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Exercices Électricité

Pertes Énergétiques dans un Réseau Triphasé

Pertes Énergétiques dans un Réseau Triphasé (Exercice 2)

Pertes Énergétiques dans un Réseau de Distribution Triphasé

Comprendre les Pertes dans les Réseaux Triphasés

Les systèmes triphasés sont la norme pour la production, le transport et la distribution d'énergie électrique à grande échelle en raison de leur efficacité et de leur économie. Cependant, même dans ces systèmes optimisés, des pertes d'énergie se produisent, principalement dues à l'effet Joule dans la résistance des conducteurs des lignes de transmission et de distribution. Le calcul de ces pertes est essentiel pour évaluer le rendement du réseau, dimensionner correctement les conducteurs et optimiser la gestion de l'énergie. L'analyse des puissances active, réactive et apparente, ainsi que du facteur de puissance, joue un rôle clé dans cette évaluation.

Données de l'étude

Une source triphasée équilibrée alimente une charge triphasée équilibrée à travers une ligne de distribution. La source et la charge sont connectées en étoile.

Caractéristiques du système :

  • Tension composée (ligne-ligne) à la source (\(U_S\)) : \(380 \, \text{V}\) (valeur efficace)
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
  • Impédance de chaque conducteur de la ligne (\(Z_{ligne}\)) : \(R_{ligne} + jX_{ligne} = (0.15 + j0.25) \, \Omega\)
  • Charge triphasée équilibrée :
    • Puissance active totale consommée (\(P_{charge}\)) : \(25 \, \text{kW}\)
    • Facteur de puissance (\(\cos\phi_{charge}\)) : \(0.8\) inductif (AR)
Schéma : Ligne de Distribution Triphasée Équilibrée
3~ Vs L1 L2 L3 Zligne Zligne Zligne Charge Pcharge, cos φ IL Distribution Triphasée

Une source triphasée alimente une charge triphasée à travers des lignes avec impédance.

Questions à traiter

  1. Calculer la tension simple (phase-neutre) à la source (\(V_{S,ph}\)).
  2. Calculer le courant de ligne (\(I_L\)) absorbé par la charge (et donc circulant dans les lignes).
  3. Calculer les pertes de puissance active totales dans les trois conducteurs de la ligne (\(P_{pertes,ligne}\)).
  4. Calculer la puissance réactive totale absorbée par les trois conducteurs de la ligne (\(Q_{pertes,ligne}\)).
  5. Calculer la puissance active totale fournie par la source (\(P_{S,totale}\)).
  6. Calculer la puissance réactive totale fournie par la source (\(Q_{S,totale}\)).
  7. Calculer le rendement de la ligne de transmission (\(\eta_{ligne}\)) pour la puissance active.
  8. Calculer la tension simple aux bornes d'une phase de la charge (\(V_{charge,ph}\)) et la tension composée aux bornes de la charge (\(U_{charge}\)).

Correction : Pertes Énergétiques dans un Réseau Triphasé

Question 1 : Tension simple à la source (\(V_{S,ph}\))

Principe :

Pour un système triphasé équilibré connecté en étoile, la tension simple (phase-neutre) \(V_{ph}\) est reliée à la tension composée (ligne-ligne) \(U_L\) par \(U_L = \sqrt{3} V_{ph}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{S,ph} = \frac{U_S}{\sqrt{3}}\]
Données spécifiques :
  • Tension composée à la source (\(U_S\)) : \(380 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{S,ph} &= \frac{380 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx \frac{380}{1.7320508} \, \text{V} \\ &\approx 219.393 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La tension simple à la source est \(V_{S,ph} \approx 219.39 \, \text{V}\).

Question 2 : Courant de ligne (\(I_L\))

Principe :

Le courant de ligne \(I_L\) est calculé en considérant l'impédance totale par phase vue par la source. L'impédance de la charge par phase est d'abord déterminée à partir de sa puissance active et de son facteur de puissance, puis combinée avec l'impédance de la ligne. Soit \(X = I_L^2\). L'équation à résoudre est : \( (R_{ligne}^2+X_{ligne}^2)X^2 + (2(R_{ligne}P_{charge,ph} + X_{ligne}Q_{charge,ph}) - V_{S,ph}^2)X + (P_{charge,ph}^2+Q_{charge,ph}^2) = 0 \).

