Lois de l'Ohm et Kirchhoff - Exercice corrigé

Vous êtes stagiaire dans une entreprise de conception électronique et votre tâche est de vérifier le fonctionnement correct d’un circuit avant sa production en série. Le circuit contient une série de résistances connectées à une source de tension et vous devez déterminer la tension aux bornes de chaque résistance pour confirmer que les spécifications sont respectées.

Données du circuit

Source de tension : \(V_S = 12 \, \text{V}\)
Résistances connectées en série : \(R_1 = 100 \, \Omega\), \(R_2 = 200 \, \Omega\), \(R_3 = 300 \, \Omega\)

Schéma du circuit série.

Questions

Calcul de la résistance totale : Calculez la résistance totale (\(R_{tot}\)) du circuit série.
Calcul du courant total : Utilisez la loi d’Ohm pour déterminer le courant total (\(I_{tot}\)) dans le circuit.
Calcul des tensions aux bornes des résistances : Déterminez la tension aux bornes de chaque résistance (\(V_{R1}, V_{R2}, V_{R3}\)).
Analyse des résultats : Comparez la somme des tensions aux bornes de chaque résistance avec la tension de la source. Que constatez-vous ?
Expliquez pourquoi il est important que la somme des tensions dans un circuit série soit égale à la tension totale de la source.

Correction : Lois de l’Ohm et Kirchhoff

1. Calcul de la Résistance Totale (\(R_{tot}\))

Dans un circuit série, la résistance totale (ou équivalente) est simplement la somme des résistances individuelles. \[ R_{tot} = R_1 + R_2 + R_3 \]

Données pour cette étape

\(R_1 = 100 \, \Omega\)
\(R_2 = 200 \, \Omega\)
\(R_3 = 300 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} R_{tot} &= R_1 + R_2 + R_3 \\ R_{tot} &= 100 \, \Omega + 200 \, \Omega + 300 \, \Omega \\ R_{tot} &= 600 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

La résistance totale du circuit série est \(R_{tot} = 600 \, \Omega\).

2. Calcul du Courant Total (\(I_{tot}\))

La loi d'Ohm (\(V = I \times R\)) relie la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)). Pour trouver le courant total (\(I_{tot}\)) circulant dans le circuit série, on applique la loi d'Ohm à l'ensemble du circuit, en utilisant la tension totale de la source (\(V_S\)) et la résistance totale (\(R_{tot}\)). \[ I_{tot} = \frac{V_S}{R_{tot}} \] Ce courant est le même à travers chaque composant dans un circuit série.

Données pour cette étape

Tension de la source : \(V_S = 12 \, \text{V}\)
Résistance totale : \(R_{tot} = 600 \, \Omega\) (calculée à l'étape 1)

Calcul

\begin{aligned} I_{tot} &= \frac{V_S}{R_{tot}} \\ I_{tot} &= \frac{12 \, \text{V}}{600 \, \Omega} \\ I_{tot} &= 0.02 \, \text{A} \end{aligned}

On peut aussi exprimer ce courant en milliampères (mA) : \(1 \, \text{A} = 1000 \, \text{mA}\).

I_{tot} = 0.02 \times 1000 \, \text{mA} \] \[ I_{tot} = 20 \, \text{mA}

Résultat

Le courant total circulant dans le circuit est \(I_{tot} = 0.02 \, \text{A}\) (ou 20 mA).

