Exercices Électricité

Pertes et Rendement d’un Transformateur

Pertes et Rendement d’un Transformateur Monophasé

Pertes et Rendement d’un Transformateur

Contexte : L'efficacité énergétique, un enjeu majeur.

Un transformateur idéal transférerait 100% de la puissance du primaire au secondaire. En réalité, une partie de cette énergie est inévitablement perdue sous forme de chaleur. Ces pertes, bien que faibles sur les transformateurs modernes (souvent moins de 2%), représentent une part non négligeable de la consommation électrique mondiale en raison du nombre colossal de transformateurs en service. Comprendre, modéliser et calculer ces pertes est donc essentiel pour les ingénieurs afin de concevoir des systèmes de distribution d'énergie efficaces. Le rendement (\(\eta\))Rapport entre la puissance utile fournie à la charge et la puissance totale absorbée par le transformateur. Un rendement de 98% (ou 0.98) signifie que 2% de l'énergie est perdue en chaleur. est l'indicateur clé de cette efficacité. Cet exercice vous guidera dans la détermination des pertes d'un transformateur à partir d'essais normalisés et dans le calcul de son rendement à différents points de fonctionnement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il connecte le modèle théorique du transformateur (le modèle de Kapp) à des mesures expérimentales. Nous allons utiliser les résultats de deux essais standards, l'essai à vide et l'essai en court-circuit, pour caractériser les deux types de pertes : les pertes FerPertes constantes, indépendantes de la charge, dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault dans le circuit magnétique du transformateur. et les pertes JoulePertes variables, qui dépendent du carré du courant de charge (effet Joule), dues à la résistance des enroulements en cuivre.. C'est la démarche exacte suivie en laboratoire pour qualifier un transformateur.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre les pertes Fer (constantes) et les pertes Joule (variables).
  • Interpréter les résultats des essais à vide et en court-circuit pour modéliser un transformateur réel.
  • Calculer le rendement d'un transformateur pour un taux de charge et un facteur de puissance donnés.
  • Déterminer la condition de rendement maximal.
  • Calculer la valeur de ce rendement maximal.

Données de l'étude

On a effectué des essais sur un transformateur monophasé de distribution dont la plaque signalétique indique : \(S_{\text{n}} = 25 \, \text{kVA}\) ; \(U_{\text{1n}} / U_{\text{2v}} = 20 \, \text{kV} / 410 \, \text{V}\) ; \(50 \, \text{Hz}\).

Schémas des Essais Normalisés
Essai à Vide TRANSFO U₁ₙ U₂ᵥ Ouvert Essai en Court-Circuit TRANSFO U₁cc I₂ₙ
Essai réalisé Mesure Symbole Valeur
Essai à vide (primaire alimenté sous \(U_{\text{1n}}\), secondaire ouvert) Puissance active absorbée au primaire \(P_{\text{1v}}\) 150 W
Essai en court-circuit (secondaire en court-circuit, primaire alimenté pour obtenir \(I_{\text{2n}}\)) Puissance active absorbée au primaire \(P_{\text{1cc}}\) 350 W
Tension primaire appliquée \(U_{\text{1cc}}\) 800 V

Questions à traiter

  1. Déterminer les pertes par effet Joule dans le fer (pertes Fer) \(P_{\text{fer}}\) du transformateur.
  2. Déterminer les pertes par effet Joule dans les enroulements (pertes Joule ou Cuivre) pour le fonctionnement nominal \(P_{\text{J,n}}\).
  3. Calculer le rendement \(\eta\) du transformateur lorsqu'il alimente une charge qui appelle 80% de son courant nominal (\(I_2 = 0.8 \cdot I_{2n}\)) avec un facteur de puissance \(\cos(\varphi_2) = 0.9\) inductif.
  4. Calculer le taux de charge \(\beta_{\text{opt}}\) pour lequel le rendement est maximal.
  5. Calculer la valeur de ce rendement maximal \(\eta_{\text{max}}\) (pour un facteur de puissance de 0.9).

Les bases des Pertes et du Rendement

Un transformateur réel n'est pas parfait. Il présente deux grandes familles de pertes.

