Temps de Décharge d’un Condensateur
Comprendre le Temps de Décharge d’un Condensateur
Dans un laboratoire de physique, un étudiant réalise une expérience pour étudier la décharge d’un condensateur à travers une résistance. Le condensateur, initialement chargé à une tension connue, est connecté à une résistance, et la tension aux bornes du condensateur est mesurée à différents intervalles de temps après la fermeture du circuit.
Données fournies:
- Capacité du condensateur, \(C = 500 \, \mu\text{F}\)
- Résistance, \(R = 10 \, \text{k}\Omega\)
- Tension initiale du condensateur, \(V_0 = 12 \, \text{V}\)
- L’étudiant mesure la tension aux bornes du condensateur à t = 0 s, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s après la fermeture du circuit.
Questions:
1. Écrivez l’expression mathématique décrivant la tension \(V(t)\) aux bornes du condensateur en fonction du temps \(t\), en utilisant la loi de décharge d’un condensateur.
2. Calculez la tension aux bornes du condensateur pour chaque intervalle de temps donné.
3. Déterminez la constante de temps \(\tau\) du circuit et expliquez son importance dans le contexte de la décharge du condensateur.
4. Tracez un graphique de \(V(t)\) contre \(t\).
5. Expliquez physiquement pourquoi la tension diminue avec le temps dans ce circuit.
Correction : Temps de Décharge d’un Condensateur
1. Expression mathématique de la décharge du condensateur
La loi de décharge d’un condensateur dans un circuit RC est donnée par la relation exponentielle :
\[ V(t) = V_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \]
où :
- V₀ est la tension initiale du condensateur.
- R est la résistance.
- C est la capacité.
- τ = RC est la constante de temps du circuit.
2. Calcul de la tension V(t) pour chaque intervalle de temps
Calcul de la constante de temps
La constante de temps τ se calcule par :
\[ \tau = RC \]
En substituant les valeurs :
- R = 10 kΩ = 10 000 Ω
- C = 500 μF = 500 × 10-6 F
\[ \tau = 10\,000 \times 500 \times 10^{-6} \] \[ \tau = 10\,000 \times 0.0005 \] \[ \tau = 5\,s \]
Calcul de V(t) aux instants donnés
L’expression se retrouve :
\[ V(t) = 12\,V \cdot e^{-\frac{t}{5}} \]
Calcul pour chaque valeur de t :
- Pour t = 0 s :
\[ V(0) = 12\,V \cdot e^{0} \] \[ V(0) = 12\,V \cdot 1 \] \[ V(0) = 12\,V \] - Pour t = 1 s :
\[ V(1) = 12\,V \cdot e^{-\frac{1}{5}} \] \[ V(1) \approx 12\,V \cdot e^{-0.2} \] \[ V(1) \approx 12\,V \cdot 0.81873 \] \[ V(1) \approx 9.82\,V \] - Pour t = 2 s :
\[ V(2) = 12\,V \cdot e^{-\frac{2}{5}} \] \[ V(2) \approx 12\,V \cdot e^{-0.4} \] \[ V(2) \approx 12\,V \cdot 0.67032 \] \[ V(2) \approx 8.04\,V \] - Pour t = 3 s :
\[ V(3) = 12\,V \cdot e^{-\frac{3}{5}} \] \[ V(3) \approx 12\,V \cdot e^{-0.6} \] \[ V(3) \approx 12\,V \cdot 0.54881 \] \[ V(3) \approx 6.59\,V \] - Pour t = 4 s :
\[ V(4) = 12\,V \cdot e^{-\frac{4}{5}} \] \[ V(4) \approx 12\,V \cdot e^{-0.8} \] \[ V(4) \approx 12\,V \cdot 0.44933 \] \[ V(4) \approx 5.39\,V \] - Pour t = 5 s :
\[ V(5) = 12\,V \cdot e^{-\frac{5}{5}} \] \[ V(5) = 12\,V \cdot e^{-1} \] \[ V(5) \approx 12\,V \cdot 0.36788 \] \[ V(5) \approx 4.41\,V \]
3. Détermination de la constante de temps τ
La constante de temps est donnée par :
\[ \tau = RC = 5\,s \]
Importance de τ :
- La constante de temps représente l’intervalle durant lequel la tension chute jusqu’à \[ \frac{V_0}{e} \] (soit environ 36,8 % de V₀).
- Elle donne une mesure caractéristique de la vitesse de décharge du condensateur. Par exemple, après 5 secondes, la tension passe de 12 V à environ 4.41 V.
- Plus τ est grand, plus le condensateur se décharge lentement.
4. Tracé du graphique V(t) en fonction de t
Pour tracer le graphique, on représente :
\[ V(t) = 12\,e^{-t/5} \]
avec t variant de 0 à au moins 5 s.
- L’axe des abscisses représente le temps t (en secondes).
- L’axe des ordonnées représente la tension V (en volts).
Le tracé présente une courbe exponentielle décroissante. Le point de départ est (0, 12 V) et le point pour t = 5 s est (5, 4.41 V).
Il est pédagogique d’indiquer :
- La valeur initiale V(0) = 12 V
- La valeur à t = τ = 5 s avec V(5) ≈ 4.41 V
5. Explication physique de la diminution de la tension
Raisonnement :
- Lorsqu’un condensateur déchargé est connecté à une résistance, il libère progressivement l’énergie stockée sous forme de charge électrique.
- Le courant qui circule dans le circuit à travers la résistance entraîne une dissipation de l’énergie sous forme de chaleur.
- La décroissance exponentielle de la tension est due au fait que le flux de charge diminue avec le temps : plus le condensateur se décharge, moins il reste de charge pour alimenter le circuit.
- La relation \[ V(t) = V_0\,e^{-t/RC} \] reflète ce comportement exponentiel, où la constante de temps τ = RC détermine la rapidité de la décharge.
Temps de Décharge d’un Condensateur
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