3. Calcul des Tensions aux Bornes des Résistances

Pour trouver la tension aux bornes de chaque résistance, on applique la loi d'Ohm à chaque composant individuellement, en utilisant le courant total (\(I_{tot}\)) qui traverse chaque résistance. \[ V_{Rx} = I_{tot} \times R_x \]

Données pour cette étape

Courant total : \(I_{tot} = 0.02 \, \text{A}\) (calculé à l'étape 2)
Résistances : \(R_1 = 100 \, \Omega\), \(R_2 = 200 \, \Omega\), \(R_3 = 300 \, \Omega\)

Calculs

Tension aux bornes de \(R_1\) (\(V_{R1}\)) :

V_{R1} = I_{tot} \times R_1 \] \[ V_{R1} = (0.02 \, \text{A}) \times (100 \, \Omega) \] \[ V_{R1} = 2 \, \text{V}

Tension aux bornes de \(R_2\) (\(V_{R2}\)) :

V_{R2} = I_{tot} \times R_2 \] \[ V_{R2} = (0.02 \, \text{A}) \times (200 \, \Omega) \] \[ V_{R2} = 4 \, \text{V}

Tension aux bornes de \(R_3\) (\(V_{R3}\)) :

V_{R3} = I_{tot} \times R_3 \] \[ V_{R3} = (0.02 \, \text{A}) \times (300 \, \Omega) \] \[ V_{R3} = 6 \, \text{V}

Résultats

Les tensions aux bornes des résistances sont :

\(V_{R1} = 2 \, \text{V}\)
\(V_{R2} = 4 \, \text{V}\)
\(V_{R3} = 6 \, \text{V}\)

4. Analyse des Résultats (Loi des Mailles de Kirchhoff)

La loi des mailles de Kirchhoff (ou deuxième loi de Kirchhoff) stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. Dans notre circuit série simple, cela signifie que la somme des chutes de tension aux bornes des résistances doit être égale à la tension fournie par la source.

Données pour cette étape

Tensions calculées : \(V_{R1} = 2 \, \text{V}\), \(V_{R2} = 4 \, \text{V}\), \(V_{R3} = 6 \, \text{V}\)
Tension de la source : \(V_S = 12 \, \text{V}\)

Comparaison

Calculons la somme des tensions aux bornes des résistances :

V_{R1} + V_{R2} + V_{R3} = 2 \, \text{V} + 4 \, \text{V} + 6 \, \text{V} = 12 \, \text{V}

Comparons cette somme à la tension de la source :

V_{R1} + V_{R2} + V_{R3} = 12 \, \text{V} = V_S

Constatation

On constate que la somme des chutes de tension aux bornes des résistances (\(12 \, \text{V}\)) est exactement égale à la tension totale fournie par la source (\(12 \, \text{V}\)).

5. Importance de la Loi des Mailles

La vérification de la loi des mailles de Kirchhoff est fondamentale en analyse de circuits pour plusieurs raisons :

Validation des calculs : Elle permet de vérifier l'exactitude des calculs de courant et de tension effectués à l'aide d'autres méthodes (comme la loi d'Ohm). Si la somme des tensions n'est pas nulle (ou égale à la tension de la source dans une boucle simple), cela indique une erreur de calcul.
Conservation de l'énergie : La loi des mailles est une manifestation directe du principe de conservation de l'énergie dans un circuit électrique. La tension représente l'énergie potentielle par unité de charge. En parcourant une boucle fermée, une charge revient à son potentiel de départ, donc la somme des gains et des pertes d'énergie potentielle doit être nulle.
Analyse de circuits complexes : Pour des circuits plus complexes avec plusieurs mailles et sources, la loi des mailles (combinée à la loi des nœuds de Kirchhoff) fournit un système d'équations permettant de résoudre systématiquement les courants et les tensions inconnus dans tout le circuit.
Conception et dépannage : Comprendre comment la tension se répartit dans une boucle est essentiel pour concevoir des circuits où les composants fonctionnent dans leurs plages de tension spécifiées et pour diagnostiquer des pannes (par exemple, une résistance coupée entraînerait une redistribution des tensions qui ne respecterait plus les calculs initiaux).

Conclusion

Le respect de la loi des mailles de Kirchhoff confirme la validité de l'analyse du circuit basée sur la loi d'Ohm et reflète le principe fondamental de conservation de l'énergie. C'est un outil essentiel pour l'analyse, la conception et le dépannage des circuits électriques.

Lois de l’Ohm et Kirchhoff