1. Les Pertes Fer (\(P_{\text{fer}}\)) :
Elles ont lieu dans le circuit magnétique (le "fer"). Elles sont dues à la magnétisation et démagnétisation du noyau à 50 Hz. Elles sont considérées comme constantes quelle que soit la charge, tant que la tension d'alimentation est nominale. On les mesure lors de l'essai à vide.

2. Les Pertes Joule (\(P_{\text{J}}\)) :
Elles ont lieu dans les enroulements (le "cuivre"). Elles sont dues à la résistance des bobinages et sont dissipées par effet Joule (\(R \cdot I^2\)). Elles sont donc variables et proportionnelles au carré du courant de charge. On les détermine à courant nominal lors de l'essai en court-circuit.

3. Le Rendement (\(\eta\)) :
C'est le rapport de ce qui "sort" (puissance utile \(P_2\)) sur ce qui "rentre" (puissance absorbée \(P_1\)). La différence est constituée des pertes. \[ \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{absorbée}}} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{J}}} \]

Correction : Pertes et Rendement d’un Transformateur

Question 1 : Déterminer les pertes Fer (\(P_{\text{fer}}\))

Principe (le concept physique)

Lors de l'essai à vide, le secondaire est ouvert, donc le courant secondaire \(I_2\) est nul. Le transformateur ne débite aucune puissance utile. Le courant primaire \(I_{1v}\) est très faible (juste assez pour magnétiser le noyau). La puissance absorbée au primaire ne sert donc qu'à compenser les pertes dans le circuit magnétique (pertes Fer) et les très faibles pertes Joule dues au courant à vide, que l'on néglige.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les pertes Fer se décomposent en deux phénomènes : les pertes par hystérésis (énergie nécessaire pour réorienter les domaines magnétiques dans le fer à chaque alternance) et les pertes par courants de Foucault (courants induits qui circulent dans le matériau magnétique lui-même et le chauffent par effet Joule). Pour limiter ces derniers, les noyaux des transformateurs sont "feuilletés", c'est-à-dire constitués de fines tôles isolées les unes des autres.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez aux pertes Fer comme au "métabolisme de base" du transformateur. C'est l'énergie qu'il consomme juste pour "rester en vie" (magnétisé), même s'il ne fournit aucun travail. Dès qu'il est sous tension, il consomme cette puissance, 24h/24, que l'atelier soit en activité ou non. C'est pourquoi on les appelle des pertes constantes.

Normes (la référence réglementaire)

La procédure de l'essai à vide est standardisée par la norme internationale CEI 60076-1. Elle précise que l'essai doit être effectué en alimentant le transformateur à sa fréquence et tension nominales pour que les mesures des pertes Fer soient valides et comparables entre différents appareils.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'hypothèse fondamentale de l'essai à vide est :

\[ P_{\text{fer}} \approx P_{\text{1v}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les pertes Joule dans l'enroulement primaire lors de l'essai à vide, car le courant à vide \(I_{1v}\) est très faible par rapport au courant nominal.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Puissance mesurée lors de l'essai à vide, \(P_{\text{1v}} = 150 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il n'y a pas de calcul ici, c'est une lecture directe. La valeur mesurée par le wattmètre pendant l'essai à vide EST la valeur des pertes Fer. C'est la question la plus simple de l'exercice, il ne faut pas chercher de complication.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance de l'essai à vide
TransformateurP₁ᵥ = ?P₂ = 0 WPertes Fer
Calcul(s) (l'application numérique)

Par identification directe à partir des résultats de l'essai :

\[ P_{\text{fer}} = P_{\text{1v}} = 150 \, \text{W} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur des Pertes Fer
P_fer = 150 W(Pertes constantes)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le transformateur consomme en permanence 150 W, même s'il n'alimente aucune charge. Sur une année, cela représente \(150 \, \text{W} \times 24 \, \text{h} \times 365 \, \text{j} = 1314 \, \text{kWh}\), ce qui n'est pas négligeable. Optimiser les pertes Fer est un enjeu majeur pour les fabricants de transformateurs de distribution.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre les différentes puissances mesurées. L'essai à vide donne \(P_{\text{1v}}\), qui correspond aux pertes Fer. L'essai en court-circuit donne \(P_{\text{1cc}}\), qui correspond aux pertes Joule. Il est essentiel de bien associer chaque essai à son type de pertes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les pertes Fer sont déterminées par l'essai à vide.
  • Elles sont considérées comme constantes et indépendantes de la charge.
  • \(P_{\text{fer}} = P_{\text{1v}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour réduire les pertes Fer, les fabricants utilisent des alliages de fer-silicium de haute qualité, avec des grains orientés et des tôles très fines (parfois moins de 0.23 mm d'épaisseur) pour limiter les courants de Foucault. Les transformateurs à très haut rendement utilisent même des matériaux amorphes (métal vitreux) qui n'ont pas de structure cristalline, réduisant encore plus les pertes par hystérésis.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi effectue-t-on l'essai à vide à la tension nominale ?

