Performances d’un Transformateur Triphasé
Comprendre les Performances d’un Transformateur Triphasé
Vous travaillez comme ingénieur en électrotechnique dans une entreprise spécialisée dans la production et la distribution d’énergie électrique. L’entreprise vient d’acquérir un nouveau transformateur triphasé qui doit être évalué pour ses performances sous différentes conditions de charge. Votre tâche est de déterminer les caractéristiques principales de ce transformateur et d’analyser son comportement en fonction des données fournies.
Données du Transformateur:
- Puissance nominale : 1500 kVA
- Tension primaire (VP) : 20 kV
- Tension secondaire (VS) : 400 V
- Fréquence : 50 Hz
- Impédance de court-circuit : 5%
- Rendement à pleine charge : 98%
- Déphasage de l’angle de charge à pleine charge : 30°

Questions:
1. Calcul de Courants Nominals : Calculez les courants nominaux du côté primaire et du côté secondaire du transformateur.
2. Impédance en Pourcentage : Utilisez l’impédance de court-circuit pour déterminer l’impédance équivalente du transformateur.
3. Puissance Apparente et Active : Déterminez la puissance apparente (S), la puissance active (P), et la puissance réactive (Q) à pleine charge.
4. Perte en Cuivre et Fer : Étant donné que le rendement à pleine charge est de 98%, calculez les pertes en cuivre et les pertes en fer.
5. Rendement et Régulation : Calculez le rendement à demi-charge et à 75% de charge, Déterminez la régulation de tension du transformateur à pleine charge.
6. Analyse de Chargement : Évaluez le comportement du transformateur si la charge est augmentée de 10%. Calculez la nouvelle tension secondaire et la nouvelle puissance réactive.
Correction : Performances d’un Transformateur Triphasé
1. Calcul des Courants Nominaux
1.1. Côté Primaire
Formule :
\[ I_P = \frac{S}{\sqrt{3}\, V_P} \]
Données :
- \(S = 1500\,\text{kVA} = 1\,500\,000\,\text{VA}\)
- \(V_P = 20\,\text{kV} = 20\,000\,\text{V}\)
- \(\sqrt{3} \approx 1,732\)
Calcul :
\[ I_P = \frac{1\,500\,000}{1,732 \times 20\,000} \] \[ I_P = \frac{1\,500\,000}{34\,640} \approx 43,3\,\text{A} \]
1.2. Côté Secondaire
Formule :
\[ I_S = \frac{S}{\sqrt{3}\, V_S} \]
Données :
- \(V_S = 400\,\text{V}\)
Calcul :
\[ I_S = \frac{1\,500\,000}{1,732 \times 400} \] \[ I_S = \frac{1\,500\,000}{692,8} \approx 2164,5\,\text{A} \]
2. Calcul de l’Impédance Équivalente
L’impédance de court-circuit donnée \((5\,\%)\) permet de déterminer l’impédance équivalente sur un côté (ici, nous utiliserons le côté primaire).
2.1. Calcul de la Base d’Impédance (Côté Primaire)
Formule :
\[ Z_{\text{base}} = \frac{V_P^2}{S} \]
Données :
- \(V_P = 20\,000\,\text{V}\)
- \(S = 1\,500\,000\,\text{VA}\)
Calcul :
\[ Z_{\text{base}} = \frac{(20\,000)^2}{1\,500\,000} \] \[ Z_{\text{base}} = \frac{400\,000\,000}{1\,500\,000} \approx 266,67\,\Omega \]
2.2. Impédance Équivalente
Formule :
\[ Z_{\text{eq}} = \frac{Z_{\%}}{100} \times Z_{\text{base}} \]
avec \(Z_{\%} = 5\,\%\).
