Réponse Temporelle d'un Circuit RC

Les circuits RC (Résistance-Condensateur) sont fondamentaux dans de nombreux systèmes électroniques et de contrôle. Ils sont utilisés pour réaliser des filtrages, des temporisations, ou encore pour modeler la réponse de systèmes. L'étude de leur réponse temporelle, c'est-à-dire comment la tension et le courant évoluent au cours du temps suite à une excitation (comme la fermeture d'un interrupteur), est cruciale pour comprendre et concevoir ces systèmes.

Données du Problème

On considère un circuit RC série alimenté par une source de tension continue \(E\). À l'instant \(t=0\), on ferme l'interrupteur K.

Force électromotrice (f.e.m.) du générateur : \(E = 10 \, \text{V}\)
Valeur de la résistance : \(R = 100 \, \text{k}\Omega = 100 \times 10^3 \, \Omega\)
Capacité du condensateur : \(C = 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Condition initiale : Le condensateur est initialement déchargé, soit \(v_C(0) = 0 \, \text{V}\).

Circuit RC série avec interrupteur.

Questions

Établir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la tension \(v_C(t)\) aux bornes du condensateur pendant sa phase de charge.
Calculer la constante de temps \(\tau\) de ce circuit. Quelle est sa signification physique ?
Donner l'expression générale de la solution \(v_C(t)\) de cette équation différentielle, en tenant compte de la condition initiale \(v_C(0)=0\).
Calculer la valeur de la tension \(v_C(t)\) à l'instant \(t = \tau\). Quel pourcentage de la tension finale \(E\) cela représente-t-il ?
Après combien de temps (approximativement, en multiple de \(\tau\)) peut-on considérer que le condensateur est pratiquement chargé à sa tension maximale (par exemple, à 99% de \(E\)) ?
Déterminer l'expression de l'intensité du courant \(i(t)\) circulant dans le circuit pendant la charge. Quelles sont les valeurs de \(i(t)\) à \(t=0^+\) (juste après la fermeture de l'interrupteur) et lorsque \(t \rightarrow \infty\) (régime permanent établi) ?

Correction : Réponse Temporelle d’un Circuit RC

1. Équation différentielle de \(v_C(t)\)

Pour établir l'équation différentielle, on applique la loi des mailles au circuit. La somme des tensions aux bornes des différents éléments de la maille est égale à la tension du générateur (ici, \(E\)) lorsque l'interrupteur est fermé.

Application de la loi des mailles

D'après la loi des mailles, pour \(t \ge 0\), on a :

\[ E = v_R(t) + v_C(t) \]

Avec \(v_R(t)\) la tension aux bornes de la résistance et \(v_C(t)\) la tension aux bornes du condensateur.

Relations caractéristiques

La tension aux bornes de la résistance est donnée par la loi d'Ohm :

v_R(t) = R \cdot i(t)

Le courant \(i(t)\) traversant le condensateur est lié à la variation de la tension à ses bornes par :

i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}

Substitution et obtention de l'équation

En substituant \(i(t)\) dans l'expression de \(v_R(t)\), puis \(v_R(t)\) dans la loi des mailles :

E = R \left( C \frac{dv_C(t)}{dt} \right) + v_C(t) \] \[ E = RC \frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t)

Résultat

L'équation différentielle régissant \(v_C(t)\) est : \(RC \frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = E\).

2. Constante de temps \(\tau\)

La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC caractérise la rapidité de la charge (ou de la décharge) du condensateur. Elle est définie par le produit de la résistance \(R\) et de la capacité \(C\).

Calcul

\tau = R \times C \] \[ \tau = (100 \times 10^3 \, \Omega) \times (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) \] \[ \tau = 1000 \times 10^{-3} \, \text{s} = 1 \, \text{s}

Signification physique

La constante de temps \(\tau\) représente le temps au bout duquel la tension aux bornes du condensateur atteint environ 63.2% de sa valeur finale \(E\) lors de la charge (si initialement déchargé). De même, lors de la décharge, c'est le temps au bout duquel la tension descend à environ 36.8% de sa valeur initiale. Elle donne une indication sur la "lenteur" ou la "rapidité" de la réponse du circuit.