Parce que les pertes Fer dépendent fortement de la tension (approximativement de \(U^2\)). Pour connaître les pertes en condition normale de fonctionnement, il est impératif de réaliser la mesure à la tension pour laquelle le transformateur a été conçu, c'est-à-dire sa tension nominale \(U_{\text{1n}}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes Fer du transformateur sont de 150 W.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si un wattmètre mesure 200 W lors d'un essai à vide, que valent les pertes Fer ?

Question 2 : Déterminer les pertes Joule nominales (\(P_{\text{J,n}}\))

Principe (le concept physique)

Lors de l'essai en court-circuit, le secondaire est relié par un fil de résistance nulle. On alimente alors le primaire sous une tension très faible (\(U_{\text{1cc}}\)), juste assez pour faire circuler le courant nominal (\(I_{\text{2n}}\)) au secondaire. Comme la tension est très faible, le flux magnétique dans le noyau est très réduit, et les pertes Fer deviennent négligeables. La puissance absorbée au primaire ne sert donc qu'à compenser les pertes par effet Joule dans les deux enroulements.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance mesurée \(P_{\text{1cc}}\) correspond à la somme des pertes Joule au primaire et au secondaire, lorsque le courant nominal traverse les enroulements. On peut la modéliser par une résistance équivalente \(R_s\) ramenée au secondaire : \(P_{\text{1cc}} = R_s \cdot I_{\text{2n}}^2\). Cette valeur \(P_{\text{1cc}}\) représente les pertes Joule maximales, celles qui se produisent lorsque le transformateur fonctionne à sa pleine charge nominale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez aux pertes Joule comme aux "pertes à l'effort". Elles n'existent que si un courant circule, c'est-à-dire si le transformateur travaille. Plus le courant demandé par la charge est important, plus ces pertes augmentent, et ce de façon quadratique (si on double le courant, on quadruple les pertes Joule). C'est pourquoi on les appelle des pertes variables.

Normes (la référence réglementaire)

L'essai en court-circuit est également normalisé par la CEI 60076-1. Il est crucial pour déterminer non seulement les pertes Joule nominales, mais aussi l'impédance de court-circuit (\(Z_{\text{cc}}\)), une donnée essentielle pour les calculs de chute de tension en charge et de courants de défaut dans les réseaux électriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'hypothèse fondamentale de l'essai en court-circuit est :

\[ P_{\text{J,n}} \approx P_{\text{1cc}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les pertes Fer lors de l'essai en court-circuit, car la tension d'alimentation \(U_{\text{1cc}}\) est très faible par rapport à la tension nominale (ici 800 V contre 20 000 V).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Puissance mesurée lors de l'essai en court-circuit, \(P_{\text{1cc}} = 350 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Comme pour la question 1, il s'agit d'une lecture directe. La valeur mesurée par le wattmètre pendant l'essai en court-circuit à courant nominal est directement la valeur des pertes Joule nominales. Pas de calcul complexe à effectuer.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance de l'essai en court-circuit
TransformateurP₁cc = ?P₂ = 0 WPertes Joule
Calcul(s) (l'application numérique)

Par identification directe à partir des résultats de l'essai :