Calcul :
\[ Z_{\text{eq}} = 0,05 \times 266,67 \] \[ Z_{\text{eq}} \approx 13,33\,\Omega \]
Note : Sur le côté secondaire, la base serait \(Z_{\text{base,sec}} = \frac{(400)^2}{1\,500\,000} \approx 0,10667\,\Omega,\) et l’impédance équivalente \(Z_{\text{eq,sec}} \approx 0,00533\,\Omega.\)
Les valeurs se rapportent l’une à l’autre par le rapport de transformation au carré \(\left(\frac{20\,000}{400}\right)^2 = 2500.\)
3. Puissances à Pleine Charge
3.1. Puissance Apparente
\[ S = 1500\,\text{kVA} \]
3.2. Puissance Active (\(P\))
Formule :
\[ P = S \times \cos\varphi \]
Données :
- \(\cos 30° = 0,866\)
Calcul :
\[ P = 1500 \times 0,866 \] \[ P \approx 1299\,\text{kW} \]
3.3. Puissance Réactive (\(Q\))
Formule :
\[ Q = S \times \sin\varphi \]
Données :
- \(\sin 30° = 0,5\)
Calcul :
\[ Q = 1500 \times 0,5 \] \[ Q = 750\,\text{kVAr} \]
4. Calcul des Pertes en Cuivre et en Fer
4.1. Détermination des Pertes Totales
Le rendement à pleine charge est donné par :
\[ \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \quad\Longrightarrow\quad P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} \]
Données :
- \(P_{\text{out}} = 1299\,\text{kW}\)
- \(\eta = 0,98\)
Calcul :
\[ P_{\text{in}} = \frac{1299}{0,98} \approx 1325,5\,\text{kW} \]
Pertes totales :
\[ P_{\text{pertes}} = P_{\text{in}} – P_{\text{out}} \] \[ P_{\text{pertes}} \approx 1325,5 – 1299 \] \[ P_{\text{pertes}} \approx 26,5\,\text{kW} \]
4.2. Répartition des Pertes
Les pertes dans un transformateur se répartissent en deux parties :
- Pertes fer (ou pertes magnétiques) : généralement considérées constantes
- Pertes cuivre : variables en fonction du carré du courant
En l’absence d’information plus précise, nous adopterons une répartition hypothétique :
- Pertes fer : \(40\,\% \text{de} P_{\text{pertes}}\)
- Pertes cuivre : \(60\,\% \text{de} P_{\text{pertes}}\)
Calcul :
\[ P_{\text{fer}} = 0,40 \times 26,5 \] \[ P_{\text{fer}} \approx 10,6\,\text{kW} \]
\[ P_{\text{cu}} = 0,60 \times 26,5 \] \[ P_{\text{cu}} \approx 15,9\,\text{kW} \]
5. Rendement à Différents Niveaux de Charge
Pour évaluer le rendement à charge partielle, on considère :
- Les pertes fer restent constantes (mêmes 10,6 kW)
- Les pertes cuivre varient en fonction du carré du facteur de charge \(x\) (où \(x=1\) pour pleine charge)
5.1. À Demi-Charge \((50\,\%)\)
- Puissance active délivrée :
\[ P_{50\%} = 0,5 \times 1299 \] \[ P_{50\%} \approx 649,5\,\text{kW} \]
- Pertes cuivre à \(50\,\%\) :
\[ P_{\text{cu},50\%} = (0,5)^2 \times 15,9 \] \[ P_{\text{cu},50\%} \approx 0,25 \times 15,9 \] \[ P_{\text{cu},50\%} \approx 3,98\,\text{kW} \]
- Pertes totales à \(50\,\%\) :
\[ P_{\text{pertes},50\%} = P_{\text{fer}} + P_{\text{cu},50\%} \] \[ P_{\text{pertes},50\%} \approx 10,6 + 3,98 \] \[ P_{\text{pertes},50\%} \approx 14,58\,\text{kW} \]
- Puissance d’entrée :
\[ P_{\text{in},50\%} = 649,5 + 14,58 \] \[ P_{\text{in},50\%} \approx 664,08\,\text{kW} \]
- Rendement à \(50\,\%\) de charge :
\[ \eta_{50\%} = \frac{649,5}{664,08} \approx 97,8\,\% \]
5.2. À \(75\,\%\) de Charge
- Puissance active délivrée :
\[ P_{75\%} = 0,75 \times 1299 \] \[ P_{75\%} \approx 974,25\,\text{kW} \]
- Pertes cuivre à \(75\,\%\) :
\[ P_{\text{cu},75\%} = (0,75)^2 \times 15,9 \] \[ P_{\text{cu},75\%} \approx 0,5625 \times 15,9 \] \[ P_{\text{cu},75\%} \approx 8,95\,\text{kW} \]
- Pertes totales à \(75\,\%\) :
\[ P_{\text{pertes},75\%} = 10,6 + 8,95 \] \[ P_{\text{pertes},75\%} \approx 19,55\,\text{kW} \]
- Puissance d’entrée :
\[ P_{\text{in},75\%} = 974,25 + 19,55 \] \[ P_{\text{in},75\%} \approx 993,80\,\text{kW} \]
- Rendement à \(75\,\%\) de charge :
\[ \eta_{75\%} = \frac{974,25}{993,80} \approx 98,3\,\% \]
6. Calcul de la Régulation de Tension à Pleine Charge
La \textbf{régulation de tension} se définit par la variation de la tension secondaire entre le cas à vide et le cas en charge :
\[ \text{Régulation} = \frac{V_{\text{no-load}} – V_{\text{full-load}}}{V_{\text{full-load}}} \times 100\,\% \]
On peut aussi l’exprimer à partir de la chute de tension dans l’impédance interne. Pour un circuit avec impédance \(Z = R + jX\), la chute de tension (en valeur efficace) est :
\[ \Delta V = I\,(R\cos\varphi + X\sin\varphi) \]
En exprimant ces grandeurs en pour unités (p.u.) par rapport aux valeurs nominales, la chute à pleine charge correspond au pourcentage d’impédance « vu » sous la charge.
