Système du second ordre et diagramme de Bode

Analyser la réponse fréquentielle des systèmes de contrôle du second ordre et comprendre comment tracer et interpréter leurs diagrammes de Bode (gain et phase).

L'analyse fréquentielle, notamment via les diagrammes de Bode, est un outil puissant pour étudier la stabilité, la performance et la robustesse des systèmes de contrôle. Pour un système du second ordre, la forme de ces diagrammes est fortement influencée par le coefficient d'amortissement \(\zeta\) et la pulsation propre non amortie \(\omega_n\).

La fonction de transfert canonique d'un système du second ordre est rappelée :

H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}

Données du Problème

On considère un système du second ordre avec \(\omega_n = 10 \text{ rad/s}\). Nous allons étudier sa réponse fréquentielle pour trois valeurs différentes du coefficient d'amortissement :

Cas A : \(\zeta = 0.1\) (Fortement sous-amorti)
Cas B : \(\zeta = 0.707\) (Amortissement optimal pour certaines applications)
Cas C : \(\zeta = 2\) (Fortement sur-amorti)

Allure qualitative des diagrammes de Bode (gain et phase) pour un système du second ordre.

Questions

Donner l'expression de la réponse fréquentielle \(H(j\omega)\) du système. Exprimer son module \(|H(j\omega)|\) et sa phase \(\arg(H(j\omega))\).
Analyser le comportement asymptotique du gain en décibels (\(G_{dB}(\omega) = 20 \log_{10}|H(j\omega)|\)) et de la phase pour les basses fréquences (\(\omega \rightarrow 0\)) et les hautes fréquences (\(\omega \rightarrow \infty\)). Quelles sont les pentes des asymptotes du gain ?
Pour le Cas B (\(\zeta = 0.707\), \(\omega_n = 10 \text{ rad/s}\)), calculer le module du gain \(|H(j\omega_n)|\) et la phase \(\arg(H(j\omega_n))\) à la pulsation \(\omega = \omega_n\).
Pour les trois cas (A, B, C), tracer qualitativement l'allure des diagrammes de Bode (gain en dB et phase en degrés) en fonction de \(\log(\omega)\). Mettre en évidence les asymptotes, la pulsation de coupure (si définissable simplement), et l'effet de \(\zeta\) sur la forme des courbes, notamment sur le pic de résonance du gain (s'il existe).
Discuter de l'influence du coefficient d'amortissement \(\zeta\) sur :
- Le pic de résonance \(M_r\) (gain maximal) sur le diagramme de gain. Pour quelles valeurs de \(\zeta\) un pic de résonance apparaît-il ?
- La pulsation de résonance \(\omega_r\) (pulsation à laquelle le gain est maximal).
- La bande passante du système.

Correction : Système du Second Ordre et Diagramme de Bode

1. Expression de la Réponse Fréquentielle \(H(j\omega)\)

Pour obtenir la réponse fréquentielle, on remplace \(s\) par \(j\omega\) dans la fonction de transfert \(H(s)\).

En remplaçant \(s\) par \(j\omega\) dans \(H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\), on obtient :

H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2 + 2\zeta\omega_n (j\omega) + \omega_n^2} \] \[ H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{-\omega^2 + j2\zeta\omega_n\omega + \omega_n^2} \] \[ H(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{(\omega_n^2 - \omega^2) + j(2\zeta\omega_n\omega)}

Pour normaliser, on divise le numérateur et le dénominateur par \(\omega_n^2\), et on pose \(u = \frac{\omega}{\omega_n}\) (pulsation normalisée) :

H(j\omega) = \frac{1}{(1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2) + j(2\zeta \frac{\omega}{\omega_n})} = \frac{1}{(1 - u^2) + j(2\zeta u)}

Le module de \(H(j\omega)\) est :

|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 - u^2)^2 + (2\zeta u)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2 + (2\zeta \frac{\omega}{\omega_n})^2}}

La phase de \(H(j\omega)\) est :

\[ \arg(H(j\omega)) = -\arctan\left(\frac{2\zeta u}{1 - u^2}\right) = -\arctan\left(\frac{2\zeta \frac{\omega}{\omega_n}}{1 - (\frac{\omega}{\omega_n})^2}\right) \] (Attention à la détermination du quadrant pour l'arctangente, en fonction des signes de la partie réelle et imaginaire du dénominateur).

\(H(j\omega) = \frac{1}{(1 - (\omega/\omega_n)^2) + j(2\zeta \omega/\omega_n)}\)

\(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\omega/\omega_n)^2)^2 + (2\zeta \omega/\omega_n)^2}}\)

\(\arg(H(j\omega)) = -\arctan\left(\frac{2\zeta \omega/\omega_n}{1 - (\omega/\omega_n)^2}\right)\)

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2. Comportement Asymptotique du Gain et de la Phase

On examine les limites pour \(\omega \rightarrow 0\) et \(\omega \rightarrow \infty\).

