Analyse d'un circuit RLC série

Contexte : Le circuit RLC sérieUn circuit électrique composé d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) connectés en série. Il est fondamental pour comprendre les phénomènes de résonance et de filtrage..

Les circuits RLC sont au cœur de nombreuses applications en électronique, notamment dans les systèmes de communication pour le filtrage de fréquences, dans les oscillateurs pour générer des signaux, et dans les alimentations à découpage. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse complète d'un tel circuit en régime sinusoïdal forcé, en utilisant la méthode des phaseursUn nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une sinusoïde. Cette notation simplifie grandement l'analyse des circuits en régime alternatif. et des impédances complexes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est conçu pour renforcer votre maîtrise de l'analyse des circuits en courant alternatif. L'objectif est de vous familiariser avec le calcul des impédances, la détermination du courant et des tensions, et la compréhension du phénomène de résonance, une notion capitale en électronique.

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'impédance complexe totale d'un circuit RLC série et en déduire son module et son argument.
Déterminer le courant circulant dans le circuit en utilisant la loi d'Ohm en notation complexe.
Calculer la fréquence de résonance du circuit et analyser son comportement à cette fréquence spécifique.
Déterminer les tensions aux bornes de chaque composant et vérifier la loi des mailles de Kirchhoff.

Données de l'étude

On considère le circuit RLC série ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale e(t).

Schéma du Circuit RLC Série

Paramètre	Description	Valeur	Unité
R	Résistance	50	Ω (Ohm)
L	Inductance	20	mH (millihenry)
C	Capacité	10	µF (microfarad)
e(t)	Tension d'alimentation	\(12 \cos(1000t)\)	V (Volt)

Questions à traiter

Déterminer la pulsation \(\omega\) du signal d'entrée.
Calculer l'impédance complexe de chaque composant (Z_R, Z_L, Z_C) et l'impédance totale équivalente Z_eq du circuit.
Exprimer Z_eq sous forme polaire (module |Z_eq| et argument φ). Le circuit est-il globalement inductif ou capacitif à cette fréquence ?
Déterminer l'expression du courant complexe I, puis en déduire l'expression temporelle du courant i(t).
Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) du circuit.

Les bases sur les Circuits RLC

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser la représentation des circuits en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes.

1. Impédances Complexes
En régime sinusoïdal, chaque composant passif est caractérisé par une impédance complexe Z, qui est le rapport de la tension complexe à ses bornes sur le courant complexe qui le traverse.

Résistance (R) : \( Z_R = R \) (réelle pure)
Bobine (L) : \( Z_L = jL\omega \) (imaginaire pure positive)
Condensateur (C) : \( Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} \) (imaginaire pure négative)

Pour des composants en série, l'impédance équivalente est la somme des impédances individuelles : \( Z_{\text{eq}} = Z_R + Z_L + Z_C \).

2. Loi d'Ohm en Complexe et Résonance
La loi d'Ohm se généralise aux phaseurs : \( \underline{E} = Z_{\text{eq}} \cdot \underline{I} \). Le module de l'impédance est \(|Z_{\text{eq}}| = \sqrt{R^2 + (L\omega - \frac{1}{C\omega})^2}\) et sa phase est \(\phi = \arctan\left(\frac{L\omega - 1/C\omega}{R}\right)\). La résonance série se produit lorsque la partie imaginaire de l'impédance s'annule (\(L\omega_0 - 1/(C\omega_0) = 0\)). À cette pulsation \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\), l'impédance est minimale (\(Z_{\text{eq}} = R\)) et le courant est maximal.

Correction : Analyse d’un Circuit RLC Série

Question 1 : Déterminer la pulsation ω du signal d'entrée.

Principe

Le concept physique est l'identification des caractéristiques d'une onde sinusoïdale. La pulsation (ou fréquence angulaire) ω est un paramètre fondamental qui dicte la rapidité des oscillations du signal électrique dans le temps. Elle est directement lisible dans l'expression mathématique de la tension.

