Puissance Dissipée par Chaque Résistance

Contexte : L'effet de la Loi de JouleL'effet thermique par lequel le passage d'un courant électrique dans un conducteur produit de la chaleur..

En génie électrique, il est crucial de comprendre comment l'énergie est consommée dans un circuit. Chaque résistanceComposant électrique qui s'oppose au passage du courant (mesuré en Ohms, Ω). convertit l'énergie électrique en chaleur. Ce phénomène, décrit par la Loi de Joule, est la base du fonctionnement des appareils chauffants, mais représente aussi une perte d'énergie dans les systèmes de transmission. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la puissance dissipée par chaque résistance d'un circuit mixte simple, alimenté par une source de tension continue.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser un circuit mixte (série et parallèle), à appliquer méthodiquement la Loi d'OhmRelation fondamentale V = I x R (Tension = Courant x Résistance)., et à utiliser les différentes formules de la puissance (P=VI, P=I²R, P=V²/R) de manière appropriée pour chaque composant.

Objectifs Pédagogiques

Analyser un circuit électrique contenant des branches en série et en parallèle.
Calculer la résistance équivalente d'un circuit mixte.
Appliquer la Loi d'Ohm pour déterminer les courants et tensions en différents points.
Calculer la puissance dissipée par chaque composant individuel.
Vérifier le principe de conservation de l'énergie en comparant la puissance fournie et la puissance totale dissipée.

Données du Circuit

On considère le circuit électrique ci-dessous, alimenté par une source de tension continue \(V_s\). Le circuit est composé d'une résistance \(R_1\) en série avec un groupement parallèle de deux résistances, \(R_2\) et \(R_3\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Source	Tension Continue (DC)
Configuration	Mixte (Série-Parallèle)
Objectif de l'étude	Calcul de Puissance (Loi de Joule)

Schéma du Circuit Électrique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Source de Tension	\(V_s\)	12	V
Résistance 1	\(R_1\)	2	\(\Omega\)
Résistance 2	\(R_2\)	6	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	3	\(\Omega\)

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.
Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
Calculer la tension (\(V_{23}\)) aux bornes de la branche parallèle (commune à R2 et R3).
Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1\), \(P_2\), et \(P_3\)).
Vérifier que la puissance totale dissipée (\(P_{\text{total\_dissipée}} = P_1 + P_2 + P_3\)) est égale à la puissance fournie par la source (\(P_{\text{source}}\)).

Les bases sur les Circuits Électriques

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de trois concepts fondamentaux de l'électricité : la loi d'Ohm, les lois d'association des résistances, et les formules de la puissance électrique.

1. Loi d'Ohm
La relation la plus importante : la tension (V) aux bornes d'une résistance est égale au produit du courant (I) qui la traverse par sa résistance (R). \[ V = I \times R \] On peut aussi l'écrire : \( I = V / R \) ou \( R = V / I \).

2. Association de Résistances

En Série : Les résistances s'additionnent. \(R_{\text{série}} = R_a + R_b + ...\)
En Parallèle : L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses. \[ \frac{1}{R_{\text{parallèle}}} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b} + ... \] Pour deux résistances, la formule rapide est : \( R_{p} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b} \)

3. Puissance Électrique (Loi de Joule)
La puissance (P) dissipée en chaleur par une résistance peut se calculer de trois façons, en combinant \(P = V \times I\) et la loi d'Ohm :

Si on connaît V et I : \( P = V \times I \)
Si on connaît I et R : \( P = I^2 \times R \) (Très utile pour les circuits série)
Si on connaît V et R : \( P = V^2 / R \) (Très utile pour les circuits parallèle)

Correction : Puissance Dissipée par Chaque Résistance dans un Circuit Mixte

Question 1 : Calculer la résistance équivalente totale (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.

Principe : La Stratégie de Simplification

Pour trouver la résistance totale que "voit" la source de tension, nous devons simplifier le circuit étape par étape. On commence par la combinaison la plus "interne" (la branche parallèle R2-R3) pour la remplacer par sa résistance équivalente (\(R_{23}\)). Ensuite, on combine cette nouvelle résistance fictive avec ce qui reste (la résistance \(R_1\) en série).

Mini-Cours : Les Outils Théoriques

Nous appliquons d'abord la formule d'association en parallèle pour \(R_2\) et \(R_3\). Puis, nous utilisons la formule d'association en série pour \(R_1\) et la résistance \(R_{23}\) que nous venons de calculer.