Basses Fréquences (\(\omega \rightarrow 0\), donc \(u \rightarrow 0\))

Module :

\lim_{u \to 0} |H(j\omega)| = \lim_{u \to 0} \frac{1}{\sqrt{(1 - u^2)^2 + (2\zeta u)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - 0)^2 + 0}} = 1

Gain en dB :

G_{dB}(\omega \rightarrow 0) = 20 \log_{10}(1) = 0 \text{ dB}

L'asymptote basse fréquence du gain est une droite horizontale à 0 dB.

Phase :

\lim_{u \to 0} \arg(H(j\omega)) = -\arctan\left(\frac{0}{1}\right) = 0^\circ

L'asymptote basse fréquence de la phase est \(0^\circ\).

Hautes Fréquences (\(\omega \rightarrow \infty\), donc \(u \rightarrow \infty\))

Module : Pour \(u \gg 1\), \(1-u^2 \approx -u^2\). Donc \((1-u^2)^2 \approx u^4\).

|H(j\omega)| \approx \frac{1}{\sqrt{u^4 + (2\zeta u)^2}} \approx \frac{1}{\sqrt{u^4}} = \frac{1}{u^2} = \left(\frac{\omega_n}{\omega}\right)^2 \quad \text{pour } u \gg 1

Gain en dB :

G_{dB}(\omega \rightarrow \infty) = 20 \log_{10}\left(\left(\frac{\omega_n}{\omega}\right)^2\right) = 40 \log_{10}\left(\frac{\omega_n}{\omega}\right) \] \[ G_{dB}(\omega \rightarrow \infty) = 40 (\log_{10}(\omega_n) - \log_{10}(\omega)) = -40 \log_{10}(\omega) + 40 \log_{10}(\omega_n)

L'asymptote haute fréquence du gain a une pente de -40 dB/décade.

Phase : Pour \(u \gg 1\), \(1-u^2\) est négatif.

\lim_{u \to \infty} \arg(H(j\omega)) = -\arctan\left(\frac{2\zeta u}{-u^2}\right) = -\arctan\left(\frac{-2\zeta}{u}\right)

Quand \(u \rightarrow \infty\), \(\frac{-2\zeta}{u} \rightarrow 0^-\). L'arctangente d'un petit nombre négatif tend vers \(-\pi\) ou \(-180^\circ\) (car le dénominateur \(1-u^2\) est négatif, plaçant le nombre complexe au second ou troisième quadrant, et comme la partie imaginaire \(2\zeta u\) est positive, on est dans le second quadrant pour le dénominateur, donc l'argument du dénominateur tend vers \(\pi\). L'argument total est \(0 - \pi = -\pi\)).

\lim_{u \to \infty} \arg(H(j\omega)) = -180^\circ

L'asymptote haute fréquence de la phase est \(-180^\circ\).

BF : Gain \(\approx 0 \text{ dB}\), Phase \(\approx 0^\circ\).

HF : Pente du gain \(= -40 \text{ dB/décade}\), Phase \(\approx -180^\circ\).

3. Calcul pour Cas B (\(\zeta = 0.707, \omega_n = 10 \text{ rad/s}\)) à \(\omega = \omega_n\)

On utilise les expressions du module et de la phase avec \(u = \omega/\omega_n = 1\).

\(\omega_n = 10 \text{ rad/s}\), \(\zeta = 0.707 \approx 1/\sqrt{2}\).

À \(\omega = \omega_n\), on a \(u = 1\).

Module :

|H(j\omega_n)| = \frac{1}{\sqrt{(1 - 1^2)^2 + (2\zeta \times 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0^2 + (2\zeta)^2}} = \frac{1}{2\zeta} \] \[ |H(j\omega_n)| = \frac{1}{2 \times 0.707} \approx \frac{1}{1.414} \approx 0.7071

Gain en dB :

G_{dB}(\omega_n) = 20 \log_{10}(0.7071) \approx 20 \times (-0.1505) \approx -3.01 \text{ dB}

Phase : À \(\omega = \omega_n\), le terme \(1-u^2 = 1-1^2 = 0\). La partie réelle du dénominateur est nulle. La partie imaginaire \(2\zeta u = 2\zeta\) est positive.

\arg(H(j\omega_n)) = -\arctan\left(\frac{2\zeta}{0}\right)

Puisque la partie réelle est nulle et la partie imaginaire est positive, l'argument du dénominateur est \(\pi/2\) ou \(90^\circ\). Donc,

\arg(H(j\omega_n)) = -90^\circ

Pour Cas B à \(\omega = \omega_n\):

\(|H(j\omega_n)| \approx 0.7071\) (soit \(\approx -3 \text{ dB}\)).