Mini-Cours

Toute grandeur sinusoïdale \(g(t)\) peut s'écrire sous la forme \(g(t) = G_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)\). \(G_{\text{max}}\) est l'amplitude maximale, \(\omega\) est la pulsation en radians par seconde (rad/s), et \(\phi\) est la phase à l'origine en radians. La pulsation est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Remarque Pédagogique

C'est la première étape cruciale de toute analyse en régime sinusoïdal. Une erreur sur la pulsation ω se répercutera sur tous les calculs d'impédance. Prenez toujours le temps de l'identifier correctement à partir de l'expression de la source.

Normes

Pour cet exercice académique, aucune norme industrielle spécifique n'est appliquée. Cependant, dans des contextes professionnels, des normes comme la série IEC 60038 définissent les tensions et fréquences standardisées des réseaux électriques (par exemple, 50 Hz en Europe).

Formule(s)

Forme canonique d'un signal sinusoïdal

e(t) = E_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi_e)

Hypothèses

On suppose que la source de tension est idéale, c'est-à-dire qu'elle fournit la tension \(e(t)\) indépendamment du courant débité, et que sa fréquence est parfaitement stable.

Donnée(s)

Paramètre	Expression
Tension d'entrée	\(e(t) = 12 \cos(1000t)\) V

Astuces

Le coefficient de la variable temps 't' à l'intérieur du cosinus est toujours la pulsation ω. Si le signal était donné avec une fréquence \(f\) en Hz, n'oubliez pas de la convertir en rad/s avec \(\omega = 2\pi f\).

Schéma (Avant les calculs)

Pour cette question, le schéma pertinent est la visualisation d'une onde cosinusoïdale, montrant son amplitude et sa période, qui est liée à la pulsation.

Visualisation du Signal d'Entrée

Calcul(s)

Identification par comparaison

\begin{aligned} e(t) &= 12 \cos(1000t) \\ E_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi_e) &= 12 \cos(1000t + 0) \\ \Rightarrow \omega &= 1000 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter la tension par un vecteur de Fresnel (phaseur) dans le plan complexe. Comme sa phase est nulle, il est aligné avec l'axe réel.

Phaseur de la Tension d'Entrée E

Réflexions

La pulsation de 1000 rad/s correspond à une fréquence de \(f = \omega / 2\pi \approx 159\) Hz. C'est une fréquence audio basse. Connaître cette valeur est la clé pour calculer la réaction des composants inductifs et capacitifs.

Points de vigilance

Ne pas confondre la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). Toutes les formules d'impédance utilisent \(\omega\). Une conversion est nécessaire si l'énoncé donne la fréquence en Hz.

Points à retenir

Pour un signal \(A \cos(\omega t + \phi)\), le terme \(\omega\) est toujours la pulsation en rad/s. C'est le premier paramètre à extraire pour toute analyse de circuit en régime sinusoïdal.

Le saviez-vous ?

Le concept de pulsation est directement hérité de la description du mouvement circulaire uniforme. Le phaseur d'un signal sinusoïdal est un vecteur qui tourne à la vitesse angulaire constante \(\omega\) dans le plan complexe.

FAQ

Résultat Final

La pulsation du signal d'entrée est \(\omega = 1000 \text{ rad/s}\).

A vous de jouer

Si la tension était \(e(t) = 24 \cos(314t + \pi/4)\), quelle serait la pulsation en rad/s ?

Question 2 : Calculer les impédances Z_R, Z_L, Z_C et Z_eq.

Principe

Le concept physique est la généralisation de la résistance au régime alternatif : l'impédance. Chaque composant (R, L, C) s'oppose au passage du courant d'une manière qui dépend de la fréquence. L'impédance complexe Z capture à la fois cette opposition (son module) et le déphasage tension-courant qu'elle introduit (son argument).

Mini-Cours

L'impédance d'une résistance est réelle car la tension et le courant sont en phase. L'impédance d'une bobine est imaginaire pure positive car la tension est en avance de 90° sur le courant. Celle d'un condensateur est imaginaire pure négative car la tension est en retard de 90° sur le courant. Pour des composants en série, leurs effets s'additionnent, d'où la somme des impédances complexes.

