Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Puissance dans un Réseau de Distribution

Puissance dans un Réseau de Distribution Électrique

Puissance dans un Réseau de Distribution Électrique

Comprendre la Puissance en Distribution Électrique

Le calcul des puissances est fondamental dans l'analyse des réseaux de distribution électrique. Il permet d'évaluer l'efficacité du transport de l'énergie, de quantifier les pertes et de s'assurer que les charges reçoivent la puissance nécessaire à leur bon fonctionnement. Dans un réseau, la puissance fournie par la source se répartit entre la puissance utile consommée par les charges et la puissance perdue, principalement par effet Joule dans les résistances des lignes de distribution. L'objectif est de maximiser la puissance utile tout en minimisant les pertes pour un rendement optimal. Les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm sont les outils de base pour ces calculs.

Données de l'étude

Un générateur de tension continue \(V_S\) alimente deux charges résistives, \(R_{L1}\) et \(R_{L2}\), montées en parallèle. La ligne de distribution possède des résistances \(R_{ligne1}\) (avant la dérivation), \(R_{ligne2}\) (sur la branche de \(R_{L1}\)), \(R_{ligne3}\) (sur la branche de \(R_{L2}\)), et une résistance de retour commune \(R_{retour}\).

Caractéristiques du système :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(230 \, \text{V}\)
  • Résistance de ligne principale (\(R_{ligne1}\)) : \(0.1 \, \Omega\)
  • Résistance de ligne de la branche 1 (\(R_{ligne2}\)) : \(0.2 \, \Omega\)
  • Charge 1 (\(R_{L1}\)) : \(5 \, \Omega\)
  • Résistance de ligne de la branche 2 (\(R_{ligne3}\)) : \(0.15 \, \Omega\)
  • Charge 2 (\(R_{L2}\)) : \(8 \, \Omega\)
  • Résistance de la ligne de retour (\(R_{retour}\)) : \(0.1 \, \Omega\)
Schéma du Réseau de Distribution
+ - Vs R_ligne1 N1 R_ligne2 R_L1 N2 R_ligne3 R_L2 R_retour Is I1 I2 Réseau de Distribution Électrique

Une source \(V_S\) alimente deux charges \(R_{L1}\) et \(R_{L2}\) en parallèle, avec des résistances de ligne \(R_{ligne1}\), \(R_{ligne2}\), \(R_{ligne3}\) et \(R_{retour}\).

Questions à traiter

  1. Écrire les équations des mailles et des nœuds nécessaires pour analyser le circuit en utilisant les lois de Kirchhoff. (Identifier les courants \(I_S\), \(I_1\) dans la branche de \(R_{L1}\), et \(I_2\) dans la branche de \(R_{L2}\)).
  2. Résoudre le système d'équations pour trouver les courants \(I_S\), \(I_1\), et \(I_2\).
  3. Calculer la tension aux bornes de la charge \(R_{L1}\) (\(V_{L1}\)) et la tension aux bornes de la charge \(R_{L2}\) (\(V_{L2}\)).
  4. Calculer la puissance consommée par la charge \(R_{L1}\) (\(P_{L1}\)) et par la charge \(R_{L2}\) (\(P_{L2}\)).
  5. Calculer la puissance totale utile (\(P_{utile}\)) consommée par les deux charges.
  6. Calculer la puissance perdue dans chaque résistance de ligne (\(P_{R_{ligne1}}\), \(P_{R_{ligne2}}\), \(P_{R_{ligne3}}\), \(P_{R_{retour}}\)).
  7. Calculer la puissance totale fournie par la source (\(P_S\)).
  8. Calculer le rendement (\(\eta\)) du système de distribution.

Correction : Puissance dans un Réseau de Distribution Électrique

Question 1 : Équations des mailles et des nœuds

Principe :

On applique la loi des nœuds (LCK) aux jonctions et la loi des mailles (LVK) aux boucles indépendantes du circuit.

Nœuds : N1 (jonction de \(R_{ligne1}\), \(R_{ligne2}\), \(R_{ligne3}\)) et N2 (jonction des retours des charges et de \(R_{retour}\)). Courants : \(I_S\) est le courant total fourni par la source. Il se divise en \(I_1\) (traversant \(R_{ligne2}\) et \(R_{L1}\)) et \(I_2\) (traversant \(R_{ligne3}\) et \(R_{L2}\)).