\[ P_{\text{J,n}} = P_{\text{1cc}} = 350 \, \text{W} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur des Pertes Joule Nominales
P_J,n = 350 W(Pertes variables max)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 350 W représente les pertes par effet Joule lorsque le transformateur fonctionne à sa charge maximale (25 kVA). Si le transformateur fonctionne à mi-charge, les pertes Joule ne seront pas de 350/2 = 175 W, mais de \(350 \times (0.5)^2 = 87.5 \, \text{W}\). C'est cette dépendance au carré de la charge qui est fondamentale pour le calcul du rendement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas utiliser la tension de court-circuit \(U_{\text{1cc}}\) pour un calcul de puissance. Cette valeur sert à calculer l'impédance de court-circuit, mais n'est pas directement utilisée pour le calcul des pertes qui est donné par le wattmètre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les pertes Joule nominales sont déterminées par l'essai en court-circuit.
  • Elles sont variables et dépendent du carré de la charge.
  • \(P_{\text{J,n}} = P_{\text{1cc}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour réduire les pertes Joule, la seule solution est de diminuer la résistance des enroulements. C'est pourquoi on utilise du cuivre ou de l'aluminium, d'excellents conducteurs, et on augmente la section des fils. Cependant, cela augmente le poids, la taille et le coût du transformateur. La conception est donc toujours un compromis entre le coût initial et les coûts d'exploitation (liés aux pertes) sur toute la durée de vie de l'appareil.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la tension \(U_{\text{1cc}}\) est-elle si faible ?

Parce que le secondaire est en court-circuit. Si on appliquait la tension nominale de 20 000 V au primaire, le courant de court-circuit au secondaire serait gigantesque (des milliers d'ampères) et détruirait instantanément le transformateur. On augmente donc très progressivement la tension primaire jusqu'à atteindre le courant nominal au secondaire. La tension nécessaire pour cela est très faible, c'est la tension de court-circuit.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes Joule nominales du transformateur sont de 350 W.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les pertes Joule nominales sont de 400 W, combien valent-elles à mi-charge (50%) ?

Question 3 : Calculer le rendement à 80% de charge

Principe (le concept physique)

Le rendement mesure l'efficacité de la conversion d'énergie. Pour le calculer, on doit comparer la puissance utile que le transformateur délivre à la charge (\(P_2\)) à la puissance totale qu'il doit absorber au primaire (\(P_1\)). Cette puissance absorbée est la somme de la puissance utile et de toutes les pertes (Fer et Joule). La difficulté est que les pertes Joule dépendent du niveau de charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On définit le taux de charge \(\beta\) comme le rapport entre le courant de charge actuel et le courant nominal : \(\beta = I_2 / I_{\text{2n}}\). Comme la tension est considérée constante, on a aussi \(\beta = S_2 / S_{\text{n}}\). Les pertes Joule à une charge \(\beta\) sont alors données par \(P_{\text{J}} = \beta^2 \cdot P_{\text{J,n}}\). La formule complète du rendement devient : \(\eta = \frac{\beta \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2)}{\beta \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2) + P_{\text{fer}} + \beta^2 \cdot P_{\text{J,n}}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du rendement se fait toujours en 3 étapes : 1. Calculer la puissance utile \(P_2\) à la sortie. 2. Calculer les pertes Joule \(P_J\) pour cette charge spécifique. 3. Appliquer la formule du rendement \(\eta = P_2 / (P_2 + P_{\text{fer}} + P_J)\). Ne sautez pas d'étapes, et surtout, n'oubliez pas le carré sur le taux de charge pour les pertes Joule !

Normes (la référence réglementaire)

Les normes d'efficacité énergétique, comme celles définies par la Commission Européenne (Règlement UE 548/2014), imposent des niveaux de rendement minimaux pour les transformateurs mis sur le marché. Ces normes visent à réduire la consommation d'énergie globale en poussant les fabricants à concevoir des appareils avec de plus faibles pertes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puissance utile à la charge :

\[ P_2 = \beta \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2) \]

Pertes Joule à la charge :

\[ P_{\text{J}} = \beta^2 \cdot P_{\text{J,n}} \]

Formule du rendement :

\[ \eta = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{J}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les pertes Fer sont constantes et égales à 150 W, et que les pertes Joule nominales sont de 350 W, comme déterminé précédemment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Taux de charge, \(\beta = 80\% = 0.8\)
  • Facteur de puissance de la charge, \(\cos(\varphi_2) = 0.9\)
  • Puissance nominale, \(S_{\text{n}} = 25000 \, \text{VA}\)
  • Pertes Fer, \(P_{\text{fer}} = 150 \, \text{W}\)
  • Pertes Joule nominales, \(P_{\text{J,n}} = 350 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez les trois composantes (P_utile, P_fer, P_Joule) séparément avant de les assembler dans la formule finale. Cela évite de se perdre dans une grande formule unique et permet de vérifier plus facilement les ordres de grandeur de chaque terme.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance en charge
TransformateurP₁P₂ = ?P_ferP_J = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la puissance utile \(P_2\) :