Remarque Pédagogique

Cette étape transforme un problème de circuit avec des équations différentielles en un simple problème d'algèbre avec des nombres complexes. C'est toute la puissance de la méthode des phaseurs. Soyez méthodique dans le calcul de chaque impédance avant de les sommer.

Normes

Les symboles R, L, C et Z sont standardisés au niveau international par la Commission Électrotechnique Internationale (IEC), notamment dans la norme IEC 60027.

Formule(s)

Impédance de la résistance

\[ Z_R = R \]

Impédance de la bobine

Z_L = jL\omega

Impédance du condensateur

Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega}

Impédance équivalente série

Z_{\text{eq}} = Z_R + Z_L + Z_C

Hypothèses

On suppose que les composants sont idéaux : la résistance est purement résistive (sans effets inductifs ou capacitifs parasites), la bobine est purement inductive (sans résistance interne), et le condensateur est parfait (sans fuite de courant).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	50	\(\text{Ω}\)
Inductance	L	20 x 10⁻³	\(\text{H}\)
Capacité	C	10 x 10⁻⁶	\(\text{F}\)
Pulsation	ω	1000	\(\text{rad/s}\)

Astuces

Attention aux unités ! L'inductance est souvent en mH et la capacité en µF ou nF. Convertissez-les toujours en unités de base (Henry et Farad) avant de commencer le calcul pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou 1 000 000.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma du circuit série montre bien que le même courant traverse les trois composants, justifiant l'addition de leurs impédances pour trouver l'impédance totale vue par la source.

Circuit RLC Série

Calcul(s)

Calcul de l'impédance de la résistance

Z_R = R = 50 \, \text{Ω}

Calcul de l'impédance de la bobine

\begin{aligned} Z_L &= jL\omega \\ &= j \times (20 \times 10^{-3}) \times 1000 \\ &= j20 \, \text{Ω} \end{aligned}

Calcul de l'impédance du condensateur

\begin{aligned} Z_C &= -\frac{j}{C\omega} \\ &= -\frac{j}{(10 \times 10^{-6}) \times 1000} \\ &= -\frac{j}{10^{-2}} \\ &= -j100 \, \text{Ω} \end{aligned}

Calcul de l'impédance totale équivalente

\begin{aligned} Z_{\text{eq}} &= Z_R + Z_L + Z_C \\ &= 50 + j20 - j100 \\ &= 50 - j80 \, \text{Ω} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter la construction de Z_eq dans le plan complexe. C'est le diagramme de Fresnel des impédances.

Diagramme des Impédances

Réflexions

Le résultat \(Z_{\text{eq}} = 50 - j80 \, \text{Ω}\) est un nombre complexe. Sa partie réelle (50 Ω) représente la dissipation d'énergie (chaleur) dans la résistance. Sa partie imaginaire (-80 Ω) représente l'échange d'énergie réactive entre la source et les composants L et C. Le signe négatif indique que l'effet capacitif l'emporte sur l'effet inductif.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur de signe ou de calcul avec les nombres complexes. Rappelez-vous que \(1/j = -j\). Vérifiez bien vos additions de parties réelles et imaginaires.

Points à retenir

Les impédances en série s'additionnent comme des résistances. L'impédance totale est un nombre complexe qui contient toute l'information sur le comportement global du circuit à une fréquence donnée.

Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance a été introduit par Oliver Heaviside dans les années 1880, et la notation complexe (phaseurs) a été popularisée par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric, qui a ainsi révolutionné l'analyse des circuits de puissance.

FAQ

Résultat Final

Les impédances sont : \(Z_R = 50 \text{ Ω}\), \(Z_L = j20 \text{ Ω}\), \(Z_C = -j100 \text{ Ω}\), et l'impédance totale est \(Z_{\text{eq}} = 50 - j80 \text{ Ω}\).

A vous de jouer

Recalculez l'impédance totale \(Z_{\text{eq}}\) si la pulsation double pour atteindre ω = 2000 rad/s. Entrez la partie imaginaire du résultat.