Remarque Pédagogique : L'Approche Méthodologique

La clé est de ne pas se précipiter. Identifiez clairement ce qui est en série et ce qui est en parallèle. \(R_1\) n'est *pas* en parallèle avec \(R_2\) ou \(R_3\). Elle est en série avec *l'ensemble* du bloc parallèle.

Normes : Le Cadre Réglementaire

Ces calculs relèvent des lois fondamentales de l'électrocinétique (Lois d'Ohm et de Kirchhoff).

Formule(s) : Les Outils Mathématiques

Résistance parallèle (R2 et R3)

R_{23} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}

Résistance série (R1 et R23)

R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23}

Hypothèses : Le Cadre de l'Étude

On suppose que les fils de connexion ont une résistance nulle et que la source de tension est idéale (pas de résistance interne).

Résistance des fils = 0 \(\Omega\).
Source de tension idéale.

Donnée(s) : Les Valeurs de l'Énoncé

Les valeurs des résistances fournies dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_1\)	2	\(\Omega\)
Résistance 2	\(R_2\)	6	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	3	\(\Omega\)

Astuces : Gagner du Temps

Les valeurs 6 et 3 sont souvent choisies ensemble. \(6 \times 3 = 18\) et \(6 + 3 = 9\). Le rapport \(18/9 = 2\) est un chiffre rond. Repérez ces paires "faciles" pour accélérer vos calculs mentaux.

Schéma (Avant les calculs) : Visualiser le Problème

Le schéma initial montre \(R_1\) en série avec le bloc parallèle (R2 || R3).

Schéma de Principe de la Simplification

Calcul(s) : Application Étape par Étape

On suit les étapes de la simplification du schéma.

Étape 1 : Calcul de la branche parallèle \(R_{23}\)

On prend la formule de l'association parallèle et on y insère les valeurs de \(R_2 = 6\Omega\) et \(R_3 = 3\Omega\) de la section "Donnée(s)".

\begin{aligned} R_{23} &= \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \\ &= \frac{6 \text{ \(\Omega\)} \times 3 \text{ \(\Omega\)}}{6 \text{ \(\Omega\)} + 3 \text{ \(\Omega\)}} \\ &= \frac{18 \text{ \(\Omega\)}^2}{9 \text{ \(\Omega\)}} \\ \Rightarrow R_{23} &= 2 \text{ \(\Omega\)} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la résistance totale \(R_{\text{eq}}\)

On prend la formule de l'association série et on additionne la valeur de \(R_1 = 2\Omega\) (des "Donnée(s)") avec le résultat de l'étape 1 (\(R_{23} = 2\Omega\)).

\begin{aligned} R_{\text{eq}} &= R_1 + R_{23} \\ &= 2 \text{ \(\Omega\)} + 2 \text{ \(\Omega\)} \\ \Rightarrow R_{\text{eq}} &= 4 \text{ \(\Omega\)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs) : Confirmer la Simplification

Le calcul confirme la simplification. Le circuit entier se comporte, du point de vue de la source, comme une seule résistance de 4 \(\Omega\).

Circuit Équivalent Final

Réflexions : Interprétation du Résultat

Le fait que la branche parallèle (2 \(\Omega\)) ait la même valeur que la résistance en série (2 \(\Omega\)) est une coïncidence de cet exercice, mais cela simplifiera les calculs de tension à venir (la tension se divisera en deux parts égales).

Points de vigilance : Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus commune est d'additionner des résistances en parallèle comme si elles étaient en série (ex: 6+3=9 \(\Omega\)). Une autre erreur est de mal appliquer la formule d'inversion \(1/R_p\).

Points à retenir : La Leçon Clé

La résistance équivalente d'un groupe en parallèle est *toujours* plus petite que la plus petite des résistances du groupe. (Ici, \(R_{23} = 2 \text{ \(\Omega\)}\), ce qui est bien plus petit que \(R_3 = 3 \text{ \(\Omega\)}\)).

Le saviez-vous ? : Pour Aller Plus Loin

Cette méthode de "réduction" de circuit est une application de ce qu'on appelle le Théorème de Thévenin, qui permet de remplacer n'importe quel circuit linéaire complexe par une simple source de tension et une seule résistance.

FAQ : Questions Fréquentes

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final : La Réponse

La résistance équivalente totale du circuit est \(R_{\text{eq}} = 4 \text{ \(\Omega\)}.