Application :

Loi des Nœuds au nœud N1 :

\[I_S = I_1 + I_2 \quad \text{(Éq. 1)}\]

Loi des Mailles :

Maille 1 (Source, \(R_{ligne1}\), \(R_{ligne2}\), \(R_{L1}\), \(R_{retour}\), Source) :

\[V_S - R_{ligne1}I_S - R_{ligne2}I_1 - R_{L1}I_1 - R_{retour}I_S = 0\] \[V_S - (R_{ligne1} + R_{retour})I_S - (R_{ligne2} + R_{L1})I_1 = 0 \quad \text{(Éq. 2)}\]

Maille 2 (Source, \(R_{ligne1}\), \(R_{ligne3}\), \(R_{L2}\), \(R_{retour}\), Source) :

\[V_S - R_{ligne1}I_S - R_{ligne3}I_2 - R_{L2}I_2 - R_{retour}I_S = 0\] \[V_S - (R_{ligne1} + R_{retour})I_S - (R_{ligne3} + R_{L2})I_2 = 0 \quad \text{(Éq. 3)}\]
Résultat Question 1 : Les équations du circuit sont :
  1. \(I_S = I_1 + I_2\)
  2. \(V_S - (R_{ligne1} + R_{retour})I_S - (R_{ligne2} + R_{L1})I_1 = 0\)
  3. \(V_S - (R_{ligne1} + R_{retour})I_S - (R_{ligne3} + R_{L2})I_2 = 0\)

Question 2 : Calcul des courants \(I_S, I_1, I_2\)

Principe :

On résout le système de 3 équations à 3 inconnues obtenu à la question précédente.

Valeurs numériques :

  • \(V_S = 230 \, \text{V}\)
  • \(R_{ligne1} = 0.1 \, \Omega\)
  • \(R_{ligne2} = 0.2 \, \Omega\)
  • \(R_{L1} = 5 \, \Omega\)
  • \(R_{ligne3} = 0.15 \, \Omega\)
  • \(R_{L2} = 8 \, \Omega\), \(R_{retour} = 0.1 \, \Omega\).

    Donc : \[R_{L1,tot} = R_{ligne2} + R_{L1} \] \[R_{L1,tot} = 0.2 + 5 \] \[R_{L1,tot} = 5.2 \, \Omega\] \[R_{L2,tot} = R_{ligne3} + R_{L2} \] \[R_{L2,tot} = 0.15 + 8 \] \[R_{L2,tot} = 8.15 \, \Omega\] \[R_{ligne,commune} = R_{ligne1} + R_{retour} \] \[R_{ligne,commune} = 0.1 + 0.1 \] \[R_{ligne,commune} = 0.2 \, \Omega\]

    Les équations deviennent :

    1. \(I_S = I_1 + I_2\)
    2. \(230 - 0.2 I_S - 5.2 I_1 = 0\)
    3. \(230 - 0.2 I_S - 8.15 I_2 = 0\)
    • Calcul :

    De (2) et (3) : \(5.2 I_1 = 8.15 I_2 \Rightarrow I_1 = \frac{8.15}{5.2} I_2 \approx 1.56730769 I_2\).

    Substituer \(I_S = I_1 + I_2\) dans (2) :

    \[ \begin{aligned} 230 - 0.2 (I_1 + I_2) - 5.2 I_1 &= 0 \\ 230 - 0.2 I_1 - 0.2 I_2 - 5.2 I_1 &= 0 \\ 230 - 5.4 I_1 - 0.2 I_2 &= 0 \end{aligned} \]

    Substituer \(I_1 \approx 1.56730769 I_2\) dans cette dernière équation :

    \[ \begin{aligned} 230 - 5.4 (1.56730769 I_2) - 0.2 I_2 &= 0 \\ 230 - 8.46346154 I_2 - 0.2 I_2 &= 0 \\ 230 - 8.66346154 I_2 &= 0 \\ 8.66346154 I_2 &= 230 \\ I_2 &= \frac{230}{8.66346154} \\ &\approx 26.5480769 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_1 &= 1.56730769 \times 26.5480769 \, \text{A} \\ &\approx 41.6025641 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_S &= I_1 + I_2 \\ &\approx 41.6025641 \, \text{A} + 26.5480769 \, \text{A} \\ &\approx 68.150641 \, \text{A} \end{aligned} \]
    Résultat Question 2 :
    • \(I_1 \approx 41.60 \, \text{A}\)
    • \(I_2 \approx 26.55 \, \text{A}\)
    • \(I_S \approx 68.15 \, \text{A}\)

    Quiz Intermédiaire 1 : La loi des mailles de Kirchhoff est utilisée pour écrire des équations basées sur :

    Question 3 : Tensions aux bornes des charges (\(V_{L1}\) et \(V_{L2}\))

    Principe :

    La tension aux bornes d'une charge résistive est donnée par la loi d'Ohm : \(V = RI\).

