Théorème d'Ampère autour d'un Conducteur

Comprendre le Théorème d'Ampère

Le théorème d'Ampère est une loi fondamentale de la magnétostatique qui relie le champ magnétique à la source de courant qui le crée. De manière analogue au théorème de Gauss en électrostatique, il offre une méthode élégante et puissante pour calculer le champ magnétique dans des situations présentant un haut degré de symétrie (fils infinis, solénoïdes, tores). Il stipule que la circulation du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'une boucle fermée (appelée contour d'Ampère) est proportionnelle au courant total qui traverse la surface délimitée par cette boucle.

Remarque Pédagogique : L'essentiel du théorème d'Ampère est le lien de cause à effet : les courants électriques sont les sources du champ magnétique. Ce théorème permet de "sonder" le champ en choisissant judicieusement un contour et en comptant le courant qui le traverse. Cet exercice illustre comment ce choix de contour est la clé pour simplifier un problème qui serait beaucoup plus complexe à résoudre avec la loi de Biot et Savart.

Données de l'étude

Un long conducteur cylindrique rectiligne de rayon \(a = 2 \, \text{mm}\) est parcouru par un courant continu d'intensité \(I = 10 \, \text{A}\). On suppose que la densité de courant \(J\) est uniforme sur toute la section du conducteur.

Constantes :

Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)

Schéma du Conducteur et des Contours d'Ampère

Questions à traiter

Énoncer le théorème d'Ampère sous sa forme intégrale.
En utilisant un contour d'Ampère approprié, déterminer l'expression du champ magnétique \(B(r)\) à l'extérieur du conducteur (pour \(r > a\)).
Déterminer l'expression du champ magnétique \(B(r)\) à l'intérieur du conducteur (pour \(r < a\)).
Calculer la valeur du champ magnétique à la surface du fil (\(r=a\)) et à une distance \(r=1 \, \text{cm}\) de son centre.

Correction : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Question 1 : Énoncé du Théorème d'Ampère

Principe :

Le théorème d'Ampère relie l'intégrale du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'un chemin fermé (contour \(\mathcal{C}\)) au courant net \(I_{\text{encl}}\) qui traverse la surface délimitée par ce chemin.

Remarque Pédagogique : Cette loi est un outil puissant, mais elle n'est facile à appliquer que lorsque la symétrie du problème permet de simplifier le calcul de l'intégrale de ligne (la circulation), comme c'est le cas ici.

Formule(s) utilisée(s) :

\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{encl}}

Question 2 : Champ Magnétique à l'Extérieur (\(r > a\))

Principe :

On choisit un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r > a\), centré sur le fil. Par symétrie, le champ magnétiqur \(\vec{B}\) a une magnitude constante sur ce cercle et est partout tangent à celui-ci. Le courant total \(I\) est entièrement enlacé par ce contour.

Remarque Pédagogique : Du point de vue d'un observateur extérieur, le champ créé par un fil cylindrique est identique à celui d'un fil infiniment fin placé en son centre et transportant le même courant. La taille du fil n'a pas d'importance tant qu'on reste à l'extérieur.

Calcul :

\begin{aligned} \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} &= B \cdot (2\pi r) \\ I_{\text{encl}} &= I \\ B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 I \\ B(r) &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{aligned}

Résultat : À l'extérieur du fil, le champ magnétique est \(B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\).

Question 3 : Champ Magnétique à l'Intérieur (\(r < a\))

Principe :

On choisit un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r < a\). Le champ est toujours constant et tangent au contour, mais le courant enlacé n'est plus le courant total \(I\). Il correspond à la fraction du courant passant à travers la surface du disque de rayon \(r\).

Remarque Pédagogique : C'est ici que l'hypothèse d'une densité de courant uniforme est cruciale. Elle permet de calculer le courant enlacé par une simple règle de proportionnalité des aires. On voit que le champ magnétique part de zéro au centre et augmente linéairement jusqu'à la surface du fil.

Calcul :

D'abord, on calcule le courant enlacé. La densité de courant est \(J = \frac{I}{A_{\text{totale}}} = \frac{I}{\pi a^2}\). Le courant enlacé est \(I_{\text{encl}} = J \cdot A_{\text{encl}} = \frac{I}{\pi a^2} \cdot \pi r^2 = I \frac{r^2}{a^2}\).

\begin{aligned} \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} &= B \cdot (2\pi r) \\ B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 I_{\text{encl}} \\ B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 \left( I \frac{r^2}{a^2} \right) \\ B(r) &= \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} \end{aligned}

Résultat : À l'intérieur du fil, le champ magnétique est \(B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}\).

