Puissance dans un Système Générateur-Charge

Vous êtes ingénieur électrique et devez concevoir un système pour alimenter un petit site isolé. Le système comprend un générateur qui alimente une charge résistive.

Données

Tension nominale du générateur (force électromotrice) : \(E = 120 \, \text{V}\)
Résistance interne du générateur : \(r = 0.5 \, \Omega\)
Résistance de la charge : \(R = 24 \, \Omega\)

Schéma du circuit générateur-charge.

Questions

Calcul du courant du circuit : Calculez le courant total \(I\) dans le circuit lorsque le générateur fonctionne à sa tension nominale et alimente la charge donnée.
Puissance fournie à la charge : Déterminez la puissance \(P_{charge}\) dissipée par la charge.
Efficacité du générateur : Calculez l’efficacité \(\eta\) du générateur, définie comme le rapport entre la puissance absorbée par la charge et la puissance totale générée par le générateur.

Correction : Puissance dans un Système Générateur-Charge

1. Calcul du Courant du Circuit (\(I\))

Le circuit est un circuit série simple comprenant la force électromotrice (f.e.m) \(E\) du générateur, sa résistance interne \(r\), et la résistance de charge \(R\). La résistance totale du circuit est \(R_{tot} = r + R\). Selon la loi d'Ohm, le courant total \(I\) dans le circuit est donné par : \[ I = \frac{E}{R_{tot}} = \frac{E}{r + R} \]

Données pour cette étape

Force électromotrice : \(E = 120 \, \text{V}\)
Résistance interne : \(r = 0.5 \, \Omega\)
Résistance de charge : \(R = 24 \, \Omega\)

Calcul

Calcul de la résistance totale :

R_{tot} = r + R \] \[ R_{tot} = 0.5 \, \Omega + 24 \, \Omega \] \[ R_{tot} = 24.5 \, \Omega

Calcul du courant total :

\begin{aligned} I &= \frac{E}{R_{tot}} \\ I &= \frac{120 \, \text{V}}{24.5 \, \Omega} \\ I &\approx 4.8979 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat

Le courant total dans le circuit est \(I \approx 4.90 \, \text{A}\).

2. Puissance Fournie à la Charge (\(P_{charge}\))

La puissance dissipée par la charge résistive \(R\) est donnée par la formule : \[ P_{charge} = I^2 \times R \] Où \(I\) est le courant total calculé à l'étape précédente. La puissance est exprimée en Watts (W).

Données pour cette étape

Courant total : \(I \approx 4.8979 \, \text{A}\) (calculé à l'étape 1)
Résistance de charge : \(R = 24 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} P_{charge} &= I^2 \times R \\ P_{charge} &\approx (4.8979 \, \text{A})^2 \times (24 \, \Omega) \\ P_{charge} &\approx (23.9892 \, \text{A}^2) \times (24 \, \Omega) \\ P_{charge} &\approx 575.74 \, \text{W} \end{aligned}

Résultat

La puissance dissipée par la charge est \(P_{charge} \approx 575.7 \, \text{W}\).

3. Efficacité du Générateur (\(\eta\))

L'efficacité (\(\eta\)) du générateur est le rapport entre la puissance utile fournie à la charge (\(P_{charge}\)) et la puissance totale générée par la source de f.e.m (\(P_{generateur}\)). La puissance totale générée est le produit de la f.e.m \(E\) et du courant total \(I\). \[ P_{generateur} = E \times I \] \[ \eta = \frac{P_{charge}}{P_{generateur}} \times 100\% \] La différence \(P_{generateur} - P_{charge}\) correspond à la puissance perdue dans la résistance interne du générateur (\(P_{pertes} = I^2 \times r\)).

Données pour cette étape

Force électromotrice : \(E = 120 \, \text{V}\)
Courant total : \(I \approx 4.8979 \, \text{A}\)
Puissance fournie à la charge : \(P_{charge} \approx 575.74 \, \text{W}\) (calculée à l'étape 2)

Calculs

Calcul de la puissance totale générée :

\begin{aligned} P_{generateur} &= E \times I \\ P_{generateur} &\approx (120 \, \text{V}) \times (4.8979 \, \text{A}) \\ P_{generateur} &\approx 587.75 \, \text{W} \end{aligned}

Calcul de l'efficacité :

\begin{aligned} \eta &= \frac{P_{charge}}{P_{generateur}} \times 100\% \\ \eta &\approx \frac{575.74 \, \text{W}}{587.75 \, \text{W}} \times 100\% \\ \eta &\approx 0.9795 \times 100\% \\ \eta &\approx 97.95\% \end{aligned}

Vérification des pertes : \(P_{pertes} = I^2 \times r \approx (4.8979)^2 \times 0.5 \approx 23.9892 \times 0.5 \approx 11.99 \, \text{W}\). \(P_{generateur} \approx P_{charge} + P_{pertes} \approx 575.74 + 11.99 \approx 587.73 \, \text{W}\), ce qui est cohérent.

Résultat Final

L’efficacité du générateur dans ces conditions est \(\eta \approx 98.0\%\).

Une efficacité élevée signifie qu'une grande partie de la puissance générée par la source est effectivement transmise à la charge, et qu'une faible partie est perdue sous forme de chaleur dans la résistance interne du générateur. L'efficacité maximale pour le transfert de puissance se produit lorsque \(R = r\), mais l'efficacité du générateur est alors de 50%. Pour une haute efficacité du générateur, il faut que \(R \gg r\).

Puissance dans un Système Générateur-Charge