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[V_{L1} = R_{L1} I_1\] \[V_{L2} = R_{L2} I_2\]
    Données spécifiques :
    • \(R_{L1} = 5 \, \Omega\), \(I_1 \approx 41.6025641 \, \text{A}\)
    • \(R_{L2} = 8 \, \Omega\), \(I_2 \approx 26.5480769 \, \text{A}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} V_{L1} &= 5 \, \Omega \times 41.6025641 \, \text{A} \\ &\approx 208.0128 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{L2} &= 8 \, \Omega \times 26.5480769 \, \text{A} \\ &\approx 212.3846 \, \text{V} \end{aligned} \]
    Résultat Question 3 :
    • Tension aux bornes de la charge \(R_{L1}\) : \(V_{L1} \approx 208.01 \, \text{V}\)
    • Tension aux bornes de la charge \(R_{L2}\) : \(V_{L2} \approx 212.38 \, \text{V}\)

    Question 4 : Puissance consommée par chaque charge (\(P_{L1}\) et \(P_{L2}\))

    Principe :

    La puissance consommée par une charge résistive est \(P = V I = R I^2 = V^2/R\).

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[P_{L1} = R_{L1} I_1^2\] \[P_{L2} = R_{L2} I_2^2\]
    Données spécifiques :
    • \(R_{L1} = 5 \, \Omega\), \(I_1 \approx 41.6025641 \, \text{A}\)
    • \(R_{L2} = 8 \, \Omega\), \(I_2 \approx 26.5480769 \, \text{A}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} P_{L1} &= 5 \, \Omega \times (41.6025641 \, \text{A})^2 \\ &= 5 \times 1730.77530 \\ &\approx 8653.88 \, \text{W} \end{aligned} \]
    \[ \begin{aligned} P_{L2} &= 8 \, \Omega \times (26.5480769 \, \text{A})^2 \\ &= 8 \times 704.80030 \\ &\approx 5638.40 \, \text{W} \end{aligned} \]
    Résultat Question 4 :
    • Puissance consommée par \(R_{L1}\) : \(P_{L1} \approx 8653.88 \, \text{W}\)
    • Puissance consommée par \(R_{L2}\) : \(P_{L2} \approx 5638.40 \, \text{W}\)

    Question 5 : Puissance totale utile (\(P_{utile}\))

    Principe :

    La puissance totale utile est la somme des puissances consommées par les charges.

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[P_{utile} = P_{L1} + P_{L2}\]
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} P_{utile} &= 8653.88 \, \text{W} + 5638.40 \, \text{W} \\ &= 14292.28 \, \text{W} \end{aligned} \]
    Résultat Question 5 : La puissance totale utile est \(P_{utile} \approx 14292.28 \, \text{W}\).

    Question 6 : Puissance perdue dans chaque résistance de ligne

    Principe :

    La puissance perdue dans une résistance de ligne est \(P_{perte} = R_{ligne} I_{ligne}^2\).

    Calculs :
    \[ \begin{aligned} P_{R_{ligne1}} &= R_{ligne1} I_S^2 \\ &\approx 0.1 \, \Omega \times (68.150641 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.1 \times 4644.509 \\ &\approx 464.45 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{R_{ligne2}} &= R_{ligne2} I_1^2 \\ &\approx 0.2 \, \Omega \times (41.6025641 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.2 \times 1730.7753 \\ &\approx 346.16 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{R_{ligne3}} &= R_{ligne3} I_2^2 \\ &\approx 0.15 \, \Omega \times (26.5480769 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.15 \times 704.8003 \\ &\approx 105.72 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{R_{retour}} &= R_{retour} I_S^2 \\ &\approx 0.1 \, \Omega \times (68.150641 \, \text{A})^2 \\ &\approx 464.45 \, \text{W} \end{aligned} \]
    Résultat Question 6 :
    • \(P_{R_{ligne1}} \approx 464.45 \, \text{W}\)
    • \(P_{R_{ligne2}} \approx 346.16 \, \text{W}\)
    • \(P_{R_{ligne3}} \approx 105.72 \, \text{W}\)
    • \(P_{R_{retour}} \approx 464.45 \, \text{W}\)