A vous de jouer : Valider la Compréhension

Que deviendrait \(R_{\text{eq}}\) si \(R_3\) valait 6 \(\Omega\) au lieu de 3 \(\Omega\) ?

Mini Fiche Mémo : Synthèse

Synthèse Q1 :

Concept Clé : Réduction série-parallèle.
Formules : \(R_p = (R_a R_b)/(R_a+R_b)\) et \(R_s = R_a+R_b\).
Calcul : \(R_{23} = (6 \times 3) / (6+3) = 2 \text{ \(\Omega\)}\). Puis \(R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} = 2 + 2 = 4 \text{ \(\Omega\)}\).

Question 2 : Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.

Principe : Trouver le Courant Global

Maintenant que nous avons la résistance équivalente totale (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit, nous pouvons traiter l'ensemble du circuit comme une seule boîte noire. En appliquant la loi d'Ohm à cette "boîte", on trouve le courant total que la source doit fournir pour alimenter cette résistance totale.

Mini-Cours : La Loi d'Ohm Globale

La loi d'Ohm (\(V=IR\)) s'applique à n'importe quel niveau du circuit : à un composant unique, à une branche, ou au circuit entier. Pour le circuit entier, on utilise la tension totale (\(V_s\)) et la résistance totale (\(R_{\text{eq}}\)) pour trouver le courant total (\(I_{\text{total}}\)).

Remarque Pédagogique : Comprendre ce Courant

Ce courant \(I_{\text{total}}\) est le courant qui sort de la borne positive de la source, traverse \(R_1\), puis se divise pour passer dans \(R_2\) et \(R_3\), se recompose, et retourne à la borne négative. \(I_{\text{total}}\) est le courant qui traverse \(R_1\).

Normes : Le Cadre Réglementaire

Application directe de la Loi d'Ohm.

Formule(s) : L'Outil Mathématique

Loi d'Ohm appliquée au circuit total

I_{\text{total}} = \frac{V_s}{R_{\text{eq}}}

Hypothèses : Le Cadre de l'Étude

Les hypothèses (fils parfaits, source idéale) sont les mêmes que pour la question 1.

Donnée(s) : Les Valeurs Connues

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Source de Tension	\(V_s\)	12	V
Résistance équivalente	\(R_{\text{eq}}\)	4	\(\Omega\)

Astuces : Vérification des Unités

Vérifiez toujours les unités. Volts divisés par Ohms donnent bien des Ampères. Si vous aviez des k\(\Omega\) ou des mV, il faudrait convertir avant de calculer.

Schéma (Avant les calculs) : Le Modèle Simplifié

On utilise le schéma équivalent final de la Q1, qui montre la source \(V_s\) connectée à la résistance unique \(R_{\text{eq}}\). Le courant \(I_{\text{total}}\) sort de la source et traverse \(R_{\text{eq}}\).

Schéma pour le Courant Total

Calcul(s) : Application de la Formule

Application de la loi d'Ohm

On utilise la loi d'Ohm globale. On prend la tension source \(V_s = 12\text{V}\) (des "Donnée(s)") et on la divise par la résistance totale \(R_{\text{eq}} = 4\Omega\) (calculée à la Q1).

\begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{V_s}{R_{\text{eq}}} \\ &= \frac{12 \text{ V}}{4 \text{ \(\Omega\)}} \\ \Rightarrow I_{\text{total}} &= 3 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs) : Résultat Visualisé

Le schéma est le même que "Avant les calculs", mais avec la valeur de \(I_{\text{total}}\) déterminée.

Courant Total Calculé

Réflexions : Signification du Résultat

Un courant de 3 Ampères circule donc dans le circuit. Ce courant est le même qui traverse \(R_1\), car \(R_1\) est en série avec la source.

Points de vigilance : Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas utiliser une mauvaise résistance. Si vous aviez calculé \(I = 12\text{V} / 2\Omega\), vous auriez ignoré les résistances \(R_2\) et \(R_3\). Il faut toujours utiliser la résistance *totale* vue par la source.

Points à retenir : La Leçon Clé

La loi d'Ohm est universelle : \(I_{\text{total}} = V_{\text{total}} / R_{\text{total}}\).
Le courant total est le courant qui traverse les éléments en série avec la source.

Le saviez-vous ? : Pour Aller Plus Loin

L'Ampère (A) est une unité de base du Système International. Il est formellement défini non pas par la loi d'Ohm, mais par la force magnétique entre deux conducteurs parallèles.