\[ \begin{aligned} P_2 &= \beta \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2) \\ &= 0.8 \cdot 25000 \cdot 0.9 \\ &= 18000 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Calcul des pertes Joule \(P_{\text{J}}\) pour cette charge :

\[ \begin{aligned} P_{\text{J}} &= \beta^2 \cdot P_{\text{J,n}} \\ &= (0.8)^2 \cdot 350 \\ &= 0.64 \cdot 350 \\ &= 224 \, \text{W} \end{aligned} \]

3. Calcul du rendement \(\eta\) :

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{J}}} \\ &= \frac{18000}{18000 + 150 + 224} \\ &= \frac{18000}{18374} \\ &\approx 0.9796 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition de la puissance absorbée
P_utile = 18000 WP_J = 224 WP_fer = 150 W
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rendement de 97.96% est un excellent résultat, typique des transformateurs de cette taille. Cela signifie que pour 18 kW de puissance utile fournie, seulement 374 W (150 + 224) sont perdus en chaleur. On remarque également qu'à cette charge de 80%, les pertes Joule (224 W) sont devenues supérieures aux pertes Fer (150 W).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier le carré sur le taux de charge \(\beta\) pour le calcul des pertes Joule. Si on calculait \(0.8 \times 350 = 280 \, \text{W}\), on surestimerait les pertes et on sous-estimerait le rendement. Les pertes Joule varient avec le carré du courant !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La puissance utile dépend de la charge (\(\beta\)) et du déphasage (\(\cos\varphi\)).
  • Les pertes Joule dépendent du carré de la charge (\(\beta^2\)).
  • Le rendement est le rapport entre l'utile et le total (utile + pertes).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les data centers sont d'énormes consommateurs d'électricité. Pour les alimenter, ils utilisent de très gros transformateurs. L'efficacité de ces derniers est un enjeu crucial. Un gain de rendement de seulement 0.5% sur un transformateur de 2 MVA peut représenter une économie de plusieurs milliers d'euros par an sur la facture d'électricité et une réduction significative de l'empreinte carbone.

FAQ (pour lever les doutes)
Le rendement dépend-il du facteur de puissance ?

Oui, absolument. Pour un même taux de charge \(\beta\), la puissance utile \(P_2 = \beta \cdot S_n \cdot \cos(\varphi_2)\) est maximale quand \(\cos(\varphi_2) = 1\). Comme les pertes ne dépendent que de \(\beta\) (et non de \(\cos\varphi\)), le rendement sera toujours meilleur pour un facteur de puissance proche de 1.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour une charge à 80% avec un cos(φ)=0.9, le rendement du transformateur est d'environ 98.0%.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les mêmes données, quel serait le rendement (en %) si la charge était purement résistive (\(\cos\varphi=1\)) ?

Question 4 : Calculer le taux de charge pour un rendement maximal

Principe (le concept physique)

Le rendement n'est pas constant, il varie avec la charge. À très faible charge, les pertes Fer (constantes) sont prépondérantes et le rendement est faible. À très forte charge, les pertes Joule (qui augmentent en \(\beta^2\)) deviennent très importantes et font chuter le rendement. Il existe donc un point intermédiaire où le rendement est maximal. Ce point est atteint lorsque les pertes variables deviennent égales aux pertes constantes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, pour trouver le maximum de la fonction de rendement \(\eta(\beta)\), on cherche le point où sa dérivée par rapport à \(\beta\) s'annule (\(d\eta/d\beta = 0\)). En effectuant cette dérivation sur l'expression complète du rendement, on démontre que la condition de nullité de la dérivée est atteinte précisément lorsque \(P_{\text{J}} = P_{\text{fer}}\), c'est-à-dire \(\beta^2 \cdot P_{\text{J,n}} = P_{\text{fer}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une règle d'or en électrotechnique : **rendement maximal quand les pertes variables égalent les pertes constantes**. C'est vrai pour les transformateurs, mais aussi pour beaucoup d'autres machines électriques comme les moteurs à courant continu. C'est un concept clé à retenir.