Formule(s) utilisée(s) et Calcul :

  • Puissance active par phase de la charge : \(P_{charge,ph} = P_{charge}/3 = 25000/3 \approx 8333.333 \, \text{W}\).

  • \(\cos\phi_{charge} = 0.8 \Rightarrow \phi_{charge} = \arccos(0.8) \approx 36.8699^\circ\).

  • \(\sin\phi_{charge} = \sin(36.8699^\circ) \approx 0.6\).

  • \(\tan\phi_{charge} = \sin\phi_{charge}/\cos\phi_{charge} = 0.6 / 0.8 = 0.75\).

  • Puissance réactive par phase de la charge : \(Q_{charge,ph} = P_{charge,ph} \tan\phi_{charge} = (25000/3) \times 0.75 = 6250 \, \text{VAR}\).

  • \(R_{ligne} = 0.15 \, \Omega\), \(X_{ligne} = 0.25 \, \Omega\).

  • \(V_{S,ph} \approx 219.393 \, \text{V} \Rightarrow V_{S,ph}^2 \approx 48133.243\).

    \[ \begin{aligned} A &= R_{ligne}^2+X_{ligne}^2 \\ &= (0.15)^2 + (0.25)^2 \\ &= 0.0225 + 0.0625 = 0.085 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} B_{coeff} &= 2(R_{ligne}P_{charge,ph} + X_{ligne}Q_{charge,ph}) - V_{S,ph}^2 \\ &= 2(0.15 \times \frac{25000}{3} + 0.25 \times 6250) - 48133.243 \\ &= 2(1250 + 1562.5) - 48133.243 \\ &= 2(2812.5) - 48133.243 \\ &= 5625 - 48133.243 \\ &= -42508.243 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} C_{coeff} &= P_{charge,ph}^2+Q_{charge,ph}^2 \\ &= \left(\frac{25000}{3}\right)^2 + (6250)^2 \\ &\approx (8333.333)^2 + (6250)^2 \\ &\approx 69444438.89 + 39062500 \\ &\approx 108506938.89 \end{aligned} \]

    L'équation quadratique en \(X = I_L^2\) est : \(AX^2 + B_{coeff}X + C_{coeff} = 0\)

    \[ 0.085 X^2 - 42508.243 X + 108506938.89 = 0 \]

    Discriminant \(\Delta_q = B_{coeff}^2 - 4AC_{coeff}\):

    \[ \begin{aligned} \Delta_q &= (-42508.243)^2 - 4(0.085)(108506938.89) \\ &\approx 1806950941 - 36892359.22 \\ &\approx 1770058581.8 \end{aligned} \] \[ \sqrt{\Delta_q} \approx 42072.064 \] \[ \begin{aligned} X &= \frac{-B_{coeff} \pm \sqrt{\Delta_q}}{2A} \\ &= \frac{42508.243 \pm 42072.064}{2 \times 0.085} \\ &= \frac{42508.243 \pm 42072.064}{0.17} \end{aligned} \] \[ X_1 = \frac{42508.243 + 42072.064}{0.17} = \frac{84580.307}{0.17} \approx 497531.218 \] \[ X_2 = \frac{42508.243 - 42072.064}{0.17} = \frac{436.179}{0.17} \approx 2565.759 \]

    On choisit la solution physiquement réaliste \(X_2 = I_L^2\).

    \[ I_L = \sqrt{2565.759} \approx 50.6533 \, \text{A} \]
    Résultat Question 2 : Le courant de ligne est \(I_L \approx 50.65 \, \text{A}\).

    • Question 3 : Pertes de puissance active totales dans les lignes (\(P_{pertes,ligne}\))

    Principe :

    Les pertes de puissance active dans les lignes (pertes Joule) sont dues à la résistance des conducteurs. Pour un système triphasé, on somme les pertes dans les trois conducteurs.