FAQ : Questions Fréquentes

...

Résultat Final : La Réponse

Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} = 3 \text{ A}\).

A vous de jouer : Valider la Compréhension

Si la source fournissait 24 V (au lieu de 12 V), quel serait le courant total (en gardant \(R_{\text{eq}} = 4 \text{ \(\Omega\)}\)) ?

Mini Fiche Mémo : Synthèse

Synthèse Q2 :

Concept Clé : Loi d'Ohm globale.
Formule : \(I_{\text{total}} = V_s / R_{\text{eq}}\).
Calcul : \(I_{\text{total}} = 12 \text{ V} / 4 \text{ \(\Omega\)} = 3 \text{ A}\).

Question 3 : Calculer la tension (\(V_{23}\)) aux bornes de la branche parallèle.

Principe : Isoler la Tension du Bloc Parallèle

Nous cherchons la tension aux bornes du bloc (R2 || R3). Ce bloc, que nous avons appelé \(R_{23}\), est traversé par le courant total \(I_{\text{total}}\) (car il est en série avec \(R_1\)). Nous pouvons donc appliquer la loi d'Ohm directement à ce bloc équivalent \(R_{23}\).

Mini-Cours : La Tension en Parallèle

Une propriété des circuits parallèles est que la tension est la *même* aux bornes de chaque branche. Donc, la tension \(V_{23}\) que nous calculons est à la fois la tension aux bornes de \(R_2\) (\(V_2\)) et la tension aux bornes de \(R_3\) (\(V_3\)). On a \(V_{23} = V_2 = V_3\).

Remarque Pédagogique : La Méthode Alternative

Une autre méthode (très bonne pour vérifier) est d'utiliser un pont diviseur de tension. La tension de la source \(V_s\) se partage entre \(R_1\) et \(R_{23}\) (car elles sont en série). La tension \(V_{23}\) sera une fraction de \(V_s\).

Normes : Le Cadre Théorique

Application de la Loi d'Ohm et du principe du diviseur de tension.

Formule(s) : Les Outils de Calcul

Méthode 1 : Loi d'Ohm sur le bloc \(R_{23}\)

V_{23} = I_{\text{total}} \times R_{23}

Méthode 2 : Pont diviseur de tension

V_{23} = V_s \times \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}}

Hypothèses : Le Cadre de l'Étude

On continue avec les mêmes hypothèses de circuit idéal.

Donnée(s) : Les Valeurs Disponibles

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant Total	\(I_{\text{total}}\)	3	A
Résistance Parallèle	\(R_{23}\)	2	\(\Omega\)
Tension Source	\(V_s\)	12	V
Résistance 1	\(R_1\)	2	\(\Omega\)

Astuces : Le Raccourci Mental

Comme \(R_1 = 2 \text{ \(\Omega\)}\) et \(R_{23} = 2 \text{ \(\Omega\)}\), les deux résistances en série sont égales. La tension totale de 12 V va donc se diviser parfaitement en deux : 6 V pour \(R_1\) et 6 V pour \(R_{23}\). Le calcul devrait confirmer cela.

Schéma (Avant les calculs) : Le Pont Diviseur

On revient au schéma "intermédiaire" (Etape 2 de la Q1), montrant \(R_1\) et \(R_{23}\) en série.

Schéma du Diviseur de Tension

Calcul(s) : Application et Vérification

Calcul avec Méthode 1 (Loi d'Ohm)

On applique la loi d'Ohm au bloc parallèle \(R_{23}\). On utilise le courant total \(I_{\text{total}} = 3\text{A}\) (calculé à la Q2) et la résistance équivalente de ce bloc \(R_{23} = 2\Omega\) (calculée à la Q1).

\begin{aligned} V_{23} &= I_{\text{total}} \times R_{23} \\ &= 3 \text{ A} \times 2 \text{ \(\Omega\)} \\ \Rightarrow V_{23} &= 6 \text{ V} \end{aligned}

Vérification avec Méthode 2 (Pont diviseur)

On utilise la tension source \(V_s = 12\text{V}\) et les résistances en série \(R_1 = 2\Omega\) et \(R_{23} = 2\Omega\) pour voir quelle fraction de la tension revient au bloc \(R_{23}\).

\begin{aligned} V_{23} &= V_s \times \frac{R_{23}}{R_1 + R_{23}} \\ &= 12 \text{ V} \times \frac{2 \text{ \(\Omega\)}}{2 \text{ \(\Omega\)} + 2 \text{ \(\Omega\)}} \\ &= 12 \text{ V} \times \frac{2}{4} = 12 \text{ V} \times 0.5 \\ \Rightarrow V_{23} &= 6 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs) : Résultat Confirmé

Le schéma est le même que "Avant les calculs", mais nous avons déterminé la valeur de \(V_{23}\).