Question 3 : Exprimer Z_eq en polaire et qualifier le circuit.

Principe

Le concept physique est la double représentation de l'impédance. La forme rectangulaire (R + jX) est utile pour additionner des impédances en série, tandis que la forme polaire (|Z|∠φ) est idéale pour les multiplications et divisions, comme dans la loi d'Ohm. Le module |Z| représente l'opposition totale au courant, et l'angle φ le déphasage global entre tension et courant.

Mini-Cours

Un nombre complexe \(z = a + jb\) peut être vu comme un point de coordonnées (a, b) dans le plan complexe. Sa forme polaire est \(z = |z|(\cos\phi + j\sin\phi) = |z|e^{j\phi}\), notée \(|z|\angle\phi\). Le module \(|z|\) est la distance à l'origine, et l'argument \(\phi\) est l'angle avec l'axe réel. Si \(\phi > 0\), le circuit est dit inductif. Si \(\phi < 0\), il est capacitif. Si \(\phi = 0\), il est résistif (à la résonance).

Remarque Pédagogique

Passer de la forme rectangulaire à la forme polaire est une compétence mathématique essentielle en électricité. Entraînez-vous à le faire rapidement. Le signe de la partie imaginaire vous donne immédiatement une information qualitative (inductif ou capacitif) avant même de calculer l'angle.

Normes

La notation \(|Z|\angle\phi\) est une convention d'ingénieur très répandue. La notation mathématique formelle est \(|Z|e^{j\phi}\), conformément à la norme ISO 80000-2 pour les grandeurs et unités.

Formule(s)

Formule du module

|Z_{\text{eq}}| = \sqrt{R^2 + X^2}

Formule de l'argument

\phi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)

Hypothèses

On suppose l'utilisation de la fonction arctan à deux arguments (atan2) ou une vérification manuelle du quadrant pour déterminer l'angle correct, car la fonction arctan simple a une image limitée à ]-90°, +90°[.

Donnée(s)

Paramètre	Expression
Impédance rectangulaire	\(Z_{\text{eq}} = 50 - j80 \, \text{Ω}\)

Astuces

La plupart des calculatrices scientifiques ont une fonction de conversion rectangulaire vers polaire (souvent notée "Pol(" ou "->r∠θ"). C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs manuels.

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme des impédances de la question 2, montrant le vecteur Z_eq dans le quatrième quadrant, nous permet d'anticiper que son angle sera négatif.

Vecteur Impédance dans le Plan Complexe

Calcul(s)

Calcul du module de Z_eq

\begin{aligned} |Z_{\text{eq}}| &= \sqrt{50^2 + (-80)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 6400} \\ &= \sqrt{8900} \\ &\approx 94.34 \, \text{Ω} \end{aligned}

Calcul de l'argument de Z_eq

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{-80}{50}\right) \\ &= \arctan(-1.6) \\ &\approx -57.99^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de Fresnel de Z_eq peut maintenant être annoté avec son module (la longueur du vecteur) et son angle.

Impédance en Coordonnées Polaires

Réflexions

La partie imaginaire de Z_eq est négative (\(-j80\)), et donc l'angle de phase \(\phi\) est négatif. Cela signifie que la réactance capacitive (\(X_C = 100 \, \text{Ω}\)) est plus grande que la réactance inductive (\(X_L = 20 \, \text{Ω}\)) à cette fréquence. Le circuit se comporte donc globalement comme un circuit RC. La tension aux bornes du circuit sera en retard sur le courant qui le traverse.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est dans le bon mode (degrés ou radians) selon ce qui est demandé. Ici, les degrés sont plus intuitifs. Vérifiez toujours le quadrant : une partie réelle positive et une partie imaginaire négative placent le vecteur dans le 4ème quadrant, donc l'angle doit être entre -90° et 0°.

Points à retenir

La conversion rectangulaire -> polaire est fondamentale.
Le module |Z| est l'amplitude de l'opposition au courant.
Le signe de l'angle φ indique le caractère du circuit : négatif pour capacitif, positif pour inductif.