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[P_{pertes,ligne} = 3 \cdot R_{ligne} \cdot I_L^2\]
    Données spécifiques :
    • Résistance d'un conducteur de ligne (\(R_{ligne}\)) : \(0.15 \, \Omega\)
    • Courant de ligne (\(I_L\)) : \(\approx 50.6533 \, \text{A}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} P_{pertes,ligne} &= 3 \times 0.15 \, \Omega \times (50.6533 \, \text{A})^2 \\ &= 0.45 \times 2565.759 \\ &\approx 1154.59 \, \text{W} \end{aligned} \]
    Résultat Question 3 : Les pertes de puissance active totales dans les lignes sont \(P_{pertes,ligne} \approx 1154.59 \, \text{W}\).

    Quiz Intermédiaire 1 : Les pertes Joule dans une ligne triphasée dépendent :

    Question 4 : Puissance réactive totale absorbée par les lignes (\(Q_{pertes,ligne}\))

    Principe :

    La puissance réactive absorbée par les lignes est due à la réactance des conducteurs.

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[Q_{pertes,ligne} = 3 \cdot X_{ligne} \cdot I_L^2\]
    Données spécifiques :
    • Réactance d'un conducteur de ligne (\(X_{ligne}\)) : \(0.25 \, \Omega\)
    • Courant de ligne (\(I_L\)) : \(\approx 50.6533 \, \text{A}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} Q_{pertes,ligne} &= 3 \times 0.25 \, \Omega \times (50.6533 \, \text{A})^2 \\ &= 0.75 \times 2565.759 \\ &\approx 1924.32 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
    Résultat Question 4 : La puissance réactive totale absorbée par les lignes est \(Q_{pertes,ligne} \approx 1924.32 \, \text{VAR}\).

    Question 5 : Puissance active totale fournie par la source (\(P_{S,totale}\))

    Principe :

    La puissance active totale fournie par la source est la somme de la puissance active consommée par la charge et des pertes actives dans la ligne.

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[P_{S,totale} = P_{charge} + P_{pertes,ligne}\]
    Données spécifiques :
    • Puissance active de la charge (\(P_{charge}\)) : \(25000 \, \text{W}\)
    • Pertes actives dans la ligne (\(P_{pertes,ligne}\)) : \(\approx 1154.59 \, \text{W}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} P_{S,totale} &= 25000 \, \text{W} + 1154.59 \, \text{W} \\ &= 26154.59 \, \text{W} \end{aligned} \]
    Résultat Question 5 : La puissance active totale fournie par la source est \(P_{S,totale} \approx 26154.59 \, \text{W}\).

    Question 6 : Puissance réactive totale fournie par la source (\(Q_{S,totale}\))

    Principe :

    La puissance réactive totale fournie par la source est la somme de la puissance réactive consommée par la charge et de la puissance réactive absorbée par la ligne.

    Puissance réactive de la charge : \(Q_{charge} = P_{charge} \tan(\phi_{charge})\).

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[Q_{S,totale} = Q_{charge} + Q_{pertes,ligne}\]
    Données spécifiques :
    • \(P_{charge} = 25000 \, \text{W}\)
    • \(\cos\phi_{charge} = 0.8 \Rightarrow \tan\phi_{charge} = 0.75\)
    • \(Q_{pertes,ligne} \approx 1924.32 \, \text{VAR}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} Q_{charge} &= 25000 \, \text{W} \times 0.75 \\ &= 18750 \, \text{VAR} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Q_{S,totale} &= 18750 \, \text{VAR} + 1924.32 \, \text{VAR} \\ &= 20674.32 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
    Résultat Question 6 : La puissance réactive totale fournie par la source est \(Q_{S,totale} \approx 20674.32 \, \text{VAR}\).

    Quiz Intermédiaire 2 : Un facteur de puissance inductif signifie que :

    Question 7 : Rendement de la ligne de transmission (\(\eta_{ligne}\))

    Principe :

    Le rendement de la ligne de transmission est le rapport entre la puissance active délivrée à la charge et la puissance active fournie par la source.

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[\eta_{ligne} = \frac{P_{charge}}{P_{S,totale}}\]
    Données spécifiques :
    • \(P_{charge} = 25000 \, \text{W}\)
    • \(P_{S,totale} \approx 26154.59 \, \text{W}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} \eta_{ligne} &= \frac{25000 \, \text{W}}{26154.59 \, \text{W}} \\ &\approx 0.95584 \\ &\approx 95.58\% \end{aligned} \]
    Résultat Question 7 : Le rendement de la ligne de transmission est \(\eta_{ligne} \approx 95.58\%\).