Tension Parallèle Calculée

Réflexions : Bilan des Tensions

Les deux méthodes donnent 6 V. Cela confirme que la tension aux bornes de \(R_2\) est de 6 V, et la tension aux bornes de \(R_3\) est aussi de 6 V. L'autre moitié de la tension (6 V) est aux bornes de \(R_1\) (car \(V_1 = I_{\text{total}} \times R_1 = 3 \text{ A} \times 2 \text{ \(\Omega\)} = 6 \text{ V}\)).

Points de vigilance : Les Erreurs Communes

Ne calculez pas la tension avec la résistance totale (\(12\text{V}\)) ! 12V est la tension de *tout* le circuit. La tension se "partage" entre les éléments en série (\(R_1\) et le bloc \(R_{23}\)).

Points à retenir : Les Principes Clés

La tension se divise entre les éléments en série.
La tension est la même aux bornes d'éléments en parallèle.

Le saviez-vous ? : Application Concrète

Le "pont diviseur de tension" est l'un des montages les plus utilisés en électronique, notamment pour créer une tension de référence ou adapter un signal d'un capteur à l'entrée d'un microcontrôleur.

FAQ : Questions Fréquentes

...

Résultat Final : La Réponse

La tension aux bornes de la branche parallèle (R2 et R3) est \(V_{23} = 6 \text{ V}\).

A vous de jouer : Valider la Compréhension

Avec \(V_{23} = 6 \text{ V}\), quel est le courant \(I_2\) qui traverse \(R_2 = 6 \text{ \(\Omega\)}\) ? (Indice: \(I = V/R\))

Mini Fiche Mémo : Synthèse

Synthèse Q3 :

Concept Clé : Diviseur de tension / Loi d'Ohm sur un bloc.
Propriété : Tension identique aux bornes des branches parallèles.
Calcul : \(V_{23} = I_{\text{total}} \times R_{23} = 3 \text{ A} \times 2 \text{ \(\Omega\)} = 6 \text{ V}\).

Question 4 : Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1\), \(P_2\), et \(P_3\)).

Principe : Calculer la Dissipation Individuelle

C'est le cœur de l'exercice. Maintenant que nous connaissons les courants et les tensions pour *chaque* composant, nous pouvons appliquer l'une des trois formules de puissance (P=VI, P=I²R, P=V²/R) à chaque résistance individuellement.

Mini-Cours : Choisir la Bonne Formule de Puissance

Le choix de la formule est stratégique :

Pour \(R_1\) : Nous connaissons \(I_{\text{total}} = 3 \text{ A}\) qui la traverse et \(R_1 = 2 \text{ \(\Omega\)}\). La formule \(P_1 = I_{\text{total}}^2 \times R_1\) est la plus directe.
Pour \(R_2\) et \(R_3\) : Elles sont en parallèle. Nous connaissons la tension commune à leurs bornes, \(V_{23} = 6 \text{ V}\), et leurs résistances (\(R_2=6\Omega\), \(R_3=3\Omega\)). La formule \(P = V^2 / R\) est la plus simple.

Remarque Pédagogique : La Double Vérification

Nous *pourrions* trouver les courants \(I_2\) et \(I_3\) d'abord, puis utiliser \(P = I^2 R\). \(I_2 = V_{23} / R_2 = 6\text{V} / 6\Omega = 1 \text{ A}\). \(I_3 = V_{23} / R_3 = 6\text{V} / 3\Omega = 2 \text{ A}\). (Notez que \(I_2 + I_3 = 1\text{A} + 2\text{A} = 3 \text{ A} = I_{\text{total}}\). C'est correct !) Calculons \(P_2 = I_2^2 R_2 = (1\text{A})^2 \times 6\Omega = 6 \text{ W}\). Calculons \(P_3 = I_3^2 R_3 = (2\text{A})^2 \times 3\Omega = 4 \times 3 = 12 \text{ W}\). Les résultats sont identiques. Cela montre que les formules sont équivalentes.