Le saviez-vous ?

Le plan complexe utilisé pour représenter les phaseurs est aussi appelé "plan d'Argand", du nom du mathématicien amateur Jean-Robert Argand qui a publié une interprétation géométrique des nombres complexes en 1806. Cette représentation a rendu leur manipulation beaucoup plus intuitive pour les physiciens et les ingénieurs.

FAQ

Résultat Final

L'impédance sous forme polaire est \(Z_{\text{eq}} \approx 94.34 \angle -57.99^\circ \, \text{Ω}\). Le circuit est à caractère capacitif.

A vous de jouer

Pour ω = 2000 rad/s, on a trouvé \(Z_{\text{eq}} = 50 - j10 \, \text{Ω}\). Quel est le module de cette impédance ?

Question 4 : Déterminer le courant complexe I et temporel i(t).

Principe

Le concept physique est l'application de la loi d'Ohm en régime sinusoïdal. Tout comme \(U = RI\) en continu, on utilise \(\underline{E} = Z_{\text{eq}} \cdot \underline{I}\) en alternatif avec les phaseurs. Pour trouver le courant, on divise le phaseur de tension par l'impédance complexe totale.

Mini-Cours

La division de deux nombres complexes se fait très simplement avec la forme polaire. Si \(\underline{E} = |E|\angle\phi_e\) et \(Z_{\text{eq}} = |Z|\angle\phi_z\), alors le courant \(\underline{I} = \underline{E}/Z_{\text{eq}}\) a pour module \(|I| = |E|/|Z|\) et pour argument \(\phi_i = \phi_e - \phi_z\). Une fois le phaseur \(\underline{I}\) obtenu, on repasse à l'expression temporelle via \(i(t) = |I|\cos(\omega t + \phi_i)\).

Remarque Pédagogique

C'est ici que l'utilité de la forme polaire devient évidente. Calculer \((12)/(50 - j80)\) est fastidieux, mais diviser \(12\angle 0^\circ\) par \(94.34\angle -57.99^\circ\) est immédiat. Le résultat vous donne directement l'amplitude du courant et son déphasage par rapport à la tension d'entrée.

Normes

La notation d'un phaseur par une lettre soulignée (ex: \(\underline{I}\)) est une convention courante en ingénierie électrique pour le distinguer de sa valeur instantanée \(i(t)\) ou de son amplitude \(|I|\).

Formule(s)

Loi d'Ohm complexe

\underline{I} = \frac{\underline{E}}{Z_{\text{eq}}}

Conversion du phaseur en signal temporel

i(t) = |\underline{I}| \cos(\omega t + \arg(\underline{I}))

Hypothèses

On suppose que le circuit a atteint son régime permanent sinusoïdal. Les phénomènes transitoires de la mise sous tension sont ignorés.

Donnée(s)

Paramètre	Expression
Phaseur tension	\(\underline{E} = 12 \angle 0^\circ\) V
Impédance polaire	\(Z_{\text{eq}} \approx 94.34 \angle -57.99^\circ \, \text{Ω}\)

Astuces

Lors de la soustraction des angles, faites très attention aux signes : \(\phi_i = \phi_e - \phi_z\). Si \(\phi_z\) est négatif, cela devient une addition : \(0 - (-57.99^\circ) = +57.99^\circ\).

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme de Fresnel de la tension d'entrée \(\underline{E}\), qui est notre vecteur de référence sur l'axe réel.

Phaseur de la Tension d'Entrée E

Calcul(s)

Calcul du courant complexe I

\begin{aligned} \underline{I} &= \frac{\underline{E}}{Z_{\text{eq}}} \\ &= \frac{12 \angle 0^\circ}{94.34 \angle -57.99^\circ} \\ &= \frac{12}{94.34} \angle (0^\circ - (-57.99^\circ)) \\ &\approx 0.127 \angle 57.99^\circ \, \text{A} \end{aligned}

Expression du courant temporel i(t)

i(t) \approx 0.127 \cos(1000t + 57.99^\circ) \, \text{A}

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de Fresnel complet montre le vecteur tension \(\underline{E}\) sur l'axe réel et le vecteur courant \(\underline{I}\) avec son amplitude et son avance de phase.