Choix d’une répartition entre \(R\) et \(X\)
L’impédance totale est de 5 % (0,05 p.u.). Dans les transformateurs, le rapport \(R/X\) est souvent faible. On adoptera ici par exemple :
- \(R = 0,01\)\,p.u.
- \(X = \sqrt{0,05^2 – 0,01^2} = \sqrt{0,0025 – 0,0001} = \sqrt{0,0024} \approx 0,0490\, \text{p.u}\).
Calcul de la Chute de Tension en Pour Units
Formule :
\[ \Delta V = R\cos\varphi + X\sin\varphi \]
Données :
- \(R = 0,01\,p.u.\)
- \(X \approx 0,0490\,p.u.\)
- \(\cos 30° \approx 0,866\)
- \(\sin 30° = 0,5\)
Calcul :
\[ \Delta V = 0,01 \times 0,866 + 0,0490 \times 0,5 \] \[ \Delta V \approx 0,00866 + 0,0245 \] \[ \Delta V = 0,03316\,\text{p.u.} \]
En pourcentage, cela correspond à environ 3,32 %.
Détermination de la Tension à Vide
Si l’on règle le transformateur pour obtenir 400 V à pleine charge (c’est-à-dire quand la chute de 3,32 % est présente), la tension à vide doit être :
\[ V_{\text{no-load}} = V_{\text{full-load}} \times (1 + 0,03316) \] \[ V_{\text{no-load}} \approx 400 \times 1,03316 \] \[ V_{\text{no-load}} \approx 413,26\,\text{V} \]
7. Analyse de Chargement : Augmentation de 10 %
Lorsque la charge augmente de 10 %, la puissance apparente devient :
\[ S_{\text{new}} = 1,1 \times 1500 \] \[ S_{\text{new}} = 1650\,\text{kVA} \]
7.1. Nouvelle Tension Secondaire
L’augmentation de la charge entraîne une augmentation proportionnelle du courant et donc de la chute de tension.
À pleine charge, la chute absolue est :
\[ \Delta V_{\text{full}} = V_{\text{no-load}} – V_{\text{full-load}} \] \[ \Delta V_{\text{full}} = 413,26\,\text{V} – 400\,\text{V} \] \[ \Delta V_{\text{full}} = 13,26\,\text{V} \]
À 110 % de charge, la chute devient :
\[ \Delta V_{\text{new}} = 1,1 \times 13,26 \] \[ \Delta V_{\text{new}} \approx 14,59\,\text{V} \]
Donc, la nouvelle tension secondaire sera :
\[ V_{\text{new}} = V_{\text{no-load}} – \Delta V_{\text{new}} \] \[ V_{\text{new}} \approx 413,26\,\text{V} – 14,59\,\text{V} \] \[ V_{\text{new}} \approx 398,67\,\text{V} \]
7.2. Nouvelle Puissance Réactive
En gardant le même angle de déphasage (30°) :
\[ Q_{\text{new}} = S_{\text{new}} \times \sin30° \] \[ Q_{\text{new}} = 1650 \times 0,5 \] \[ Q_{\text{new}} = 825\,\text{kVAr} \]
Performances d’un Transformateur Triphasé
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