Normes : Le Cadre Théorique

Application de la Loi de Joule pour la puissance électrique.

Formule(s) : Les 3 Outils de Puissance

Puissance pour R1

P_1 = I_{\text{total}}^2 \times R_1

Puissance pour R2

P_2 = \frac{V_{23}^2}{R_2}

Puissance pour R3

P_3 = \frac{V_{23}^2}{R_3}

Hypothèses : Le Cadre de l'Étude

Les résistances sont "pures" et toute l'énergie électrique est convertie en chaleur (pas d'effets inductifs ou capacitifs).

Donnée(s) : Les Valeurs Nécessaires

Toutes les valeurs calculées précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant Total	\(I_{\text{total}}\)	3	A
Tension Parallèle	\(V_{23}\)	6	V
Résistance 1	\(R_1\)	2	\(\Omega\)
Résistance 2	\(R_2\)	6	\(\Omega\)
Résistance 3	\(R_3\)	3	\(\Omega\)

Astuces : La Voie la Plus Rapide

Choisir la bonne formule évite des calculs intermédiaires. Pour \(R_1\), on connaît \(I\) et \(R\), on utilise \(P=I^2R\). Pour \(R_2\) et \(R_3\), on connaît \(V\) et \(R\), on utilise \(P=V^2/R\). C'est plus rapide.

Schéma (Avant les calculs) : Préparer les Calculs

On reprend le schéma original, en annotant les valeurs connues : \(I_1 = I_{\text{total}} = 3\text{A}\) et \(V_{23} = 6\text{V}\).

Schéma Annoté pour Calcul de Puissance

Calcul(s) : Application Composant par Composant

Calcul de \(P_1\)

On utilise la formule \(P=I^2R\). On prend le courant qui traverse \(R_1\), qui est le courant total \(I_{\text{total}} = 3\text{A}\) (de la Q2), et la valeur de \(R_1 = 2\Omega\).

\begin{aligned} P_1 &= I_{\text{total}}^2 \times R_1 \\ &= (3 \text{ A})^2 \times 2 \text{ \(\Omega\)} \\ &= 9 \times 2 \\ \Rightarrow P_1 &= 18 \text{ W} \end{aligned}

Calcul de \(P_2\)

On utilise la formule \(P=V^2/R\). On prend la tension aux bornes de \(R_2\), qui est \(V_{23} = 6\text{V}\) (de la Q3), et la valeur de \(R_2 = 6\Omega\).

\begin{aligned} P_2 &= \frac{V_{23}^2}{R_2} \\ &= \frac{(6 \text{ V})^2}{6 \text{ \(\Omega\)}} \\ &= \frac{36}{6} \\ \Rightarrow P_2 &= 6 \text{ W} \end{aligned}

Calcul de \(P_3\)

On utilise la même formule \(P=V^2/R\). On prend la tension aux bornes de \(R_3\), qui est aussi \(V_{23} = 6\text{V}\) (de la Q3), et la valeur de \(R_3 = 3\Omega\).

\begin{aligned} P_3 &= \frac{V_{23}^2}{R_3} \\ &= \frac{(6 \text{ V})^2}{3 \text{ \(\Omega\)}} \\ &= \frac{36}{3} \\ \Rightarrow P_3 &= 12 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs) : Visualiser les Puissances

On remplace les interrogations du schéma précédent par les valeurs calculées.

Schéma des Puissances Dissipées

Réflexions : Analyser les Résultats

On remarque que \(R_3\) (3 \(\Omega\)) dissipe plus de puissance que \(R_2\) (6 \(\Omega\)). C'est normal : en parallèle, la tension est la même, donc la puissance \(P = V^2/R\) est *inversement* proportionnelle à la résistance. La plus petite résistance "prend" le plus de puissance. \(R_1\) dissipe le plus de puissance (18 W).

Points de vigilance : L'Erreur Fatale

L'erreur fatale est de mélanger les courants et les tensions. N'utilisez *jamais* le courant total \(I_{\text{total}}\) pour calculer la puissance de \(R_2\) ou \(R_3\). De même, n'utilisez jamais la tension totale \(V_s\) pour calculer la puissance d'une seule résistance (sauf si elle est la seule dans le circuit).

Points à retenir : La Règle d'Or

La puissance se calcule pour *un seul* composant à la fois.
Utilisez les valeurs (V, I, R) qui s'appliquent *uniquement* à ce composant.