Diagramme de Fresnel Tension et Courant

Réflexions

La phase du courant est positive (\(+57.99^\circ\)), ce qui signifie que le courant est en avance sur la tension. Physiquement, cela veut dire que le courant atteint son maximum d'amplitude environ 58/360ème de période avant la tension. C'est la confirmation finale du caractère capacitif du circuit.

Points de vigilance

N'oubliez pas de revenir à l'expression temporelle à la fin. Le phaseur \(\underline{I}\) est un outil de calcul, mais la grandeur physique réelle est \(i(t)\). Assurez-vous d'inclure l'amplitude, le cosinus, la pulsation \(\omega\) et la phase dans la réponse finale.

Points à retenir

La loi d'Ohm complexe \(\underline{I} = \underline{E} / Z_{\text{eq}}\) est la relation centrale pour trouver le courant dans n'importe quel circuit linéaire en régime sinusoïdal. La phase du courant est l'opposée de la phase de l'impédance (si la tension est la référence de phase).

Le saviez-vous ?

La notion de courant "en avance" ou "en retard" a été un point de débat majeur lors de la "guerre des courants" entre Thomas Edison (partisan du courant continu) et Nikola Tesla (partisan de l'alternatif). Les déphasages et la puissance réactive étaient des concepts complexes que les partisans du DC utilisaient pour arguer que l'AC était inefficace.

FAQ

Résultat Final

Le courant dans le circuit est \(i(t) \approx 0.127 \cos(1000t + 57.99^\circ)\) A.

A vous de jouer

Si la tension d'entrée était \(e(t) = 12 \cos(1000t + 20^\circ)\), quelle serait la phase du courant i(t) en degrés ?

Question 5 : Calculer la fréquence de résonance f₀.

Principe

Le concept physique est la résonance, un phénomène où un système oscillant répond avec une amplitude maximale à une excitation externe d'une fréquence particulière. En électricité, c'est la fréquence où les effets de l'inductance et de la capacité se compensent exactement, minimisant l'opposition du circuit au passage du courant.

Mini-Cours

La résonance série se produit lorsque la partie imaginaire de l'impédance (\(X_{\text{eq}} = X_L + X_C\)) est nulle. Comme \(X_L = L\omega\) et \(X_C = -1/C\omega\), la condition est \(L\omega_0 - 1/(C\omega_0) = 0\). Cela mène à \(\omega_0^2 = 1/LC\). À cette pulsation de résonance \(\omega_0\), l'impédance est purement réelle et minimale (\(Z_{\text{eq}} = R\)), et donc le courant est maximal (\(I_{\text{max}} = E/R\)).

Remarque Pédagogique

La fréquence de résonance est une propriété intrinsèque du circuit, déterminée uniquement par L et C. Elle ne dépend ni de la résistance, ni de la tension appliquée. C'est le "point de fonctionnement" naturel du circuit, celui où il "vibre" le plus facilement.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour la valeur d'une fréquence de résonance, car elle est spécifique à chaque conception de circuit (filtres, oscillateurs, etc.).

Formule(s)

Pulsation de résonance

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Fréquence de résonance

f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}

Hypothèses

On continue de supposer que les composants L et C sont idéaux et que leurs valeurs ne changent pas avec la fréquence ou la température.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Inductance	L	20 x 10⁻³	\(\text{H}\)
Capacité	C	10 x 10⁻⁶	\(\text{F}\)

Astuces

Le produit LC a la dimension d'un temps au carré (\(\text{s}^2\)). Pensez à \(1/\sqrt{LC}\) comme l'inverse d'une constante de temps, ce qui donne bien une pulsation en rad/s. Cela peut vous aider à vérifier la cohérence de la formule.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la résonance comme le point où les courbes des réactances \(X_L(\omega) = L\omega\) (une droite) et \(|X_C(\omega)| = 1/C\omega\) (une hyperbole) se croisent.