Normes (la référence réglementaire)

Les spécifications techniques pour l'achat de transformateurs incluent souvent non seulement le rendement à pleine charge, mais aussi à des charges partielles (ex: 50% ou 75%), car de nombreux transformateurs fonctionnent la plupart du temps en dessous de leur charge nominale. Le point de rendement maximal est donc une caractéristique de conception très importante.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de rendement maximal :

\[ P_{\text{J}} = P_{\text{fer}} \]

Ce qui se traduit par :

\[ \beta_{\text{opt}}^2 \cdot P_{\text{J,n}} = P_{\text{fer}} \]

D'où le taux de charge optimal :

\[ \beta_{\text{opt}} = \sqrt{\frac{P_{\text{fer}}}{P_{\text{J,n}}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue de supposer que les valeurs de pertes Fer et Joule nominales déterminées aux questions 1 et 2 sont exactes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pertes Fer, \(P_{\text{fer}} = 150 \, \text{W}\)
  • Pertes Joule nominales, \(P_{\text{J,n}} = 350 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Observez les valeurs : les pertes Joule nominales (350 W) sont supérieures aux pertes Fer (150 W). La condition d'égalité sera donc atteinte pour un taux de charge inférieur à 100%. Si c'était l'inverse, le rendement maximal serait atteint pour une charge supérieure à la charge nominale (ce qui est physiquement possible mais non souhaitable en pratique).

Schéma (Avant les calculs)
Courbes des pertes en fonction de la charge
Taux de charge βPertes (W)P_ferP_Jouleη_max
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du taux de charge optimal :

\[ \begin{aligned} \beta_{\text{opt}} &= \sqrt{\frac{P_{\text{fer}}}{P_{\text{J,n}}}} \\ &= \sqrt{\frac{150}{350}} \\ &\approx 0.655 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de Rendement Maximal
Taux de charge β (%)Pertes (W)P_fer=150WP_Joule65.5%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rendement de ce transformateur est maximal lorsqu'il fonctionne à environ 65.5% de sa charge nominale. C'est une information très importante pour l'exploitant. Si l'installation fonctionne la plupart du temps autour de cette charge, le transformateur est très bien choisi. Si la charge moyenne est bien plus faible (ex: 20%), un transformateur plus petit avec des pertes Fer plus faibles aurait été plus économique sur le long terme.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas inverser les pertes dans la formule ! Une erreur fréquente est de calculer \(\sqrt{P_{\text{J,n}} / P_{\text{fer}}}\), ce qui donnerait un résultat supérieur à 1 et n'aurait pas de sens physique pour un transformateur bien conçu. C'est toujours \(\sqrt{\text{Pertes constantes / Pertes variables nominales}}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le rendement est maximal lorsque les pertes variables égalent les pertes constantes.
  • \(P_{\text{J}} = P_{\text{fer}} \Rightarrow \beta_{\text{opt}}^2 \cdot P_{\text{J,n}} = P_{\text{fer}}\).
  • Le taux de charge optimal dépend du ratio entre les deux types de pertes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les transformateurs de puissance des grandes centrales électriques sont conçus pour avoir un rendement maximal très proche de leur pleine charge (ex: 95%), car ils fonctionnent quasiment tout le temps à leur puissance nominale. À l'inverse, un transformateur de distribution de quartier est conçu pour avoir un rendement maximal autour de 50-70% de sa charge, car c'est à ce niveau qu'il fonctionne en moyenne sur 24h.

FAQ (pour lever les doutes)
Le rendement maximal dépend-il du facteur de puissance ?

Non, la condition pour le rendement maximal (\(P_{\text{J}} = P_{\text{fer}}\)) ne dépend que des caractéristiques internes du transformateur (ses pertes). Le taux de charge \(\beta_{\text{opt}}\) est donc le même quel que soit le facteur de puissance de la charge. En revanche, la *valeur* de ce rendement maximal, elle, dépendra bien du facteur de puissance, comme nous allons le voir à la question suivante.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rendement est maximal pour un taux de charge d'environ 65.5%.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(P_{\text{fer}} = 200\) W et \(P_{\text{J,n}} = 200\) W, quel est le taux de charge optimal (en %) ?