Le saviez-vous ? : Application Concrète

Les résistances physiques ont une puissance nominale (ex: "1/4 W", "1 W"). Si la puissance calculée (comme nos 18W pour R1) dépasse cette valeur, la résistance surchauffe, fume et grille ! C'est pour cela que ce calcul est essentiel en conception.

FAQ : Questions Fréquentes

...

Résultat Final : Les Réponses

Les puissances dissipées sont : \(P_1 = 18 \text{ W}\), \(P_2 = 6 \text{ W}\), et \(P_3 = 12 \text{ W}\).

A vous de jouer : Valider la Compréhension

Quelle est la puissance totale dissipée par le circuit (\(P_1 + P_2 + P_3\)) ?

Mini Fiche Mémo : Synthèse

Synthèse Q4 :

Concept Clé : Formules de la puissance de Joule.
Stratégie : Utiliser \(P = I^2 R\) pour les éléments série et \(P = V^2 / R\) pour les éléments parallèles.
Résultats : \(P_1 = 18 \text{ W}\), \(P_2 = 6 \text{ W}\), \(P_3 = 12 \text{ W}\).

Question 5 : Vérifier que la puissance totale dissipée est égale à la puissance fournie par la source.

Principe : La Vérification par la Conservation

C'est le principe de la conservation de l'énergiePrincipe physique selon lequel l'énergie totale d'un système isolé reste constante. L'énergie ne peut être ni créée ni détruite, seulement transformée.. Dans un circuit, toute la puissance générée par la source (\(P_{\text{source}}\)) doit être consommée (dissipée) par les composants (les résistances). Si \(P_{\text{source}} = P_{\text{dissipée}}\), nos calculs sont très probablement corrects.

Mini-Cours : Bilan de Puissance (Source vs Dissipation)

Il y a deux façons de calculer la puissance totale :

Côté Source : On regarde ce que la source fournit au circuit *entier*. On utilise la tension totale (\(V_s\)) et le courant total (\(I_{\text{total}}\)).
Côté Dissipation : On additionne la puissance dissipée par *chaque* composant que nous avons calculée à la Q4.

Ces deux calculs doivent donner le même résultat.

Remarque Pédagogique : L'Importance de la Vérification

C'est la meilleure vérification possible pour un exercice de circuit. Si les deux valeurs correspondent, vous pouvez être quasi-certain que votre \(R_{\text{eq}}\), votre \(I_{\text{total}}\), vos tensions et vos puissances individuelles sont toutes correctes. Si ça ne correspond pas, vous avez une erreur quelque part !

Normes : Le Principe Fondamental

Application du Principe de Conservation de l'Énergie (Premier principe de la thermodynamique) au domaine électrique.

Formule(s) : Les Deux Côtés de l'Équation

Puissance fournie par la source

P_{\text{source}} = V_s \times I_{\text{total}}

Puissance totale dissipée

P_{\text{total\_dissipée}} = P_1 + P_2 + P_3

Hypothèses : Le Système Idéal

On suppose un système "parfait" (idéal) où toute la puissance fournie est dissipée par les résistances listées (pas de pertes dans les fils, etc.).

Donnée(s) : Bilan des Calculs

Les résultats finaux de toutes les questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Source de Tension	\(V_s\)	12	V
Courant Total	\(I_{\text{total}}\)	3	A
Puissance 1	\(P_1\)	18	W
Puissance 2	\(P_2\)	6	W
Puissance 3	\(P_3\)	12	W

Astuces : Les Autres Méthodes de Vérification

On peut aussi calculer la puissance totale dissipée en utilisant la résistance totale : \(P_{\text{total}} = I_{\text{total}}^2 \times R_{\text{eq}} = (3\text{A})^2 \times 4\Omega = 9 \times 4 = 36 \text{ W}\). Ou encore \(P_{\text{total}} = V_s^2 / R_{\text{eq}} = (12\text{V})^2 / 4\Omega = 144 / 4 = 36 \text{ W}\). Toutes les méthodes doivent converger !

Schéma (Avant les calculs) : Le Bilan des Flux d'Énergie

On peut imaginer la source d'un côté et la "boîte noire" \(R_{\text{eq}}\) de l'autre, ou simplement lister les valeurs à additionner.

