Système du second ordre et diagramme de Bode

Système du second ordre et diagramme de Bode

Comprendre le Système du second ordre et diagramme de Bode

Vous êtes ingénieur en systèmes de contrôle et devez analyser le comportement fréquentiel d’un système du second ordre dont la fonction de transfert \(H(s)\) est donnée par :

\[ H(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \]

Objectifs:

1. Déterminer les caractéristiques du système :

  • Calculer la fréquence naturelle non amortie (\(\omega_n\)) et le coefficient d’amortissement (\(\zeta\)).

2. Analyser la stabilité du système :

  • Déduire la stabilité du système à partir des paramètres obtenus.

3. Tracer le diagramme de Bode :

  • Calculer le gain en décibels (dB) et la phase en degrés pour les fréquences \(\omega = 0.1, 1, 10, 100\) rad/s.
  • Esquisser le diagramme de Bode (gain et phase) à partir des valeurs calculées.

Correction : Système du second ordre et diagramme de Bode

1. Caractéristiques du système

La fréquence naturelle non amortie (\(\omega_n\)) est calculée comme la racine carrée du coefficient de \(s^0\) dans le dénominateur de la fonction de transfert.

Pour notre cas,

\[ \omega_n = \sqrt{25} = 5\, \text{rad/s} \]

Le coefficient d’amortissement (\(\zeta\)) est obtenu à partir du coefficient de \(s^1\) dans le dénominateur, divisé par \(2\omega_n\).

Donc,

\[ \zeta = \frac{10}{2 \times 5} = 1 \]

2. Analyse de la stabilité

Avec un coefficient d’amortissement \(\zeta = 1\), le système est critique, indiquant que le système est à la limite de la stabilité et n’oscillera pas. Il retournera à sa position d’équilibre sans oscillation.

3. Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode représente graphiquement le gain en dB et la phase en degrés en fonction de la fréquence. Il est utilisé pour analyser la réponse fréquentielle d’un système de contrôle.

Calcul le gain en décibels (dB) et la phase en degrés pour les fréquences (\(\omega = 0.1, 1, 10, 100\) rad/s)

Formules de Calcul:

La formule pour calculer le gain en décibels (dB) pour une fréquence spécifique \(\omega\) est donnée par :

\[ \text{Gain(dB)} = 20 \log_{10} |H(j\omega)| \]

où \(H(j\omega)\) est la fonction de transfert du système évaluée à \(j\omega\).

La phase en degrés peut être déterminée par la formule :

\[ = \arg(H(j\omega)) \times \frac{180}{\pi} \]

où \(\arg(H(j\omega))\) est l’argument (ou l’angle de phase) de la fonction de transfert \(H(j\omega)\).

Les résultats finaux pour le calcul du gain en décibels (dB) et de la phase en degrés pour les fréquences données (\(\omega = 0.1, 1, 10, 100\) rad/s) sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau des résultats

Tableau des Résultats du Gain et de la Phase

Fréquence (rad/s) Gain (dB) Phase (degrés)
0.1 -0.0035 -2.29
1 -0.341 -22.62
10 -13.98 -126.87
100 -52.06 -174.28

Diagramme de Bode (gain et phase) à partir des valeurs calculées:

Système du second ordre et diagramme de Bode

Système du second ordre et diagramme de Bode

D’autres exercices de systemes de controle:

0 commentaires

Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Réponse Temporelle d’un Circuit RC

Réponse Temporelle d'un Circuit RC Comprendre la Réponse Temporelle d'un Circuit RC Considérons un circuit RC (résistance R en série avec un condensateur C) alimenté par une source de tension continue \(V_{in}\) qui est appliquée à l'instant t=0. Le système peut être...

Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI

Vitesse d'un Moteur CC à l'aide d'un Contrôleur PI Comprendre la Vitesse d'un Moteur CC à l'aide d'un Contrôleur PI Un ingénieur en électricité travaille sur la conception d'un système de contrôle pour un moteur électrique à courant continu (CC) utilisé dans une usine...

Classification de Systèmes de Contrôle

Classification de Systèmes de Contrôle Comprendre la Classification de Systèmes de Contrôle Vous travaillez en tant qu'ingénieur en automatisation pour une entreprise spécialisée dans les solutions de contrôle pour l'industrie électrique. Votre tâche consiste à...

Choix d’un Actionneur pour un Système

Choix d'un Actionneur pour un Système Comprendre le Choix d'un Actionneur pour un Système Vous êtes ingénieur en conception de systèmes de contrôle pour une entreprise spécialisée dans l'automatisation industrielle. Votre tâche est de sélectionner un actionneur...

Système de contrôle pour un convoyeur industriel

Système de contrôle pour un convoyeur industriel Comprendre le système de contrôle pour un convoyeur industriel Un convoyeur industriel est utilisé pour transporter des matériaux d'un point A à un point B. Pour optimiser la consommation d'énergie et assurer une...

Régulateur PID avec la Méthode Ziegler-Nichols

Régulateur PID avec la Méthode Ziegler-Nichols Comprendre le Régulateur PID avec la Méthode Ziegler-Nichols Vous travaillez sur un système de contrôle de température pour un four industriel. Le système de contrôle est conçu pour maintenir la température à un niveau...

Analyse d’un Système du Second Ordre

Analyse d'un Système du Second Ordre Comprendre l'Analyse d'un Système du Second Ordre Considérons un système de contrôle représenté par la fonction de transfert suivante : \[ G(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \] où \(G(s)\) est la fonction de transfert du système en...