    Question 8 : Tension aux bornes de la charge (\(V_{charge,ph}\) et \(U_{charge}\))

    Principe :

    La tension simple à la charge \(V_{charge,ph}\) peut être calculée à partir de la puissance par phase de la charge, du courant de ligne et du facteur de puissance : \(P_{charge,ph} = V_{charge,ph} I_L \cos\phi_{charge}\). La tension composée \(U_{charge}\) est \(\sqrt{3} V_{charge,ph}\).

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[V_{charge,ph} = \frac{P_{charge}/3}{I_L \cos\phi_{charge}}\] \[U_{charge} = \sqrt{3} V_{charge,ph}\]
    Données spécifiques :
    • \(P_{charge} = 25000 \, \text{W}\)
    • \(I_L \approx 50.6533 \, \text{A}\)
    • \(\cos\phi_{charge} = 0.8\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} V_{charge,ph} &= \frac{25000/3 \, \text{W}}{(50.6533 \, \text{A}) \times 0.8} \\ &= \frac{8333.333}{40.52264} \, \text{V} \\ &\approx 205.658 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} U_{charge} &= \sqrt{3} \times 205.658 \, \text{V} \\ &\approx 1.7320508 \times 205.658 \, \text{V} \\ &\approx 356.19 \, \text{V} \end{aligned} \]
    Résultat Question 8 :
    • Tension simple à la charge : \(V_{charge,ph} \approx 205.66 \, \text{V}\)
    • Tension composée à la charge : \(U_{charge} \approx 356.19 \, \text{V}\)

    Quiz Intermédiaire 3 : La chute de tension dans une ligne de distribution triphasée :

    Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

    1. Dans un système triphasé équilibré en étoile, la relation entre tension simple (V) et tension composée (U) est :

    2. La puissance active totale consommée par une charge triphasée équilibrée est donnée par \(P = \sqrt{3} U I_L \cos\phi\). Que représente \(I_L\) ?

    3. Les pertes par effet Joule dans les lignes d'un réseau triphasé (avec 3 conducteurs identiques de résistance \(R_{ligne}\) chacun) transportant un courant de ligne \(I_L\) sont :

    Glossaire

    Système Triphasé Équilibré
    Système de trois tensions (ou courants) sinusoïdales de même amplitude et fréquence, déphasées de \(120^\circ\) les unes par rapport aux autres. Les charges sont dites équilibrées si elles sont identiques sur les trois phases.
    Tension Simple (ou Phase-Neutre, \(V_{ph}\))
    Tension entre une phase et le neutre dans un système triphasé.
    Tension Composée (ou Ligne-Ligne, \(U_L\))
    Tension entre deux phases d'un système triphasé. Pour un système équilibré, \(U_L = \sqrt{3} V_{ph}\).
    Courant de Ligne (\(I_L\))
    Courant circulant dans un conducteur de ligne d'un système triphasé.
    Courant de Phase (\(I_{ph}\))
    Courant circulant dans une phase d'une charge ou d'une source triphasée. Pour un montage étoile, \(I_L = I_{ph}\). Pour un montage triangle, \(I_L = \sqrt{3} I_{ph}\).
    Puissance Active (\(P\))
    Partie de la puissance électrique qui est effectivement transformée en travail utile ou dissipée sous forme de chaleur. Unité SI : Watt (W).
    Puissance Réactive (\(Q\))
    Partie de la puissance électrique associée à l'énergie oscillant entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit. Unité SI : Voltampère réactif (VAR).
    Puissance Apparente (\(S\))
    Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. Pour un système triphasé équilibré, \(S = \sqrt{3} U_L I_L = 3 V_{ph} I_L\). Unité SI : Voltampère (VA).
    Facteur de Puissance (\(\cos\phi\))
    Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active.
    Pertes par Effet Joule
    Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur résistif parcouru par un courant (\(P = RI^2\)).
    Rendement de Ligne (\(\eta_{ligne}\))
    Rapport de la puissance active délivrée à la charge à la puissance active fournie par la source à l'entrée de la ligne.
    Impédance (\(Z\))
    Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance et la réactance. \(Z = R + jX\). Unité SI : Ohm (\(\Omega\)).
    Pertes Énergétiques dans un Réseau Triphasé

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