(I = \frac{P_{charge}}{V_{charge}}\).

Question 3 : Équation et calcul du courant \(I\)

Principe :

La tension de la source \(V_S\) est égale à la somme de la chute de tension dans la ligne (\(V_{ligne} = R_{ligne} I\)) et de la tension aux bornes de la charge (\(V_{charge}\)). On combine cela avec la relation de la question 2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_S = V_{ligne} + V_{charge}\] \[V_S = R_{ligne} I + V_{charge}\]

En substituant \(V_{charge} = P_{charge}/I\) :

\[V_S = R_{ligne} I + \frac{P_{charge}}{I}\]

En multipliant par \(I\) (pour \(I \neq 0\)) :

\[V_S I = R_{ligne} I^2 + P_{charge}\] \[R_{ligne} I^2 - V_S I + P_{charge} = 0\]

C'est une équation quadratique de la forme \(aI^2 + bI + c = 0\), avec \(a = R_{ligne}\), \(b = -V_S\), \(c = P_{charge}\).

Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.425 \, \Omega\)
  • \(V_S = 240 \, \text{V}\)
  • \(P_{charge} = 2000 \, \text{W}\)
Calcul :
\[0.425 I^2 - 240 I + 2000 = 0\]

On utilise la formule quadratique \(I = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) :

\[ \begin{aligned} \Delta &= (-240)^2 - 4 \times 0.425 \times 2000 \\ &= 57600 - 1.7 \times 2000 \\ &= 57600 - 3400 \\ &= 54200 \end{aligned} \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{54200} \approx 232.809 \] \[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{240 + 232.809}{2 \times 0.425} \\ &= \frac{472.809}{0.85} \\ &\approx 556.246 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{240 - 232.809}{2 \times 0.425} \\ &= \frac{7.191}{0.85} \\ &\approx 8.460 \, \text{A} \end{aligned} \]

Le courant \(I_1 \approx 556 \, \text{A}\) entraînerait une chute de tension dans la ligne de \(0.425 \times 556 \approx 236 \, \text{V}\), laissant seulement \(4 \, \text{V}\) pour la charge, ce qui ne permettrait pas de dissiper \(2000 \, \text{W}\) (\(P = V^2/R\)). Cette solution est physiquement moins probable dans un contexte de distribution standard. La solution \(I_2 \approx 8.46 \, \text{A}\) est la plus réaliste.

Résultat Question 3 : Le courant circulant dans la ligne est \(I \approx 8.46 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La loi d'Ohm stipule que la tension aux bornes d'une résistance est :

Question 4 : Tension aux bornes de la charge (\(V_{charge}\))

Principe :

On utilise la relation \(P_{charge} = V_{charge} I\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{charge} = \frac{P_{charge}}{I}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{charge} = 2000 \, \text{W}\)
  • \(I \approx 8.460 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{charge} &= \frac{2000 \, \text{W}}{8.460 \, \text{A}} \\ &\approx 236.407 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de la charge est \(V_{charge} \approx 236.41 \, \text{V}\).

Question 5 : Chute de tension dans la ligne (\(V_{chute}\))

Principe :

La chute de tension dans la ligne est donnée par la loi d'Ohm appliquée à la résistance de la ligne : \(V_{chute} = R_{ligne} I\). Elle peut aussi être calculée comme \(V_S - V_{charge}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{chute} = R_{ligne} I \quad \text{ou} \quad V_{chute} = V_S - V_{charge}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.425 \, \Omega\)
  • \(I \approx 8.460 \, \text{A}\)
  • \(V_S = 240 \, \text{V}\)
  • \(V_{charge} \approx 236.407 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{chute} &= 0.425 \, \Omega \times 8.460 \, \text{A} \\ &\approx 3.5955 \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification :

\[ \begin{aligned} V_{chute} &= 240 \, \text{V} - 236.407 \, \text{V} \\ &\approx 3.593 \, \text{V} \end{aligned} \]

La légère différence est due aux arrondis intermédiaires.

Résultat Question 5 : La chute de tension dans la ligne est \(V_{chute} \approx 3.59 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Une chute de tension importante dans une ligne de distribution est généralement :

Question 6 : Puissance perdue dans la ligne (\(P_{pertes}\))

Principe :

La puissance perdue par effet Joule dans la ligne est donnée par \(P_{pertes} = R_{ligne} I^2\). Elle peut aussi être calculée comme la différence entre la puissance fournie par la source et la puissance consommée par la charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{pertes} = R_{ligne} I^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.425 \, \Omega\)
  • \(I \approx 8.460 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{pertes} &= 0.425 \, \Omega \times (8.460 \, \text{A})^2 \\ &= 0.425 \times 71.5716 \, \text{W} \\ &\approx 30.418 \, \text{W} \end{aligned} \]

Puissance fournie par la source : \(P_S = V_S I = 240 \, \text{V} \times 8.460 \, \text{A} = 2030.4 \, \text{W}\).

Vérification : \(P_{pertes} = P_S - P_{charge} = 2030.4 \, \text{W} - 2000 \, \text{W} = 30.4 \, \text{W}\).

Résultat Question 6 : La puissance perdue dans la ligne est \(P_{pertes} \approx 30.4 \, \text{W}\).

Question 7 : Rendement (\(\eta\)) de la transmission

Principe :

Le rendement de la transmission est le rapport entre la puissance utile (consommée par la charge) et la puissance totale fournie par la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \frac{P_{charge}}{P_S} = \frac{P_{charge}}{P_{charge} + P_{pertes}}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{charge} = 2000 \, \text{W}\)
  • \(P_S \approx 2030.4 \, \text{W}\) (ou \(P_{pertes} \approx 30.4 \, \text{W}\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{2000 \, \text{W}}{2030.4 \, \text{W}} \\ &\approx 0.98503 \\ &\approx 98.50\% \end{aligned} \]

Ou en utilisant les pertes :

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{2000 \, \text{W}}{2000 \, \text{W} + 30.4 \, \text{W}} \\ &= \frac{2000}{2030.4} \\ &\approx 0.98503 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le rendement de la transmission de puissance est \(\eta \approx 98.50\%\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La résistance d'un fil conducteur est inversement proportionnelle à :

2. La chute de tension dans une ligne de distribution :

3. Les pertes par effet Joule dans une ligne de résistance \(R_{ligne}\) parcourue par un courant \(I\) sont :

Glossaire

Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité qui stipule que la différence de potentiel (tension) aux bornes d'un conducteur est proportionnelle au courant qui le traverse, le coefficient de proportionnalité étant la résistance. \(V = RI\).
Résistance Électrique (\(R\))
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité SI : Ohm (\(\Omega\)).
Résistivité (\(\rho\))
Propriété intrinsèque d'un matériau caractérisant sa capacité à résister au flux de courant électrique. Unité SI : Ohm-mètre (\(\Omega \cdot \text{m}\)).
Courant Continu (DC)
Flux de charge électrique qui ne change pas de direction au cours du temps.
Tension Électrique (\(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points. Unité SI : Volt (V).
Chute de Tension
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et au courant qui le traverse.
Puissance Électrique (\(P\))
Taux auquel l'énergie électrique est transférée par un circuit électrique. Unité SI : Watt (W). Pour un circuit DC, \(P = VI = RI^2 = V^2/R\).
Pertes par Effet Joule
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsqu'un courant électrique traverse un conducteur résistif.
Rendement de Transmission (\(\eta\))
Rapport de la puissance délivrée à la charge à la puissance fournie par la source. Il mesure l'efficacité de la transmission d'énergie.
Loi d’Ohm dans la Distribution Électrique

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