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Mesure de la Tension Efficace (RMS) d'un Signal Sinusoïdal

Mesure de la Tension Efficace (RMS) d'un Signal Sinusoïdal

Comprendre la Tension Efficace (RMS)

En courant alternatif (AC), la tension et le courant varient constamment dans le temps. La valeur "efficace" (en anglais RMS, pour Root Mean Square) d'une tension ou d'un courant est une valeur qui représente l'équivalent en courant continu qui produirait le même échauffement (effet Joule) dans une résistance. C'est la valeur la plus importante pour les calculs de puissance et c'est celle qui est mesurée par un voltmètre standard en mode AC. Pour un signal sinusoïdal, il existe une relation mathématique simple entre la valeur efficace et la valeur maximale (ou crête).

Données de l'étude

Un signal de tension sinusoïdal est observé à l'oscilloscope. On mesure les caractéristiques suivantes :

  • Tension maximale (ou tension crête) : \(V_{\text{max}} = 15 \, \text{V}\)
  • Fréquence du signal : \(f = 100 \, \text{Hz}\)
Schéma : Signal de Tension Sinusoïdal
t v(t) V_max Période T

Questions à traiter

  1. Calculer la tension efficace (\(V_{\text{eff}}\)) du signal.
  2. Calculer la période (\(T\)) et la pulsation (\(\omega\)) du signal.
  3. Écrire l'expression mathématique de la tension instantanée \(v(t)\), en supposant que le signal n'a pas de déphasage à l'origine (\(\phi=0\)).

Correction de l'Exercice

Question 1 : Tension Efficace (\(V_{\text{eff}}\))

Principe :

Pour un signal de tension purement sinusoïdal, la valeur efficace (\(V_{\text{eff}}\) ou \(V_{\text{RMS}}\)) est directement proportionnelle à la valeur maximale (\(V_{\text{max}}\)). La relation est une division par la racine carrée de 2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \]
Données :
  • Tension maximale \(V_{\text{max}} = 15 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{eff}} &= \frac{15 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{15 \, \text{V}}{1.414} \\ &\approx 10.61 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Q1 : La tension efficace du signal est \(V_{\text{eff}} \approx 10.6 \, \text{V}\).

Question 2 : Période (\(T\)) et Pulsation (\(\omega\))

Principe :

La période (T) est l'inverse de la fréquence (f). Elle représente la durée d'un cycle complet du signal. La pulsation (\(\omega\)), exprimée en radians par seconde, est une autre façon de représenter la fréquence, utilisée dans les expressions mathématiques des signaux sinusoïdaux.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T = \frac{1}{f} \quad \text{et} \quad \omega = 2\pi f \]
Données :
  • Fréquence \(f = 100 \, \text{Hz}\)
Calcul :

Calcul de la période T :

\[ \begin{aligned} T &= \frac{1}{100 \, \text{Hz}} \\ &= 0.01 \, \text{s} \\ &= 10 \, \text{ms} \end{aligned} \]

Calcul de la pulsation \(\omega\) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times 100 \, \text{Hz} \\ &= 200\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 628.3 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Q2 : La période est \(T = 10 \, \text{ms}\) et la pulsation est \(\omega \approx 628.3 \, \text{rad/s}\).

Question 3 : Expression de la Tension Instantanée \(v(t)\)

Principe :

La tension instantanée \(v(t)\) décrit la valeur de la tension à n'importe quel instant t. Pour un signal sinusoïdal, elle est décrite par sa valeur maximale (\(V_{\text{max}}\)), sa pulsation (\(\omega\)) et son déphasage à l'origine (\(\phi\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t + \phi) \]
Données :
  • \(V_{\text{max}} = 15 \, \text{V}\)
  • \(\omega = 200\pi \, \text{rad/s}\)
  • \(\phi = 0 \, \text{rad}\) (par hypothèse)
Calcul :

En remplaçant les valeurs dans la formule générale, on obtient :

\[ v(t) = 15 \sin(200\pi t) \]

L'unité de cette expression est le Volt (V).

Résultat Q3 : L'expression de la tension instantanée est \(v(t) = 15 \sin(200\pi t) \, \text{V}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un voltmètre en position "AC" mesure...

2. Si la tension efficace d'un signal est de 230 V, quelle est sa tension maximale ?

Glossaire

Tension Efficace (\(V_{\text{eff}}\) ou \(V_{\text{RMS}}\))
Valeur quadratique moyenne (Root Mean Square) d'un signal. Elle correspond à la valeur d'une tension continue qui produirait le même effet thermique dans une résistance.
Tension Maximale ou Crête (\(V_{\text{max}}\))
Amplitude maximale du signal sinusoïdal, mesurée depuis le point zéro.
Tension Crête-à-Crête (\(V_{\text{CAC}}\))
Différence entre la tension maximale positive et la tension maximale négative. Pour un signal sinusoïdal centré en zéro, \(V_{\text{CAC}} = 2 \times V_{\text{max}}\).
Période (T)
Durée d'un cycle complet du signal. Unité : seconde (s).
Fréquence (f)
Nombre de cycles par seconde. Unité : Hertz (Hz). \(f = 1/T\).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire du signal, liée à la fréquence. Unité : radian par seconde (rad/s). \(\omega = 2\pi f\).
Tension Efficace - Exercice d'Application

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