Potentiel Électrique dans un Cône Conducteur
Comprendre le Potentiel Électrique dans un Cône Conducteur
En électricité statique, la distribution de charges électriques sur des surfaces peut créer des champs électriques complexes. Un cône conducteur est chargé avec une densité de charge uniforme sur sa surface.
Cette configuration est couramment étudiée dans les cours d’électricité pour comprendre les effets de la géométrie sur les champs électriques et les potentiels électriques.
Pour comprendre le Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré, cliquez sur le lien.
Données:
- Hauteur du cône (h) : 15 cm
- Rayon de la base du cône (R) : 5 cm
- Charge totale sur le cône (Q) : 10 nC (nanocoulombs)
- La permittivité du vide (ε₀) : \(8.85 \times 10^{-12}\) F/m (farads par mètre)
Objectif:
Calculer la différence de potentiel électrique entre la pointe du cône (sommet) et un point situé au centre du sommet, à l’intérieur du cône.
Questions:
1. Calcul de la densité surfacique de charge (σ).
2. Calcul du champ électrique (E) à la pointe du cône.
3. Calcul de la différence de potentiel (ΔV).
Correction : Potentiel Électrique dans un Cône Conducteur
1. Calcul de la densité surfacique de charge (σ)
Formule de l’aire (A) du cône :
\[ A = \pi R \sqrt{R^2 + h^2} \]
Substitution des valeurs :
- \( R = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m} \)
- \( h = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m} \)
\[ A = \pi \times 0.05 \times \sqrt{(0.05)^2 + (0.15)^2} \] \[ A = \pi \times 0.05 \times \sqrt{0.0025 + 0.0225} \] \[ A = \pi \times 0.05 \times \sqrt{0.025} \] \[ A = \pi \times 0.05 \times 0.158 \] \[ A \approx 0.0249 \, \text{m}^2 \]
Formule de la densité surfacique de charge (σ) :
\[ \sigma = \frac{Q}{A} \]
Substitution des valeurs :
- \( Q = 10 \, \text{nC} = 10 \times 10^{-9} \, \text{C} \)
\[ \sigma = \frac{10 \times 10^{-9}}{0.0249} \] \[ \sigma \approx 4.016 \times 10^{-7} \, \text{C/m}^2 \]
2. Calcul du champ électrique (E) à la pointe du cône
Formule du champ électrique (E) :
\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \]
Substitution des valeurs :
– \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \)
\[ E = \frac{4.016 \times 10^{-7}}{8.85 \times 10^{-12}} \] \[ E \approx 4.54 \times 10^{4} \, \text{V/m} \]
3. Calcul de la différence de potentiel (ΔV)
Formule de la différence de potentiel (ΔV) :
\[ \Delta V = E \cdot d \]
Substitution des valeurs :
- \( d = h = 0.15 \, \text{m} \)
\[ \Delta V = 4.54 \times 10^{4} \times 0.15 \] \[ \Delta V \approx 6810 \, \text{V} \] \[ \Delta V \approx 6.81 \, \text{kV} \]
Explication
- Densité surfacique de charge (σ) : Cette valeur indique combien de charge est répartie par unité de surface sur le cône. Plus la charge est grande ou la surface petite, plus cette densité est élevée.
- Champ électrique (E) : Le champ électrique à la pointe du cône est particulièrement élevé en raison de la concentration de charge en un point fin, ce qui crée un champ intense.
- Différence de potentiel (ΔV) : La différence de potentiel entre la pointe et le centre du sommet illustre le travail nécessaire pour déplacer une charge unitaire de la pointe vers ce point. Le résultat en kilovolts montre une tension élevée, typique des pointes chargées.
Potentiel Électrique dans un Cône Conducteur
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