Puissance Instantanée dans un Circuit RL

Dans un circuit en courant alternatif, la puissance instantanée \(p(t)\) fournie par la source ou consommée par un dipôle est le produit de la tension instantanée \(u(t)\) à ses bornes et du courant instantané \(i(t)\) qui le traverse :

p(t) = u(t) \cdot i(t)

Si la tension est \(u(t) = U_{max} \sin(\omega t)\) et le courant est \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t - \varphi)\), où \(\varphi\) est le déphasage du courant par rapport à la tension, alors la puissance instantanée peut s'écrire :

p(t) = \frac{U_{max}I_{max}}{2} [\cos(\varphi) - \cos(2\omega t - \varphi)]

En utilisant les valeurs efficaces \(U = U_{max}/\sqrt{2}\) et \(I = I_{max}/\sqrt{2}\), cela devient :

p(t) = UI\cos\varphi - UI\cos(2\omega t - \varphi)

Le premier terme, \(P = UI\cos\varphi\), est la puissance active (ou moyenne), qui représente la puissance réellement consommée par le circuit. Le second terme est une composante fluctuante de pulsation double de celle du signal.

Dans un circuit RL série :

La résistance \(R\) dissipe de la puissance active : \(p_R(t) = R \cdot i^2(t)\).
L'inductance \(L\) stocke et restitue de l'énergie magnétique : \(p_L(t) = L \cdot i(t) \cdot \frac{di(t)}{dt}\). La puissance moyenne consommée par une inductance pure sur une période est nulle.

Données du Problème

Un circuit RL série est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale \(u_s(t)\) telle que sa valeur efficace est \(U_S = 100 \text{ V}\) et sa fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).

Tension efficace de la source : \(U_S = 100 \text{ V}\)
Fréquence : \(f = 50 \text{ Hz}\)
Résistance : \(R = 8 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 19.1 \text{ mH}\)

On prendra la phase de la tension source comme référence : \(u_s(t) = U_S\sqrt{2} \sin(\omega t)\).

Questions

Convertir l'inductance \(L\) en Henrys (H) et calculer la pulsation \(\omega\).
Calculer la réactance inductive \(X_L\).
Calculer le module de l'impédance totale \(Z\) du circuit et l'angle de déphasage \(\varphi\) du courant par rapport à la tension.
Déterminer l'amplitude maximale du courant \(I_{max}\).
Écrire l'expression du courant instantané \(i(t)\).
Écrire l'expression de la puissance instantanée totale \(p(t)\) fournie par la source.
Calculer la puissance active \(P\) et la puissance réactive \(Q_L\) du circuit.
Calculer la valeur de la puissance instantanée \(p(t)\) à l'instant \(t = T/8\), où \(T\) est la période du signal.
Calculer la puissance instantanée dissipée par la résistance \(p_R(t)\) et la puissance instantanée absorbée/restituée par l'inductance \(p_L(t)\) à ce même instant \(t = T/8\). Vérifier que \(p(T/8) = p_R(T/8) + p_L(T/8)\).

Correction : Puissance Instantanée dans un Circuit RL

1. Conversion de \(L\) et Calcul de \(\omega\)

\(1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}\). La pulsation \(\omega = 2\pi f\).

Données :
\(L = 19.1 \text{ mH}\)
\(f = 50 \text{ Hz}\)

L = 19.1 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.0191 \text{ H}

\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \text{ Hz} = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}

\(L = 0.0191 \text{ H}\).
\(\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))

On utilise la formule \(X_L = L\omega\).

Données :
\(L = 0.0191 \text{ H}\)
\(\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}\)

\begin{aligned} X_L &= L\omega \\ &= 0.0191 \text{ H} \times 100\pi \text{ rad/s} \\ &= 1.91\pi \, \Omega \\ &\approx 6.0004 \, \Omega \approx 6.00 \, \Omega \end{aligned}

Nous utiliserons \(X_L = 6.00 \, \Omega\) pour les calculs suivants.

La réactance inductive est \(X_L \approx 6.00 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire : Réactance

3. Calcul de l'Impédance \(Z\) et du Déphasage \(\varphi\)

Module : \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\). Déphasage : \(\tan\varphi = X_L/R\).

Données :
\(R = 8 \, \Omega\)
\(X_L = 6 \, \Omega\)

Module de l'impédance :

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{(8 \, \Omega)^2 + (6 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{64 + 36} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \, \Omega \end{aligned}

Angle de déphasage \(\varphi\) :

\tan\varphi = \frac{X_L}{R} = \frac{6 \, \Omega}{8 \, \Omega} = 0.75 \] \[ \varphi = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ \approx 0.6435 \text{ rad}

Le courant est en retard sur la tension car le circuit est inductif.