Condition de Résonance

Calcul(s)

Calcul de la pulsation de résonance ω₀

\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(20 \times 10^{-3}) \times (10 \times 10^{-6})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{20 \times 10^{-8}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-7}}} \\ &\approx 2236 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Calcul de la fréquence de résonance f₀

\begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{2236}{2\pi} \\ &\approx 355.9 \, \text{Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat peut être visualisé sur la courbe de réponse en courant du circuit. La fréquence calculée, \(f_0\), correspond précisément au pic de la courbe, où le courant est maximal.

Courbe de Résonance du Courant

Réflexions

La fréquence de fonctionnement de l'exercice (159 Hz) est bien inférieure à la fréquence de résonance (356 Hz). Dans un circuit RLC série, lorsque la fréquence de travail est inférieure à la fréquence de résonance, le terme capacitif \(|X_C| = 1/C\omega\) domine le terme inductif \(X_L = L\omega\). Cela confirme une fois de plus le caractère capacitif global du circuit dans les conditions de l'énoncé.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'oubli de la racine carrée ou une erreur dans la manipulation des puissances de 10 lors du calcul du produit LC. Faites le calcul par étapes pour éviter les erreurs.

Points à retenir

La fréquence de résonance \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})\) est l'une des formules les plus importantes de l'électronique. Elle définit la fréquence à laquelle un circuit LC "préfère" osciller et où un circuit RLC série laisse passer le plus de courant.

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de résonance qui vous permet de sélectionner une station de radio. Le circuit de votre récepteur est un circuit RLC dont vous faites varier la capacité (en tournant le bouton). Lorsque la fréquence de résonance de votre circuit correspond à la fréquence de la station, le courant de ce signal est amplifié au maximum et vous entendez la radio !

FAQ

Résultat Final

La fréquence de résonance du circuit est d'environ 356 Hz.

A vous de jouer

Si on remplace le condensateur par un autre de 40 µF (quatre fois plus grand), que devient la fréquence de résonance f₀ en Hz ?

Outil Interactif : Courbe de Résonance

Utilisez ce simulateur pour visualiser l'amplitude du courant |I| en fonction de la fréquence d'alimentation. Observez comment le pic de courant (résonance) se déplace lorsque vous modifiez la valeur de la capacité C.

Paramètres d'Entrée

Capacité C (µF) 10 µF

Résistance R (Ω) 50 Ω

Résultats à la Résonance

Fréq. de Résonance f₀ (Hz) -

Courant Max |I_max| (A) -

Impédance (Z): Généralisation de la notion de résistance aux circuits en régime sinusoïdal. C'est un nombre complexe qui représente l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif.
Réactance (X): Partie imaginaire de l'impédance (X = Im(Z)). Elle est due aux composants capacitifs (réactance négative) et inductifs (réactance positive) et représente l'énergie stockée et restituée par ces composants.
Résonance: Phénomène qui se produit à une fréquence particulière (fréquence de résonance) dans un circuit contenant des éléments capacitifs et inductifs. À la résonance série, l'impédance est minimale, entraînant un courant maximal.
Phaseur (ou Vecteur de Fresnel): Représentation d'une grandeur sinusoïdale (tension ou courant) par un vecteur tournant dans le plan complexe. Sa longueur représente l'amplitude et son angle la phase.

Analyse d’un circuit RLC série

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Les bases sur les Circuits RLC

Correction : Analyse d’un Circuit RLC Série

Question 1 : Déterminer la pulsation ω du signal d'entrée.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du Signal d'Entrée

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Phaseur de la Tension d'Entrée E

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calculer les impédances Z_R, Z_L, Z_C et Z_eq.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Circuit RLC Série

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Diagramme des Impédances

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Exprimer Z_eq en polaire et qualifier le circuit.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Vecteur Impédance dans le Plan Complexe

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Impédance en Coordonnées Polaires

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Déterminer le courant complexe I et temporel i(t).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)