\(\arg(H(j\omega_n)) = -90^\circ\).

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4. Allure Qualitative des Diagrammes de Bode

Le tracé qualitatif montre l'influence de \(\zeta\) sur la forme des courbes.

Allure qualitative des diagrammes de Bode pour \(\omega_n=10 \text{ rad/s}\) et différentes valeurs de \(\zeta\).

Observations qualitatives :

Gain :
- Tous les cas partent de 0 dB aux basses fréquences.
- Tous les cas tendent vers une pente de -40 dB/décade aux hautes fréquences.
- Cas A (\(\zeta=0.1\), rouge) : Présente un pic de résonance important autour de \(\omega_n\).
- Cas B (\(\zeta=0.707\), vert) : Le gain est plat jusqu'à \(\omega_n\) puis chute. Le pic de résonance est très faible ou inexistant (pour la définition canonique, le pic est à \(|H(j\omega_n)| = 1/(2\zeta) \approx -3dB\)).
- Cas C (\(\zeta=2\), bleu) : Pas de pic de résonance. La courbe de gain commence à chuter avant \(\omega_n\) et suit plus doucement l'asymptote HF.
Phase :
- Toutes les courbes partent de \(0^\circ\) aux BF et tendent vers \(-180^\circ\) aux HF.
- La transition de phase est centrée autour de \(\omega = \omega_n\), où la phase est de \(-90^\circ\).
- Cas A (\(\zeta=0.1\), rouge) : La transition de phase est la plus abrupte.
- Cas C (\(\zeta=2\), bleu) : La transition de phase est la plus étalée.
- Cas B (\(\zeta=0.707\), vert) : Transition intermédiaire.

5. Influence de \(\zeta\) sur le Pic de Résonance et la Bande Passante

Le coefficient d'amortissement \(\zeta\) joue un rôle crucial dans la forme de la réponse fréquentielle.

Pic de Résonance \(M_r\) et Pulsation de Résonance \(\omega_r\)

Un pic de résonance \(M_r\) (valeur maximale du module \(|H(j\omega)|\)) apparaît si \(\zeta < 1/\sqrt{2} \approx 0.707\). Si \(\zeta \ge 1/\sqrt{2}\), le gain \(|H(j\omega)|\) est maximal à \(\omega=0\) (gain statique) et décroît ensuite monotoniquement.

Lorsque \(\zeta < 1/\sqrt{2}\), la pulsation de résonance \(\omega_r\) (où le pic se produit) est donnée par :

\omega_r = \omega_n \sqrt{1 - 2\zeta^2}

Et le pic de résonance \(M_r\) est donné par :

M_r = |H(j\omega_r)| = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}

En dB, \(M_{r,dB} = 20 \log_{10}(M_r)\).

Pour Cas A (\(\zeta=0.1\)) : \(\zeta < 0.707\), donc il y a un pic de résonance. \(\omega_r = 10 \sqrt{1 - 2(0.1)^2} = 10 \sqrt{1 - 0.02} = 10 \sqrt{0.98} \approx 9.899 \text{ rad/s}\). \(M_r = \frac{1}{2(0.1)\sqrt{1-(0.1)^2}} = \frac{1}{0.2\sqrt{0.99}} \approx \frac{1}{0.2 \times 0.995} \approx \frac{1}{0.199} \approx 5.025\). \(M_{r,dB} \approx 20 \log_{10}(5.025) \approx 14.02 \text{ dB}\).
Pour Cas B (\(\zeta=0.707\)) : \(\zeta \approx 1/\sqrt{2}\). \(\omega_r \approx \omega_n \sqrt{1 - 2(1/2)} = 0\). Le maximum est à \(\omega=0\), donc pas de pic de résonance au sens strict (la courbe est plate avant de chuter). \(M_r = |H(j0)| = 1\) (0 dB).
Pour Cas C (\(\zeta=2\)) : \(\zeta > 0.707\), donc pas de pic de résonance. Le gain est maximal à \(\omega=0\).

Bande Passante

La bande passante (BP) est souvent définie comme la plage de fréquences pour laquelle le gain du système est supérieur ou égal à \(|H(j0)|/\sqrt{2}\) (soit -3 dB par rapport au gain statique si celui-ci est non nul).

Pour notre système avec un gain statique de 1 (0 dB), la bande passante est la fréquence \(\omega_c\) (pulsation de coupure) à laquelle \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\) (soit -3 dB).

