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Analyse d’un Circuit avec Condensateurs

Analyse d’un Circuit avec Condensateurs

Analyse d’un Circuit avec Condensateurs

Comprendre l'Analyse de Circuits avec Condensateurs

Les condensateurs sont des composants électroniques qui stockent l'énergie sous forme de champ électrique. En courant continu (DC), une fois qu'un condensateur est complètement chargé, il se comporte comme un circuit ouvert, c'est-à-dire qu'aucun courant ne le traverse. Cependant, une tension existe à ses bornes. Lorsque plusieurs condensateurs sont connectés dans un circuit, la manière dont la tension de la source se répartit entre eux et la charge totale stockée dépendent de leurs capacités et de leur configuration (série ou parallèle). L'analyse de tels circuits en régime permanent (après que tous les condensateurs soient chargés) est cruciale pour comprendre le stockage d'énergie et la distribution des tensions.

Données de l'étude

Un circuit est alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{s}}\). Le circuit est composé d'un condensateur \(C_1\) en série avec un groupement parallèle de deux autres condensateurs, \(C_2\) et \(C_3\).

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
  • Capacité \(C_1\) : \(10 \, \mu\text{F}\)
  • Capacité \(C_2\) : \(20 \, \mu\text{F}\)
  • Capacité \(C_3\) : \(30 \, \mu\text{F}\)

On s'intéresse à l'état du circuit une fois que tous les condensateurs sont complètement chargés (régime permanent).

Schéma : Circuit avec Condensateurs en Série et Parallèle
Vs 24V + − C1 10µF A C2 20µF C3 30µF B

Circuit DC avec condensateurs en série et parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la capacité équivalente (\(C_{\text{eq23}}\)) du groupement parallèle formé par \(C_2\) et \(C_3\).
  2. Calculer la capacité totale équivalente (\(C_{\text{total}}\)) du circuit, en considérant \(C_1\) en série avec \(C_{\text{eq23}}\).
  3. En régime permanent, quelle est la charge totale (\(Q_{\text{total}}\)) stockée par la capacité équivalente du circuit ? (Cette charge est la même sur \(C_1\) et sur le groupement \(C_{\text{eq23}}\)).
  4. Calculer la tension (\(V_{\text{C1}}\)) aux bornes du condensateur \(C_1\).
  5. Calculer la tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(C_2 // C_3\)).
  6. Calculer la charge (\(Q_2\)) stockée sur le condensateur \(C_2\).
  7. Calculer la charge (\(Q_3\)) stockée sur le condensateur \(C_3\).
  8. Vérifier que la somme des charges \(Q_2 + Q_3\) est égale à la charge \(Q_{\text{total}}\).
  9. Calculer l'énergie (\(E_1\)) stockée dans \(C_1\), l'énergie (\(E_2\)) dans \(C_2\), et l'énergie (\(E_3\)) dans \(C_3\).
  10. Calculer l'énergie totale (\(E_{\text{total}}\)) stockée dans le circuit et la comparer à l'énergie stockée par la capacité équivalente \(C_{\text{total}}\) soumise à \(V_s\).

Correction : Analyse d’un Circuit avec Condensateurs

Question 1 : Capacité équivalente (\(C_{\text{eq23}}\)) de \(C_2 // C_3\)

Principe :

Lorsque des condensateurs sont connectés en parallèle, leurs capacités s'additionnent pour donner la capacité équivalente. Chaque condensateur est soumis à la même tension, et la charge totale stockée par le groupement est la somme des charges individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_{\text{eq23}} = C_2 + C_3\]
Données spécifiques :
  • \(C_2 = 20 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_3 = 30 \, \mu\text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{\text{eq23}} &= 20 \, \mu\text{F} + 30 \, \mu\text{F} \\ &= 50 \, \mu\text{F} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La capacité équivalente du groupement \(C_2 // C_3\) est \(C_{\text{eq23}} = 50 \, \mu\text{F}\).

Question 2 : Capacité totale équivalente (\(C_{\text{total}}\))

Principe :

Le condensateur \(C_1\) est en série avec le groupement parallèle \(C_{\text{eq23}}\). Pour des condensateurs en série, l'inverse de la capacité totale est la somme des inverses des capacités individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{\text{eq23}}}\] \[C_{\text{total}} = \frac{C_1 \times C_{\text{eq23}}}{C_1 + C_{\text{eq23}}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_1 = 10 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_{\text{eq23}} = 50 \, \mu\text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{\text{total}} &= \frac{10 \, \mu\text{F} \times 50 \, \mu\text{F}}{10 \, \mu\text{F} + 50 \, \mu\text{F}} \\ &= \frac{500 \, (\mu\text{F})^2}{60 \, \mu\text{F}} \\ &= \frac{50}{6} \, \mu\text{F} = \frac{25}{3} \, \mu\text{F} \\ &\approx 8.333... \, \mu\text{F} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La capacité totale équivalente du circuit est \(C_{\text{total}} \approx 8.33 \, \mu\text{F}\).