Résultat

La constante de temps du circuit est \(\tau = 1 \, \text{s}\).

Quiz Intermédiaire

3. Expression de la tension \(v_C(t)\)

L'équation différentielle \(RC \frac{dv_C(t)}{dt} + v_C(t) = E\) est une équation du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant. Sa solution générale est la somme de la solution de l'équation homogène (sans second membre) et d'une solution particulière.

Résolution

La solution générale est de la forme : \(v_C(t) = A e^{-t/\tau} + B\).

La solution particulière (régime permanent, \(t \rightarrow \infty\)) est \(v_C(\infty) = E\), donc \(B=E\).

L'équation devient : \(v_C(t) = A e^{-t/\tau} + E\).

On utilise la condition initiale \(v_C(0) = 0\) pour déterminer la constante \(A\) :

v_C(0) = A e^{-0/\tau} + E = A \cdot 1 + E = 0 \] \[ A + E = 0 \Rightarrow A = -E

Ainsi, l'expression de \(v_C(t)\) est :

v_C(t) = -E e^{-t/\tau} + E = E (1 - e^{-t/\tau})

Résultat

La tension aux bornes du condensateur pendant la charge est \(v_C(t) = E (1 - e^{-t/\tau})\), avec \(E=10\,\text{V}\) et \(\tau=1\,\text{s}\) : \(v_C(t) = 10 (1 - e^{-t})\) Volts.

Quiz Intermédiaire

4. Tension \(v_C(t)\) à \(t = \tau\)

On utilise l'expression de \(v_C(t)\) trouvée précédemment et on remplace \(t\) par \(\tau\).

Calcul

v_C(\tau) = E (1 - e^{-\tau/\tau}) = E (1 - e^{-1})

Sachant que \(e^{-1} \approx 0,368\) :

v_C(\tau) = E (1 - 0,368) = 0,632 E

Avec \(E = 10 \, \text{V}\) :

v_C(\tau) = 0,632 \times 10 \, \text{V} = 6,32 \, \text{V}

Cela représente 63,2% de la tension finale \(E\).

Résultat

À \(t = \tau = 1 \, \text{s}\), la tension aux bornes du condensateur est \(v_C(\tau) = 6,32 \, \text{V}\), soit 63,2% de \(E\).

Quiz Intermédiaire

5. Temps de charge pratique (à 99% de \(E\))

On cherche l'instant \(t\) pour lequel \(v_C(t) = 0,99 E\).

Calcul

E (1 - e^{-t/\tau}) = 0,99 E \] \[ 1 - e^{-t/\tau} = 0,99 \] \[ e^{-t/\tau} = 1 - 0,99 = 0,01

En prenant le logarithme népérien des deux côtés :

\ln(e^{-t/\tau}) = \ln(0,01) \] \[ -\frac{t}{\tau} = \ln(0,01) \] \[ t = -\tau \ln(0,01) = \tau \ln\left(\frac{1}{0,01}\right) = \tau \ln(100)

Sachant que \(\ln(100) \approx 4,605\) :

t \approx 4,605 \tau

En pratique, on considère souvent que le condensateur est complètement chargé (à plus de 99,3%) après un temps égal à \(5\tau\).

Pour \(t=5\tau\): \(v_C(5\tau) = E(1-e^{-5}) \approx E(1-0.0067) \approx 0.9933 E\).

Résultat

Le condensateur est chargé à 99% de \(E\) après environ \(4,6\tau\). On considère qu'il est pratiquement chargé après \(5\tau\) (soit \(5 \times 1 \, \text{s} = 5 \, \text{s}\) dans ce cas).

6. Intensité du courant \(i(t)\)

L'intensité \(i(t)\) est obtenue en utilisant la relation \(i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}\).