L'impédance est \(Z = 10 \, \Omega\) et le déphasage \(\varphi \approx 36.87^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Impédance et Déphasage

4. Amplitude Maximale du Courant (\(I_{max}\))

L'amplitude maximale du courant \(I_{max} = U_{S,max} / Z\). On a \(U_{S,max} = U_S \sqrt{2}\).

Données :
\(U_S = 100 \text{ V}\)
\(Z = 10 \, \Omega\)

U_{S,max} = 100\sqrt{2} \text{ V} \approx 141.42 \text{ V} \] \[ I_{max} = \frac{U_{S,max}}{Z} = \frac{100\sqrt{2} \text{ V}}{10 \, \Omega} = 10\sqrt{2} \text{ A} \approx 14.14 \text{ A}

L'amplitude maximale du courant est \(I_{max} = 10\sqrt{2} \text{ A} \approx 14.14 \text{ A}\).

5. Expression du Courant Instantané (\(i(t)\))

Puisque \(u_s(t) = U_{S,max} \sin(\omega t)\), alors \(i(t) = I_{max} \sin(\omega t - \varphi)\).

Données :
\(I_{max} \approx 14.14 \text{ A}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(\varphi \approx 0.6435 \text{ rad}\)

i(t) \approx 14.14 \sin(100\pi t - 0.6435) \text{ A}

\(i(t) \approx 14.14 \sin(100\pi t - 0.6435) \text{ A}\).

6. Expression de la Puissance Instantanée Totale (\(p(t)\))

On utilise \(p(t) = u_s(t) \cdot i(t)\) ou \(p(t) = UI\cos\varphi - UI\cos(2\omega t - \varphi)\). \(U = 100 \text{ V}\), \(I = I_{max}/\sqrt{2} = 10\sqrt{2}/\sqrt{2} = 10 \text{ A}\). \(\cos\varphi = R/Z = 8/10 = 0.8\).

\begin{aligned} p(t) &= (100\sqrt{2} \sin(100\pi t)) \cdot (10\sqrt{2} \sin(100\pi t - 0.6435)) \\ &= 2000 \sin(100\pi t) \sin(100\pi t - 0.6435) \\ \text{Ou en utilisant } P = UI\cos\varphi &= 100 \text{ V} \cdot 10 \text{ A} \cdot 0.8 = 800 \text{ W} \\ p(t) &= 800 - 100 \text{ V} \cdot 10 \text{ A} \cdot \cos(2 \cdot 100\pi t - 0.6435) \\ p(t) &= 800 - 1000 \cos(200\pi t - 0.6435) \text{ W} \end{aligned}

\(p(t) = 800 - 1000 \cos(200\pi t - 0.6435) \text{ W}\).

7. Calcul de la Puissance Active (\(P\)) et Réactive (\(Q_L\))

\(P = UI\cos\varphi\) et \(Q_L = UI\sin\varphi\). On a \(\cos\varphi = 0.8\), donc \(\sin\varphi = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6\).

Données :
\(U = 100 \text{ V}\)
\(I = 10 \text{ A}\)
\(\cos\varphi = 0.8\), \(\sin\varphi = 0.6\)

Puissance active \(P\):

P = 100 \text{ V} \cdot 10 \text{ A} \cdot 0.8 = 800 \text{ W}

Puissance réactive \(Q_L\):

Q_L = 100 \text{ V} \cdot 10 \text{ A} \cdot 0.6 = 600 \text{ VAR}

Puissance active : \(P = 800 \text{ W}\).
Puissance réactive : \(Q_L = 600 \text{ VAR}\).

Quiz Intermédiaire : Puissances

8. Calcul de \(p(t)\) à \(t = T/8\)

La période \(T = 1/f = 1/50 = 0.02 \text{ s}\). Donc \(t = T/8 = 0.02/8 = 0.0025 \text{ s}\). \(\omega t = 100\pi \cdot 0.0025 = 0.25\pi = \pi/4\) radians (\(45^\circ\)). \(2\omega t - \varphi = 2(\pi/4) - 0.6435 = \pi/2 - 0.6435 \approx 1.5708 - 0.6435 = 0.9273 \text{ rad}\).

\begin{aligned} p(T/8) &= 800 - 1000 \cos(0.9273) \\ &\approx 800 - 1000 \cdot 0.600 \\ &= 800 - 600 \\ &= 200 \text{ W} \end{aligned}

Alternativement, \(\cos(2\omega t - \varphi) = \cos(\pi/2 - \varphi) = \sin(\varphi) = 0.6\).

