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Exercices Électricité

Optimisation Énergétique d’un Chauffe-Eau

Optimisation Énergétique d’un Chauffe-Eau

Optimisation Énergétique d’un Chauffe-Eau

Calculer la puissance, l'énergie consommée et le coût de fonctionnement d'un chauffe-eau électrique, et déterminer le temps de chauffe.

Les chauffe-eau électriques sont des appareils courants dans les foyers, consommant une part significative de l'énergie domestique. Comprendre leur fonctionnement énergétique permet d'optimiser leur utilisation et de réduire les coûts.

Un chauffe-eau électrique fonctionne essentiellement comme une grosse résistance chauffante (effet Joule). En courant alternatif, si l'on néglige les aspects inductifs et capacitifs (ce qui est une bonne approximation pour un élément chauffant pur), la puissance active \(P\) consommée est donnée par :

\[ P = U_{eff} I_{eff} = \frac{U_{eff}^2}{R} = R I_{eff}^2 \]

Où \(U_{eff}\) est la tension efficace du réseau, \(I_{eff}\) le courant efficace, et \(R\) la résistance de l'élément chauffant.

L'énergie électrique \(E_{elec}\) consommée est le produit de la puissance et de la durée d'utilisation \(\Delta t\) : \(E_{elec} = P \times \Delta t\).

L'énergie thermique \(E_{th}\) nécessaire pour chauffer une masse d'eau \(m_{eau}\) d'une température initiale \(T_i\) à une température finale \(T_f\) est donnée par :

\[ E_{th} = m_{eau} \times c_{eau} \times (T_f - T_i) \]

Où \(c_{eau}\) est la capacité thermique massique de l'eau.

Données du Problème

Un chauffe-eau électrique possède les caractéristiques suivantes :

  • Puissance nominale de l'élément chauffant (\(P_{nominal}\)) : \(2200 \text{ W}\)
  • Alimentation par le réseau électrique (\(U_{eff}\)) : \(230 \text{ V}\)
  • Volume d'eau contenu (\(V_{eau}\)) : \(150 \text{ L}\)
  • Température initiale de l'eau (\(T_i\)) : \(12^\circ\text{C}\)
  • Température finale de l'eau (consigne) (\(T_f\)) : \(62^\circ\text{C}\)
  • Capacité thermique massique de l'eau (\(c_{eau}\)) : \(4186 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) (ou \(\text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{°C}^{-1}\) pour une différence de température)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_{eau}\)) : \(1.00 \text{ kg/L}\)
  • Coût de l'électricité : \(0.175 \text{ €/kWh}\)

On supposera un rendement de 100% pour le transfert de l'énergie électrique en chaleur à l'eau (pas de pertes).

Chauffe-Eau Électrique 150 L Résistance P = 2200W 230V AC Ti = 12°C Tf = 62°C
Schéma simplifié d'un chauffe-eau électrique.

Questions

  1. Calculer la résistance \(R\) de l'élément chauffant du chauffe-eau.
  2. Calculer la valeur efficace du courant \(I_{eff}\) qui traverse l'élément chauffant lorsque le chauffe-eau fonctionne.
  3. Calculer la masse \(m_{eau}\) d'eau contenue dans le chauffe-eau.
  4. Calculer l'énergie thermique \(E_{th}\) nécessaire pour élever la température de cette masse d'eau de \(T_i\) à \(T_f\). Exprimer le résultat en joules (J) puis en kilowattheures (kWh). (Rappel : \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\)).
  5. En supposant que toute l'énergie électrique est convertie en énergie thermique pour chauffer l'eau (rendement de 100%), calculer la durée \(\Delta t_{chauffe}\) nécessaire pour chauffer l'eau de \(T_i\) à \(T_f\). Exprimer le résultat en heures, puis en heures et minutes.
  6. Calculer le coût de cette unique montée en température de l'eau.
  7. Si, en moyenne, le chauffe-eau effectue ce cycle complet de chauffe une fois par jour, quel serait le coût annuel de son utilisation ? (On prendra une année de 365 jours).

Correction : Optimisation Énergétique d’un Chauffe-Eau

1. Calcul de la Résistance (\(R\)) de l'Élément Chauffant

On utilise la relation \(P_{nominal} = U_{eff}^2 / R\).

