Système Triphasé avec Charges Mixtes
Comprendre le Système Triphasé avec Charges Mixtes
Un système triphasé de distribution d’électricité alimente deux types de charges connectées: une charge en étoile et une charge en triangle.
Les données suivantes sont fournies:
- Tension entre phases (tension de ligne): 400 V (tension efficace)
- Fréquence du système: 50 Hz
- Charge en étoile: Chaque branche de la charge en étoile a une impédance de \(Z_Y = 20 + j15 \, \Omega\).
- Charge en triangle: Chaque branche de la charge en triangle a une impédance de \(Z_{\Delta} = 10 + j10 \, \Omega\).
Questions:
1. Calculez les tensions de phase pour chaque charge.
2. Déterminez les courants de ligne et courants de branche pour chaque type de charge.
3. Calculez la puissance totale consommée par chaque charge.
4. Évaluez si le système est équilibré.
Correction : Système Triphasé avec Charges Mixtes
1. Calcul des Tensions de Phase
a) Charge en étoile (Y)
Dans une connexion étoile, la tension de phase \(V_{ph}\) se trouve en divisant la tension de ligne par \(\sqrt{3}\) :
\[V_{ph} = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}\]
On a :
\[V_{ph} = \frac{400}{\sqrt{3}}\,\text{V}\]
Donc :
\[\sqrt{3} \approx 1,732 \quad \Rightarrow \quad V_{ph} \approx \frac{400}{1,732}\]
\[V_{ph} \approx 230,94\,\text{V}\]
b) Charge en triangle (Δ) :
Dans une connexion triangle, chaque branche est directement soumise à la tension de ligne. On a donc :
\[V_{\text{branche}} = V_{LL} = 400\,\text{V}\]
2. Détermination des courants de ligne et courants de branche
a) Charge en étoile (Y) :
- Calcul du module de l’impédance de branche :
Pour \(Z_Y = 20+j15\,\Omega\), la valeur efficace (module) est :
\[\left| Z_Y \right| = \sqrt{20^2 + 15^2}\]
\[\left| Z_Y \right| = \sqrt{400 + 225}\]
\[\left| Z_Y \right| = \sqrt{625}\]
\[\left| Z_Y \right| = 25\,\Omega\]
- Courant de branche (ou de phase) :
Le courant dans chaque branche se calcule à partir de la tension de phase :
\[I_Y = \frac{V_{ph}}{\left| Z_Y \right|}\]
\[I_Y = \frac{230,94}{25}\]
\[I_Y \approx 9,2376\,\text{A}\]
- Courant de ligne :
Dans une connexion étoile, le courant de ligne est identique au courant de phase :
\[I_{\text{ligne,Y}} = I_Y \approx 9,24\,\text{A}\]
b) Charge en triangle (Δ) :
- Calcul du module de l’impédance de branche :
Pour \(Z_\Delta = 10+j10\,\Omega\), le module est :
\[\left| Z_\Delta \right| = \sqrt{10^2 + 10^2}\]
\[\left| Z_\Delta \right| = \sqrt{100+100}\]
\[\left| Z_\Delta \right| = \sqrt{200}\]
\[\left| Z_\Delta \right| \approx 14,14\,\Omega\]
- Courant dans chaque branche :
Chaque branche étant directement soumise à \(V_{LL}\), on a :
\[I_\Delta = \frac{V_{LL}}{\left| Z_\Delta \right|}\]
\[I_\Delta = \frac{400}{14,14}\]
\[I_\Delta \approx 28,284\,\text{A}\]
- Courant de ligne :
Pour une charge en triangle, la relation entre courant de ligne et courant de branche est :
\[I_{\text{ligne,}\Delta} = \sqrt{3} \times I_\Delta\]
\[I_{\text{ligne,}\Delta}\approx 1,732 \times 28,284\]
\[I_{\text{ligne,}\Delta} \approx 49,0\,\text{A}\]
3. Calcul de la puissance totale consommée par chaque charge
On rappelle que la puissance apparente d’un circuit triphasé peut être calculée à partir de la tension et du courant, et que l’angle de déphasage est déterminé par l’impédance.
a) Charge en étoile (Y) :
Caractéristiques de l’impédance \(Z_Y\) :
On a déjà :
\[\left| Z_Y \right| = 25\,\Omega \quad \text{et} \quad \varphi_Y = \arctan\left(\frac{15}{20}\right) \approx 36,87^\circ\]
Le facteur de puissance est donc :
\[\cos\varphi_Y \approx \cos(36,87^\circ) \approx 0,8\]
- Puissance par phase :
La puissance apparente par phase est :
\[S_Y = V_{ph} \times I_Y\]
\[S_Y \approx 230,94\,\text{V} \times 9,2376\,\text{A}\]
\[S_Y \approx 2130\,\text{VA}\]
La puissance active par phase est :
\[P_Y = S_Y \times \cos\varphi_Y\]
\[P_Y \approx 2130 \times 0,8\]
\[P_Y \approx 1704\,\text{W}\]
- Puissance totale (triphasée) :
Pour trois phases :
\[P_{\text{total,Y}} = 3 \times 1704\]
\[P_{\text{total,Y}} \approx 5112\,\text{W}\]
b)Charge en triangle (Δ) :
Caractéristiques de l’impédance \(Z_\Delta\) :
Pour \(Z_\Delta = 10+j10\,\Omega\) :
\[\left| Z_\Delta \right| \approx 14,14\,\Omega \quad \text{et} \quad \varphi_\Delta = \arctan\left(\frac{10}{10}\right) = 45^\circ\]
Le facteur de puissance est donc :
\[\cos\varphi_\Delta \approx \cos(45^\circ) \approx 0,707\]
- Puissance par branche :
Chaque branche voit \(V_{LL} = 400\,\text{V}\) et conduit \(I_\Delta \approx 28,284\,\text{A}\), donc :
\[S_\Delta = 400 \times 28,284\]
\[S_\Delta \approx 11314\,\text{VA}\]
La puissance active par branche est :
\[P_\Delta = S_\Delta \times \cos\varphi_\Delta \approx 11314 \times 0,707\]
\[P_\Delta \approx 8000\,\text{W}\]
- Puissance totale pour la charge en triangle :
La charge étant constituée de trois branches identiques :
\[P_{\text{total,}\Delta} = 3 \times 8000\]
\[P_{\text{total,}\Delta} \approx 24000\,\text{W}\]
4. Évaluation de l’équilibre du système
Un système triphasé est dit équilibré lorsque :
- La tension de phase (ou de branche) est identique pour chacune des phases.
- Les impédances branchées sur chaque phase sont identiques.
a) Charge en étoile :
Chaque branche possède la même impédance \(Z_Y = 20+j15\,\Omega\). La tension de phase obtenue (environ 230,94 V) est la même pour chacune des phases et le courant de phase est identique.
b) Charge en triangle :
Chaque branche possède la même impédance \(Z_\Delta = 10+j10\,\Omega\). La tension appliquée est directement la tension de ligne (400 V) pour chacune des branches, et le calcul du courant de branche (28,284 A) donne le même résultat pour chaque branche, ce qui conduit à un courant de ligne identique dans les trois phases.
Conclusion :
Les deux charges (étoile et triangle) sont constituées de branches identiques, et par conséquent, chaque phase du système présente les mêmes grandeurs électriques. Le système est donc équilibré.
Système Triphasé avec Charges Mixtes
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