    Quiz Intermédiaire 2 : Les pertes de puissance dans une ligne de distribution sont principalement dues à :

    Question 7 : Puissance totale fournie (\(P_S\)) et rendement (\(\eta\))

    Principe :

    La puissance totale fournie par la source est \(P_S = V_S I_S\). Le rendement est le rapport de la puissance utile à la puissance totale fournie.

    Formule(s) utilisée(s) :
    \[P_S = V_S I_S\] \[P_{utile} = P_{L1} + P_{L2}\] \[P_{pertes\_totales} = P_{R_{ligne1}} + P_{R_{ligne2}} + P_{R_{ligne3}} + P_{R_{retour}}\] \[\eta = \frac{P_{utile}}{P_S} = \frac{P_{utile}}{P_{utile} + P_{pertes\_totales}}\]
    Données spécifiques :
    • \(V_S = 230 \, \text{V}\)
    • \(I_S \approx 68.150641 \, \text{A}\)
    • \(P_{utile} \approx 14292.28 \, \text{W}\) (de Q5)
    • \(P_{R_{ligne1}} \approx 464.45 \, \text{W}\), \(P_{R_{ligne2}} \approx 346.16 \, \text{W}\), \(P_{R_{ligne3}} \approx 105.72 \, \text{W}\), \(P_{R_{retour}} \approx 464.45 \, \text{W}\)
    Calcul :
    \[ \begin{aligned} P_S &= 230 \, \text{V} \times 68.150641 \, \text{A} \\ &\approx 15674.647 \, \text{W} \end{aligned} \]

    Somme des pertes calculées :

    \[ \begin{aligned} P_{pertes\_totales} &\approx 464.45 + 346.16 + 105.72 + 464.45 \, \text{W} \\ &\approx 1380.78 \, \text{W} \end{aligned} \]

    Vérification : \(P_S \approx P_{utile} + P_{pertes\_totales} \approx 14292.28 + 1380.78 \approx 15673.06 \, \text{W}\). La petite différence est due aux arrondis cumulés.

    Utilisons \(P_S\) calculé directement pour le rendement :

    \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{14292.28 \, \text{W}}{15674.647 \, \text{W}} \\ &\approx 0.9118 \\ &\approx 91.18\% \end{aligned} \]
    Résultat Question 7 :
    • Puissance totale fournie par la source : \(P_S \approx 15674.65 \, \text{W}\)
    • Rendement global de la distribution : \(\eta \approx 91.18\%\)

    Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

    1. La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que :

    2. La puissance perdue dans une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\) est donnée par :

    3. Le rendement d'un système de distribution électrique est le rapport :

    Glossaire

    Loi des Nœuds de Kirchhoff (LCK)
    La somme algébrique des courants électriques qui entrent dans un nœud d'un circuit électrique est égale à la somme algébrique des courants qui en sortent. (Conservation de la charge).
    Loi des Mailles de Kirchhoff (LVK)
    La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. (Conservation de l'énergie).
    Nœud
    Point d'un circuit électrique où au moins trois conducteurs se rencontrent.
    Maille
    Chemin fermé dans un circuit électrique.
    Ligne de Distribution
    Ensemble de conducteurs utilisés pour transporter l'énergie électrique d'une source vers des charges.
    Chute de Tension
    Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et au courant qui le traverse (\(V_{chute} = RI\)).
    Puissance Électrique (\(P\))
    Taux auquel l'énergie électrique est transférée par un circuit électrique. Unité SI : Watt (W). Pour un circuit DC, \(P = VI = RI^2 = V^2/R\).
    Pertes par Effet Joule
    Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur résistif parcouru par un courant.
    Puissance Utile
    Puissance effectivement consommée par les charges destinataires dans un système de distribution.
    Puissance Fournie
    Puissance totale délivrée par la source d'alimentation.
    Rendement de Distribution (\(\eta\))
    Rapport de la puissance utile (consommée par les charges) à la puissance totale fournie par la source. Il mesure l'efficacité de la transmission d'énergie.
    Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

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