Question 5 : Calculer le rendement maximal (\(\eta_{\text{max}}\))

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le taux de charge optimal (\(\beta_{\text{opt}}\)) où le rendement est maximal, il ne nous reste plus qu'à appliquer la formule générale du rendement en utilisant cette valeur spécifique de \(\beta\). La particularité de ce point de fonctionnement est que les pertes Joule sont exactement égales aux pertes Fer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Au point de rendement maximal, les pertes totales sont \(P_{\text{pertes, tot}} = P_{\text{fer}} + P_{\text{J}} = 2 \cdot P_{\text{fer}}\). La formule du rendement maximal se simplifie donc légèrement : \(\eta_{\text{max}} = \frac{P_{2,\text{opt}}}{P_{2,\text{opt}} + 2 \cdot P_{\text{fer}}}\), où \(P_{2,\text{opt}} = \beta_{\text{opt}} \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2)\). Cette formule montre bien que la valeur du rendement maximal dépend toujours du facteur de puissance de la charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'aboutissement de notre analyse. Nous avons caractérisé le transformateur avec deux essais, trouvé son point de fonctionnement idéal, et nous calculons maintenant sa performance ultime. C'est la meilleure efficacité que l'on puisse espérer de cet appareil dans les conditions de charge données.

Normes (la référence réglementaire)

Le rendement maximal est une des valeurs clés qui permettent de classer les transformateurs selon des classes d'efficacité (par exemple, AA0 ou A0B'k selon les normes européennes). Un transformateur avec un rendement maximal élevé et des pertes à vide faibles sera plus cher à l'achat mais plus économique à l'usage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On réutilise les mêmes formules qu'à la question 3, mais avec \(\beta = \beta_{\text{opt}}\).

\[ P_{2,\text{opt}} = \beta_{\text{opt}} \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2) \]
\[ P_{\text{J,opt}} = \beta_{\text{opt}}^2 \cdot P_{\text{J,n}} = P_{\text{fer}} \]
\[ \eta_{\text{max}} = \frac{P_{2,\text{opt}}}{P_{2,\text{opt}} + 2 \cdot P_{\text{fer}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place au taux de charge optimal calculé précédemment et on conserve le même facteur de puissance que pour la question 3 pour permettre une comparaison.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Taux de charge optimal, \(\beta_{\text{opt}} \approx 0.655\)
  • Facteur de puissance, \(\cos(\varphi_2) = 0.9\)
  • Puissance nominale, \(S_{\text{n}} = 25000 \, \text{VA}\)
  • Pertes Fer, \(P_{\text{fer}} = 150 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisqu'on est au rendement maximal, on sait que les pertes Joule sont égales aux pertes Fer. Il n'est donc pas nécessaire de les recalculer avec \(\beta_{\text{opt}}^2\). On sait directement que \(P_{\text{J,opt}} = P_{\text{fer}} = 150 \, \text{W}\). Les pertes totales sont donc de \(150 + 150 = 300 \, \text{W}\).

Schéma (Avant les calculs)
Courbe de rendement
Taux de charge βRendement η (%)β_optη_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la puissance utile optimale \(P_{2,\text{opt}}\) :

\[ \begin{aligned} P_{2,\text{opt}} &= \beta_{\text{opt}} \cdot S_{\text{n}} \cdot \cos(\varphi_2) \\ &= 0.655 \cdot 25000 \cdot 0.9 \\ &\approx 14738 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Les pertes totales au rendement maximal sont :

\[ P_{\text{pertes}} = P_{\text{fer}} + P_{\text{J,opt}} = 150 + 150 = 300 \, \text{W} \]

3. Calcul du rendement maximal \(\eta_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{max}} &= \frac{P_{2,\text{opt}}}{P_{2,\text{opt}} + P_{\text{pertes}}} \\ &= \frac{14738}{14738 + 300} \\ &= \frac{14738}{15038} \\ &\approx 0.9801 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de Rendement Maximal sur la Courbe
Taux de charge β (%)Rendement η (%)65.5%98.0%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rendement maximal est de 98.01%, ce qui est légèrement supérieur au rendement à 80% de charge (97.96%). Cela confirme que le point de fonctionnement optimal se situe bien autour de 65.5% de charge. La différence est faible, ce qui montre que les transformateurs modernes ont une courbe de rendement assez "plate", restant très efficace sur une large plage de charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser le bon taux de charge (\(\beta_{\text{opt}}\)) pour calculer la puissance utile. Ne pas utiliser la puissance utile calculée à la question 3, qui correspondait à un autre point de fonctionnement (\(\beta=0.8\)). Chaque calcul de rendement est spécifique à un point de charge donné.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le rendement maximal est la meilleure performance possible du transformateur.
  • Il se calcule au taux de charge optimal \(\beta_{\text{opt}}\).
  • À ce point, les pertes totales valent \(2 \cdot P_{\text{fer}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le rendement des très gros transformateurs de centrales électriques peut atteindre des valeurs impressionnantes de 99.75%. Sur un transformateur de 800 MVA, les 0.25% de pertes représentent tout de même 2 MW de chaleur à dissiper, soit la puissance de 2000 radiateurs électriques ! Cela nécessite des systèmes de refroidissement très performants, souvent avec une circulation forcée d'huile et des aéro-réfrigérants.