\frac{1}{\sqrt{(1 - (\omega_c/\omega_n)^2)^2 + (2\zeta \omega_c/\omega_n)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Cela mène à l'équation : \((1 - (\omega_c/\omega_n)^2)^2 + (2\zeta \omega_c/\omega_n)^2 = 2\).

L'influence de \(\zeta\) sur la bande passante est la suivante :

Pour de faibles valeurs de \(\zeta\) (ex: Cas A), le système a tendance à avoir une bande passante plus large, mais avec un pic de résonance important qui peut être indésirable.
Lorsque \(\zeta\) augmente (vers 0.707 et au-delà), le pic de résonance diminue ou disparaît. Pour \(\zeta\) entre 0.5 et 1, la bande passante est généralement proche de \(\omega_n\).
Pour des valeurs élevées de \(\zeta\) (ex: Cas C, sur-amorti), la bande passante diminue. Le système devient plus lent à réagir aux changements de fréquence.

De manière générale, une augmentation de \(\zeta\) (pour \(\zeta < 1\)) tend à réduire le pic de résonance et peut légèrement réduire ou modifier la bande passante. Pour \(\zeta > 1\), augmenter \(\zeta\) réduit clairement la bande passante.

Un pic de résonance \(M_r > 1\) (ou \(>0 \text{ dB}\)) apparaît pour \(\zeta < 1/\sqrt{2} \approx 0.707\).

La bande passante est influencée par \(\zeta\) : des valeurs très faibles ou très élevées de \(\zeta\) peuvent réduire la bande passante utile ou introduire des comportements oscillatoires indésirables.

Glossaire des Termes Clés

Diagramme de Bode :

Représentation graphique de la réponse fréquentielle d'un système. Il se compose de deux graphiques : le module du gain (souvent en décibels) en fonction de la fréquence (sur une échelle logarithmique), et la phase (en degrés ou radians) en fonction de la fréquence (sur une échelle logarithmique).

Réponse Fréquentielle \(H(j\omega)\) :

Fonction de transfert du système évaluée pour \(s=j\omega\). Elle décrit comment le système répond à des entrées sinusoïdales de différentes fréquences.

Gain (Module \(|H(j\omega)|\)) :

Rapport de l'amplitude de la sortie sinusoïdale à l'amplitude de l'entrée sinusoïdale en régime permanent, pour une fréquence \(\omega\) donnée.

Phase (\(\arg(H(j\omega))\)) :

Déphasage entre le signal de sortie et le signal d'entrée sinusoïdaux en régime permanent, pour une fréquence \(\omega\) donnée.

Décibel (dB) :

Unité logarithmique utilisée pour exprimer le gain. \(G_{dB} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)\).

Décade :

Intervalle de fréquences où la fréquence la plus élevée est dix fois la fréquence la plus basse. Utilisé pour décrire les pentes des asymptotes dans les diagrammes de Bode (ex: -20 dB/décade).

Pulsation Propre Non Amortie (\(\omega_n\)) :

Fréquence caractéristique du système, souvent associée au point de rupture des asymptotes dans le diagramme de Bode.

Coefficient d'Amortissement (\(\zeta\)) :

Paramètre qui influence fortement la forme du diagramme de Bode, notamment l'apparition d'un pic de résonance.

Pic de Résonance (\(M_r\)) :

Valeur maximale du gain sur le diagramme de Bode, qui se produit à la pulsation de résonance \(\omega_r\) pour les systèmes sous-amortis (\(\zeta < 1/\sqrt{2}\)).

Pulsation de Résonance (\(\omega_r\)) :

Pulsation à laquelle le gain \(|H(j\omega)|\) est maximal.

Bande Passante (\(\omega_c\) ou BP) :

Plage de fréquences pour laquelle le gain du système est supérieur à une certaine valeur (typiquement -3 dB par rapport au gain en basse fréquence). Elle indique la capacité du système à suivre des signaux d'une certaine rapidité.

Asymptote :

Droite qui approxime le comportement du diagramme de Bode aux basses et hautes fréquences.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment les marges de gain et de phase, lues sur un diagramme de Bode d'un système en boucle ouverte, permettent-elles d'évaluer la stabilité d'un système en boucle fermée ?

2. Expliquez comment le diagramme de Bode peut être utilisé pour identifier expérimentalement les paramètres (\(\omega_n, \zeta\)) d'un système du second ordre inconnu.

3. Quel est l'effet de l'ajout d'un pôle ou d'un zéro supplémentaire à la fonction de transfert d'un système du second ordre sur ses diagrammes de Bode ?

4. Discutez de la relation entre la réponse temporelle (par exemple, le dépassement, le temps de réponse) et la réponse fréquentielle (par exemple, pic de résonance, bande passante) pour un système du second ordre.

Système du second ordre et diagramme de Bode