Question 4 : Applications Numériques

Principe :

On applique les formules trouvées aux questions précédentes en utilisant les valeurs numériques de l'énoncé. Il faut s'assurer que toutes les unités sont dans le Système International.

Remarque Pédagogique : Le calcul à la surface (\(r=a\)) est un excellent moyen de vérifier la cohérence des calculs. Les deux formules (intérieure et extérieure) doivent donner le même résultat à la frontière, ce qui est bien le cas ici : \(\frac{\mu_0 I a}{2\pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\).

Calcul :

À la surface (\(r = a = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}\)) :

\begin{aligned} B(a) &= \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \\ &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \cdot (10 \, \text{A})}{2\pi \cdot (0.002 \, \text{m})} \\ &= \frac{2 \times 10^{-6}}{0.002} \, \text{T} \\ &= 10^{-3} \, \text{T} = 1 \, \text{mT} \end{aligned}

À distance \(r = 1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\) (\(r>a\)) :

\begin{aligned} B(r) &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \\ &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \cdot (10 \, \text{A})}{2\pi \cdot (0.01 \, \text{m})} \\ &= \frac{2 \times 10^{-6}}{0.01} \, \text{T} \\ &= 2 \times 10^{-4} \, \text{T} = 0.2 \, \text{mT} \end{aligned}

Simulation Interactive du Champ Magnétique

Utilisez les curseurs pour modifier le courant total et le rayon du fil. Le graphique montre le profil du champ magnétique en fonction de la distance au centre du fil. Vous pouvez aussi déplacer le curseur "Point d'observation" pour voir la valeur du champ à un endroit précis.

Paramètres de Simulation

Courant (I): 10 A

Rayon du fil (a): 2.0 mm

Point d'observation (r): 4.0 mm

Champ en r (\(B(r)\))

Profil du Champ Magnétique \(B(r)\)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Le Câble Coaxial

Un cas d'application classique du théorème d'Ampère est le câble coaxial. Il est constitué d'une âme conductrice centrale et d'un blindage conducteur extérieur, transportant des courants égaux et opposés. En appliquant le théorème, on peut montrer que le champ magnétique est non nul uniquement entre l'âme et le blindage, et nul partout à l'extérieur du câble. C'est cette propriété qui assure le blindage électromagnétique et empêche le câble de rayonner ou de subir des interférences.

Le Solénoïde

Pour un solénoïde "infini" (très long par rapport à son rayon), le théorème d'Ampère permet de démontrer très simplement que le champ magnétique à l'intérieur est uniforme et vaut \(B = \mu_0 n I\) (où \(n\) est le nombre de spires par unité de longueur), et qu'il est quasiment nul à l'extérieur. C'est le moyen le plus courant de créer un champ magnétique uniforme contrôlé.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la symétrie est-elle si importante pour utiliser le théorème d'Ampère ?

La symétrie permet de connaître à l'avance la direction du champ magnétique \(\vec{B}\) et de savoir que sa magnitude est constante le long du contour d'Ampère choisi. Sans cette information, le vecteur \(\vec{B}\) ne peut pas être sorti de l'intégrale \(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\), rendant le calcul de cette dernière impossible ou très complexe.

Quelle est la différence avec la loi de Biot et Savart ?

La loi de Biot et Savart est plus fondamentale et universelle : elle permet de calculer le champ magnétique créé par n'importe quelle distribution de courant. Cependant, elle implique des calculs d'intégrales vectorielles souvent très compliqués. Le théorème d'Ampère est une forme intégrale de la même loi, mais il n'est facile à utiliser que pour des problèmes à haute symétrie (fil infini, solénoïde, etc.), pour lesquels il simplifie radicalement le calcul.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À l'extérieur d'un long fil cylindrique, le champ magnétique :

Est constant.
Diminue en \(1/r^2\).
Diminue en \(1/r\).
Augmente avec \(r\).

2. À l'intérieur du fil (\(r < a\)), le champ magnétique :

Est proportionnel à \(r\).
Est constant.
Est proportionnel à \(1/r\).
Est nul.

Glossaire

Théorème d’Ampère: Loi fondamentale qui établit que la circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé est égale à la perméabilité du vide multipliée par le courant total enlacé par ce contour.
Champ Magnétique (\(\vec{B}\)): Champ de force vectoriel qui décrit l'influence magnétique sur les charges électriques en mouvement, les courants électriques et les matériaux magnétiques. Son unité est le Tesla (T).
Contour d'Ampère: Boucle fermée imaginaire utilisée dans l'application du théorème d'Ampère. Le choix judicieux de ce contour, en exploitant les symétries du problème, est la clé pour simplifier le calcul.
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\)): Constante physique qui mesure la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. Elle relie le champ magnétique aux courants électriques qui en sont la source.