Dérivation de \(v_C(t)\)

i(t) = C \frac{d}{dt} \left[ E (1 - e^{-t/\tau}) \right] \] \[ i(t) = C \left[ 0 - E \left(-\frac{1}{\tau}\right) e^{-t/\tau} \right] \] \[ i(t) = C \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}

Puisque \(\tau = RC\), on a \(\frac{C}{\tau} = \frac{C}{RC} = \frac{1}{R}\). Donc :

i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}

Valeur à \(t=0^+\)

i(0^+) = \frac{E}{R} e^{-0/\tau} = \frac{E}{R} \cdot 1 = \frac{E}{R} \] \[ i(0^+) = \frac{10 \, \text{V}}{100 \times 10^3 \, \Omega} = \frac{10}{10^5} \, \text{A} = 10^{-4} \, \text{A} = 0,1 \, \text{mA}

Valeur pour \(t \rightarrow \infty\)

\lim_{t\to\infty} i(t) = \lim_{t\to\infty} \left( \frac{E}{R} e^{-t/\tau} \right) = \frac{E}{R} \times 0 = 0 \, \text{A}

Lorsque le condensateur est complètement chargé, il se comporte comme un interrupteur ouvert et le courant ne circule plus en régime permanent continu.

Résultats

L'expression de l'intensité du courant est \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\).

À \(t=0^+\), \(i(0^+) = \frac{E}{R} = 0,1 \, \text{mA}\).
Lorsque \(t \rightarrow \infty\), \(i(t) \rightarrow 0 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire

Glossaire des Termes Clés

Circuit RC :

Circuit électrique comprenant une résistance (R) et un condensateur (C). Il peut être en série ou en parallèle.

Condensateur (C) :

Composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de charges électriques opposées sur ses armatures. Sa capacité se mesure en Farads (F).

Résistance (R) :

Composant qui s'oppose au passage du courant électrique, dissipant de l'énergie sous forme de chaleur (effet Joule). Sa valeur se mesure en Ohms (\(\Omega\)).

Constante de temps (\(\tau\)) :

Dans un circuit RC, \(\tau = RC\). Elle caractérise la rapidité de la réponse du circuit (charge ou décharge du condensateur). Unité : Seconde (s).

Équation différentielle :

Équation mathématique liant une fonction à ses dérivées. Elle décrit l'évolution temporelle des grandeurs dans de nombreux systèmes physiques.

Régime transitoire :

Phase durant laquelle les grandeurs électriques (tension, courant) varient dans le temps, typiquement après une perturbation (fermeture d'interrupteur, changement de source).

Régime permanent (ou établi) :

État du circuit atteint après un temps suffisamment long, où les grandeurs électriques deviennent constantes (en continu) ou périodiques (en alternatif).

Charge d'un condensateur :

Processus pendant lequel un condensateur accumule des charges électriques, et la tension à ses bornes augmente.

Décharge d'un condensateur :

Processus pendant lequel un condensateur perd ses charges électriques, et la tension à ses bornes diminue.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment l'expression de \(v_C(t)\) changerait-elle si le condensateur avait une charge initiale \(v_C(0) = V_0 \neq 0\) au moment de la fermeture de l'interrupteur ?

2. Tracez (qualitativement) l'allure des courbes de \(v_C(t)\) et \(i(t)\) pendant la phase de charge. Que peut-on dire de l'énergie stockée dans le condensateur et de l'énergie dissipée par la résistance pendant ce processus ?

3. Si, une fois le condensateur complètement chargé à \(E\), on ouvre l'interrupteur K et on connecte instantanément le condensateur à une autre résistance \(R'\) (formant un nouveau circuit RC de décharge). Quelle serait l'équation différentielle régissant \(v_C(t)\) pendant la décharge et quelle serait sa solution ?

4. Les circuits RC sont souvent utilisés comme filtres. Comment un circuit RC série simple (avec la sortie prise aux bornes du condensateur) se comporte-t-il face à des signaux de basses fréquences par rapport à des signaux de hautes fréquences ? (Introduction au concept de filtre passe-bas).

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