Bilan de Puissance

Calcul(s) : La Confrontation des Résultats

Étape 1 : Calcul de la puissance fournie (Source)

On calcule la puissance totale à la source. On utilise la tension source \(V_s = 12\text{V}\) et le courant total \(I_{\text{total}} = 3\text{A}\) (de la Q2).

\begin{aligned} P_{\text{source}} &= V_s \times I_{\text{total}} \\ &= 12 \text{ V} \times 3 \text{ A} \\ \Rightarrow P_{\text{source}} &= 36 \text{ W} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la puissance dissipée (Composants)

On additionne les trois puissances individuelles que nous avons calculées à la Question 4.

\begin{aligned} P_{\text{total\_dissipée}} &= P_1 + P_2 + P_3 \\ &= 18 \text{ W} + 6 \text{ W} + 12 \text{ W} \\ \Rightarrow P_{\text{total\_dissipée}} &= 36 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs) : Le Bilan Équilibré

Le bilan est équilibré : 36W entrent, 36W sortent (sous forme de chaleur).

Bilan de Puissance Confirmé

Réflexions : Conclusion de l'Exercice

Nous trouvons \(P_{\text{source}} = 36 \text{ W}\) et \(P_{\text{total\_dissipée}} = 36 \text{ W}\). L'égalité est parfaite. Cela signifie que 36 Joules d'énergie sont fournis par la batterie chaque seconde, et ces 36 Joules sont convertis en chaleur par les trois résistances chaque seconde. L'énergie est conservée.

Points de vigilance : Que Faire si ça ne Tombe pas Juste ?

Si vous trouvez une différence (ex: 36 W d'un côté et 34 W de l'autre), cela signifie qu'il y a une erreur d'arrondi ou, plus probablement, une erreur de calcul dans l'une des étapes précédentes (un mauvais courant, une mauvaise tension).

Points à retenir : La Leçon Finale

La puissance fournie par la source (\(P = V_s \times I_{\text{total}}\)) doit toujours être égale à la somme des puissances dissipées par chaque résistance.
C'est la vérification ultime de vos calculs.

Le saviez-vous ? : Application à Grande Échelle

Cette puissance dissipée est ce qui fait chauffer votre téléphone, votre ordinateur ou votre grille-pain. Gérer cette "chaleur fatale" est l'un des plus grands défis de l'ingénierie moderne (pensez aux énormes ventilateurs dans les data centers !).

FAQ : Questions Fréquentes

...

Résultat Final : La Conclusion

\(P_{\text{source}} = 36 \text{ W}\) et \(P_{\text{total\_dissipée}} = 36 \text{ W}\). La conservation de l'énergie est vérifiée.

A vous de jouer : Valider la Compréhension

En utilisant l'astuce, calculez la puissance totale avec la formule \(P_{\text{total}} = V_s^2 / R_{\text{eq}}\). Obtenez-vous le même résultat ?

Mini Fiche Mémo : Synthèse

Synthèse Q5 :

Concept Clé : Conservation de l'énergie (Puissance).
Formules : \(P_{\text{source}} = V_s I_{\text{total}}\) et \(P_{\text{dissipée}} = \Sigma P_i\).
Vérification : \(P_{\text{source}} = 12\text{V} \times 3\text{A} = 36 \text{ W}\). \(P_{\text{dissipée}} = 18+6+12 = 36 \text{ W}\). C'est égal.

Outil Interactif : Simulateur de Puissance

Utilisez les curseurs pour voir comment la tension (V) et la résistance (R) influencent le courant (I) et la puissance dissipée (P) pour un seul composant. Le graphique montre l'évolution de la puissance en fonction de la tension (la courbe est quadratique !).

Paramètres d'Entrée

Tension (V) 12 V

Résistance (R) 10 \(\Omega\)

Résultats Clés

Courant (I = V/R) -

Puissance (P = V²/R) -

Glossaire

Courant (I): Le flux de charge électrique à travers un conducteur. Mesuré en Ampères (A).
Loi de Joule: Le principe selon lequel l'énergie dissipée par une résistance sous forme de chaleur est proportionnelle au carré du courant qui la traverse et à sa résistance (\(P = I^2 R\)).
Puissance (P): La quantité d'énergie transférée ou convertie par unité de temps. Mesurée en Watts (W), où 1 Watt = 1 Joule par seconde.
Résistance (R): La mesure de l'opposition d'un composant au passage du courant électrique. Mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Tension (V): La différence de potentiel électrique entre deux points, qui "pousse" le courant à circuler. Mesurée en Volts (V).