Données :
\(P_{nominal} = 2200 \text{ W}\)
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)

\[ \begin{aligned} R &= \frac{U_{eff}^2}{P_{nominal}} \\ &= \frac{(230 \text{ V})^2}{2200 \text{ W}} \\ &= \frac{52900}{2200} \text{ Ω} \\ &\approx 24.045 \text{ Ω} \end{aligned} \]

La résistance de l'élément chauffant est \(R \approx 24.05 \text{ Ω}\).

2. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))

On utilise la relation \(P_{nominal} = U_{eff} \times I_{eff}\).

Données :
\(P_{nominal} = 2200 \text{ W}\)
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)

\[ \begin{aligned} I_{eff} &= \frac{P_{nominal}}{U_{eff}} \\ &= \frac{2200 \text{ W}}{230 \text{ V}} \\ &\approx 9.565 \text{ A} \end{aligned} \]

Le courant efficace traversant l'élément chauffant est \(I_{eff} \approx 9.57 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire : Loi d'Ohm et Puissance

Question : Si la tension d'alimentation d'une résistance double et que sa valeur ohmique reste constante, comment évolue le courant efficace la traversant ?

3. Calcul de la Masse d'Eau (\(m_{eau}\))

La masse d'eau est le produit du volume et de la masse volumique : \(m_{eau} = \rho_{eau} \times V_{eau}\).

Données :
\(V_{eau} = 150 \text{ L}\)
\(\rho_{eau} = 1.00 \text{ kg/L}\)

\[ \begin{aligned} m_{eau} &= 1.00 \text{ kg/L} \times 150 \text{ L} \\ &= 150 \text{ kg} \end{aligned} \]

La masse d'eau dans le chauffe-eau est \(m_{eau} = 150 \text{ kg}\).

Quiz Intermédiaire : Énergie et Puissance

Question : Si un appareil de 1000 W fonctionne pendant 30 minutes, combien d'énergie consomme-t-il en kWh ?

4. Calcul de l'Énergie Thermique Nécessaire (\(E_{th}\))

L'énergie thermique \(E_{th} = m_{eau} \times c_{eau} \times (T_f - T_i)\). La différence de température \(\Delta T = T_f - T_i\).

Données :
\(m_{eau} = 150 \text{ kg}\)
\(c_{eau} = 4186 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_f = 62^\circ\text{C}\)
\(T_i = 12^\circ\text{C}\)

\[ \begin{aligned} \Delta T &= T_f - T_i = 62^\circ\text{C} - 12^\circ\text{C} = 50^\circ\text{C} \text{ (ou } 50 \text{ K)} \\ E_{th} &= 150 \text{ kg} \times 4186 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 50 \text{ K} \\ &= 150 \times 4186 \times 50 \text{ J} \\ &= 31395000 \text{ J} \end{aligned} \]

Conversion en kWh : \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\)

\[ \begin{aligned} E_{th} (\text{kWh}) &= \frac{31395000 \text{ J}}{3.6 \times 10^6 \text{ J/kWh}} \\ &\approx 8.7208 \text{ kWh} \end{aligned} \]

L'énergie thermique nécessaire est \(E_{th} = 31,395,000 \text{ J}\).

Soit \(E_{th} \approx 8.72 \text{ kWh}\).

5. Calcul de la Durée de Chauffe (\(\Delta t_{chauffe}\))

Avec un rendement de 100%, l'énergie électrique consommée \(E_{elec}\) est égale à l'énergie thermique \(E_{th}\). On a \(E_{elec} = P_{nominal} \times \Delta t_{chauffe}\).

Données :
\(E_{th} \approx 31395000 \text{ J}\)
\(P_{nominal} = 2200 \text{ W}\)

\[ \begin{aligned} \Delta t_{chauffe} &= \frac{E_{th}}{P_{nominal}} \\ &\approx \frac{31395000 \text{ J}}{2200 \text{ W}} \\ &\approx 14270.45 \text{ s} \end{aligned} \]

Conversion en heures :

\[ \begin{aligned} \Delta t_{chauffe} (\text{heures}) &\approx \frac{14270.45 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} \\ &\approx 3.964 \text{ heures} \end{aligned} \]

Conversion en heures et minutes :
0.964 heures \(\approx 0.964 \times 60 \text{ minutes} \approx 57.84 \text{ minutes} \approx 58 \text{ minutes}\).