À \(t = T/8\), la puissance instantanée totale est \(p(T/8) = 200 \text{ W}\).

9. Calcul de \(p_R(T/8)\) et \(p_L(T/8)\)

\(i(t) = I_{max} \sin(\omega t - \varphi)\). À \(t=T/8\), \(\omega t = \pi/4\).
\(i(T/8) = 10\sqrt{2} \sin(\pi/4 - \varphi) = 10\sqrt{2} (\sin(\pi/4)\cos\varphi - \cos(\pi/4)\sin\varphi)\)
\(= 10\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0.8 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0.6) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (0.8 - 0.6) = 10 \cdot (0.2) = 2 \text{ A}\).
\(p_R(t) = R i^2(t)\).
\(p_L(t) = L i(t) \frac{di(t)}{dt}\). \(\frac{di(t)}{dt} = I_{max}\omega \cos(\omega t - \varphi)\).
\(\cos(\omega t - \varphi) = \cos(\pi/4 - \varphi) = \cos(\pi/4)\cos\varphi + \sin(\pi/4)\sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}(0.8+0.6) = \frac{\sqrt{2}}{2}(1.4)\).
\(\frac{di}{dt}(T/8) = 10\sqrt{2} \cdot 100\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1.4) = 1000\pi \cdot 1.4 = 1400\pi \approx 4398.2 \text{ A/s}\).

\(p_R(T/8)\) :

p_R(T/8) = R [i(T/8)]^2 = 8 \, \Omega \cdot (2 \text{ A})^2 = 8 \cdot 4 = 32 \text{ W}

\(p_L(T/8)\) :

\begin{aligned} p_L(T/8) &= L \cdot i(T/8) \cdot \frac{di}{dt}(T/8) \\ &= 0.0191 \text{ H} \cdot 2 \text{ A} \cdot (1400\pi \text{ A/s}) \\ &\approx 0.0191 \cdot 2 \cdot 4398.2 \\ &\approx 168.01 \text{ W} \end{aligned}

Vérification :

p_R(T/8) + p_L(T/8) = 32 \text{ W} + 168 \text{ W} = 200 \text{ W}

Ceci correspond bien à la valeur de \(p(T/8)\) trouvée à la question 8.

\(p_R(T/8) = 32 \text{ W}\).
\(p_L(T/8) \approx 168 \text{ W}\).
La somme \(p_R(T/8) + p_L(T/8) = 200 \text{ W}\), ce qui est cohérent.

Glossaire des Termes Clés

Puissance Instantanée (\(p(t)\)) :

Produit de la tension instantanée et du courant instantané à un instant \(t\). Unité : Watt (W).

Puissance Active (\(P\)) :

Valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période. C'est la puissance réellement transférée et consommée par la charge (dissipée sous forme de chaleur ou transformée en travail). Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q\)) :

Partie de la puissance qui oscille entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit, nécessaire à l'établissement des champs magnétiques et électriques. Sa valeur moyenne sur une période est nulle. Unité : Voltampère réactif (VAR).

Puissance Apparente (\(S\)) :

Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = UI\)). Elle représente la puissance totale que la source doit être capable de fournir. Unité : Voltampère (VA).

Facteur de Puissance (\(\cos\varphi\)) :

Cosinus de l'angle de déphasage \(\varphi\) entre la tension et le courant. C'est le rapport \(P/S\).

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant résistance et réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Déphasage (\(\varphi\)) :

Différence de phase entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, typiquement entre la tension et le courant.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'allure de la puissance instantanée \(p(t)\) change-t-elle si le circuit est purement résistif (\(L=0\)) ? Et s'il est purement inductif (\(R=0\)) ?

2. Expliquez physiquement pourquoi la puissance moyenne consommée par une inductance idéale sur une période est nulle.

3. Quel est l'intérêt de connaître la puissance apparente \(S\) pour le dimensionnement d'une installation électrique (transformateurs, câbles) ?

4. Comment peut-on améliorer le facteur de puissance d'un circuit RL (le rapprocher de 1) et pourquoi cela est-il souvent souhaitable ?

5. Si la source de tension était \(u_s(t) = U_0 + U_{max} \sin(\omega t)\) (une composante continue superposée à une alternative), comment cela affecterait-il le calcul de la puissance active totale ?

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