FAQ (pour lever les doutes)
Si le facteur de puissance était de 1, le rendement maximal serait-il plus élevé ?

Oui. Le taux de charge optimal \(\beta_{\text{opt}}\) resterait le même (0.655), mais la puissance utile \(P_{2,\text{opt}}\) serait plus grande : \(0.655 \times 25000 \times 1 = 16375 \, \text{W}\). Le rendement maximal serait alors \(\eta_{\text{max}} = 16375 / (16375 + 300) \approx 98.2\%\). Le rendement est toujours meilleur pour une charge purement résistive.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rendement maximal de ce transformateur, pour une charge de facteur de puissance 0.9, est d'environ 98.0%.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un transformateur a \(P_{\text{fer}}=P_{\text{J,n}}=200\)W. Il débite 10kW sur une charge avec cos(\(\varphi\))=1. Quel est son rendement (en %) ?

Outil Interactif : Courbe de Rendement

Utilisez le simulateur pour visualiser la courbe de rendement du transformateur en fonction du taux de charge et du facteur de puissance.

Paramètres d'Entrée
0.90
150 W
350 W
Résultats Clés
Rendement Maximal (%) -
à Taux de Charge (%) -
Rendement à 100% Charge (%) -

Le Saviez-Vous ?

Pour améliorer un mauvais facteur de puissance (souvent dû aux moteurs), les industriels installent des batteries de condensateurs. Ces équipements "fournissent" de la puissance réactive (dite capacitive) qui vient compenser la puissance réactive "consommée" (inductive) par les moteurs. Le résultat est une diminution de la puissance apparente totale et donc du courant appelé sur le réseau, ce qui réduit les pertes et la facture d'électricité.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la puissance nominale est-elle en kVA et non en kW ?

La principale contrainte pour un transformateur est l'échauffement de ses enroulements, qui est causé par le courant qui y circule (effet Joule). Le courant est directement proportionnel à la puissance apparente S (S = U*I), et non à la puissance active P. Le fabricant ne peut pas connaître le facteur de puissance des charges qui seront branchées, il dimensionne donc son appareil pour le "pire" cas, c'est-à-dire pour un courant maximal, ce qui correspond à la puissance apparente S.

Que se passe-t-il si on surcharge un transformateur ?

Une surcharge, même faible, augmente le courant au-delà de sa valeur nominale. Cela provoque une surchauffe des enroulements et de l'huile isolante. Une surcharge ponctuelle et brève est souvent tolérée. Cependant, une surcharge prolongée dégrade l'isolant de manière accélérée et réduit considérablement la durée de vie du transformateur. Dans les cas extrêmes, elle peut mener à un court-circuit interne et à la destruction de l'appareil.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un transformateur a des pertes Fer de 100 W et des pertes Joule nominales de 400 W. Son rendement sera maximal à...

2. Si la fréquence du réseau passe de 50 Hz à 60 Hz, que deviennent les pertes Fer ?

Rendement (\(\eta\))
Rapport entre la puissance utile fournie par le transformateur et la puissance active qu'il absorbe. C'est une mesure de son efficacité énergétique, exprimée en pourcentage.
Pertes Fer (\(P_{\text{fer}}\))
Pertes de puissance dans le circuit magnétique, dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles sont indépendantes de la charge.
Pertes Joule (\(P_{\text{J}}\))
Pertes de puissance par effet Joule dans les enroulements en cuivre. Elles sont proportionnelles au carré du courant de charge.
Pertes et Rendement d’un Transformateur

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