La durée de chauffe est \(\Delta t_{chauffe} \approx 3.96 \text{ heures}\).

Soit environ 3 heures et 58 minutes.

Quiz Intermédiaire : Temps de Chauffe

Question : Pour chauffer une même quantité d'eau à la même température finale, si la puissance du chauffe-eau est réduite de moitié, le temps de chauffe sera :

6. Coût d'une Montée en Température

Le coût est \(E_{th} (\text{en kWh}) \times \text{Coût par kWh}\).

Données :
\(E_{th} \approx 8.7208 \text{ kWh}\)
Coût = \(0.175 \text{ €/kWh}\)

\[ \begin{aligned} \text{Coût} &= 8.7208 \text{ kWh} \times 0.175 \text{ €/kWh} \\ &\approx 1.52614 \text{ €} \end{aligned} \]

Le coût d'une montée en température complète est d'environ \(1.53 \text{ €}\).

7. Coût Annuel de Fonctionnement

Coût annuel = Coût journalier \(\times\) 365 jours.

Données :
Coût journalier \(\approx 1.52614 \text{ €}\)

\[ \begin{aligned} \text{Coût Annuel} &\approx 1.52614 \text{ €/jour} \times 365 \text{ jours/an} \\ &\approx 557.04 \text{ €/an} \end{aligned} \]

Le coût annuel de fonctionnement du chauffe-eau (un cycle de chauffe par jour) est d'environ \(557.04 \text{ €}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : L'énergie électrique consommée par un appareil est généralement facturée en :

Question 2 : Si la puissance d'un chauffe-eau est doublée, et qu'il doit fournir la même quantité d'énergie thermique, le temps de chauffe sera :

Question 3 : L'effet Joule est la transformation d'énergie électrique en :

Question 4 : La capacité thermique massique de l'eau (\(c_{eau}\)) indique :

Glossaire des Termes Clés

Puissance Électrique (P) :

Quantité d'énergie électrique consommée ou fournie par unité de temps. Unité : Watt (W).

Énergie Électrique (E) :

Capacité d'un système à produire un travail ou de la chaleur grâce à l'électricité. Unité : Joule (J) ou Kilowattheure (kWh).

Kilowattheure (kWh) :

Unité d'énergie correspondant à la consommation d'un appareil de 1000 watts pendant une heure. \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\).

Résistance (R) :

Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique, dissipant de l'énergie sous forme de chaleur. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Tension Efficace (\(U_{eff}\)) :

Valeur de la tension continue qui produirait la même puissance dissipée dans une résistance qu'une tension alternative donnée.

Courant Efficace (\(I_{eff}\)) :

Valeur du courant continu qui produirait la même puissance dissipée dans une résistance qu'un courant alternatif donné.

Capacité Thermique Massique (\(c_{eau}\)) :

Quantité d'énergie thermique nécessaire pour élever la température d'une unité de masse d'une substance de un degré Celsius (ou un Kelvin).

Effet Joule :

Dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsqu'un courant électrique traverse un conducteur résistant.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment les pertes thermiques (rendement inférieur à 100%) affecteraient-elles le temps de chauffe réel et le coût de fonctionnement du chauffe-eau ?

2. Quelles sont les stratégies courantes pour réduire la consommation d'énergie d'un chauffe-eau domestique (isolation, réglage du thermostat, utilisation d'heures creuses, etc.) ?

3. Comparez l'efficacité énergétique et le coût d'utilisation d'un chauffe-eau électrique par rapport à d'autres systèmes de production d'eau chaude (gaz, solaire thermique).

4. Si la tension du réseau baisse de 10% (par exemple de 230V à 207V), quel serait l'impact sur la puissance de l'élément chauffant et sur le temps de chauffe (en supposant que la résistance reste constante) ?

5. Comment le tartre qui se dépose sur la résistance d'un chauffe-eau peut-il affecter son efficacité et sa durée de vie ?

Optimisation Énergétique d’un Chauffe-Eau

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