Question 3 : Charge totale (\(Q_{\text{total}}\)) stockée

Principe :

La charge totale stockée par la capacité équivalente \(C_{\text{total}}\) lorsqu'elle est soumise à la tension de source \(V_{\text{s}}\) est \(Q_{\text{total}} = C_{\text{total}} \times V_{\text{s}}\). Dans un montage série de condensateurs (ici, \(C_1\) en série avec \(C_{\text{eq23}}\)), chaque élément (ou groupement équivalent) en série stocke cette même charge totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{\text{total}} = C_{\text{total}} V_{\text{s}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{total}} = \frac{25}{3} \, \mu\text{F} = \frac{25}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{total}} &= \left(\frac{25}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}\right) \times 24 \, \text{V} \\ &= (25 \times 8) \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 200 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 200 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge totale stockée est \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C}\). C'est la charge sur \(C_1\) et sur le groupement \(C_{\text{eq23}}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la tension de la source \(V_s\) est doublée, la charge totale \(Q_{total}\) stockée par la capacité équivalente :

Question 4 : Tension (\(V_{\text{C1}}\)) aux bornes de \(C_1\)

Principe :

La tension aux bornes d'un condensateur est \(V = Q/C\). Puisque \(C_1\) stocke la charge \(Q_{\text{total}}\), \(V_{\text{C1}} = Q_{\text{total}} / C_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{C1}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_1}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C} = 200 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(C_1 = 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{C1}} &= \frac{200 \times 10^{-6} \, \text{C}}{10 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= 20 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(C_1\) est \(V_{\text{C1}} = 20 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(C_2 // C_3\))

Principe :

La tension aux bornes du groupement parallèle \(C_{\text{eq23}}\) (entre les nœuds A et B) est \(V_{\text{AB}} = Q_{\text{total}} / C_{\text{eq23}}\). Alternativement, par la loi des mailles, \(V_{\text{s}} = V_{\text{C1}} + V_{\text{AB}}\), donc \(V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_{\text{C1}}\). Cette tension \(V_{\text{AB}}\) est la même aux bornes de \(C_2\) et de \(C_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_{\text{C1}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
  • \(V_{\text{C1}} = 20 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{AB}} &= 24 \, \text{V} - 20 \, \text{V} \\ &= 4 \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre méthode : \(V_{\text{AB}} = Q_{\text{total}} / C_{\text{eq23}} = (200 \, \mu\text{C}) / (50 \, \mu\text{F}) = 4 \, \text{V}\).

Résultat Question 5 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{AB}} = 4 \, \text{V}\).

Question 6 : Charge (\(Q_2\)) stockée sur \(C_2\)

Principe :

La charge sur un condensateur est \(Q = CV\). La tension aux bornes de \(C_2\) est \(V_{\text{AB}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_2 = C_2 V_{\text{AB}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_2 = 20 \, \mu\text{F}\)
  • \(V_{\text{AB}} = 4 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_2 &= (20 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 4 \, \text{V} \\ &= 80 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 80 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La charge stockée sur \(C_2\) est \(Q_2 = 80 \, \mu\text{C}\).

Question 7 : Charge (\(Q_3\)) stockée sur \(C_3\)

Principe :

De même, \(Q_3 = C_3 V_{\text{AB}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_3 = C_3 V_{\text{AB}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_3 = 30 \, \mu\text{F}\)
  • \(V_{\text{AB}} = 4 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_3 &= (30 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 4 \, \text{V} \\ &= 120 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 120 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La charge stockée sur \(C_3\) est \(Q_3 = 120 \, \mu\text{C}\).

Question 8 : Vérification de la charge totale sur le groupement parallèle

Principe :

La charge totale \(Q_{\text{total}}\) (qui est la charge sur \(C_1\)) doit être égale à la somme des charges stockées sur les condensateurs du groupement parallèle (\(Q_2 + Q_3\)), car cette charge \(Q_{\text{total}}\) s'est répartie entre \(C_2\) et \(C_3\).

Données calculées :
  • \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C}\)
  • \(Q_2 = 80 \, \mu\text{C}\)
  • \(Q_3 = 120 \, \mu\text{C}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} Q_2 + Q_3 &= 80 \, \mu\text{C} + 120 \, \mu\text{C} \\ &= 200 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(Q_{\text{total}} = 200 \, \mu\text{C}\) :

\[200 \, \mu\text{C} = 200 \, \mu\text{C} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 8 : La somme des charges sur \(C_2\) et \(C_3\) est bien égale à la charge totale \(Q_{\text{total}}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un groupement de condensateurs en série, quelle grandeur est la même pour chaque condensateur ?

Question 9 : Énergie stockée dans chaque condensateur

Principe :

L'énergie \(E\) stockée dans un condensateur est donnée par \(E = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E = \frac{1}{2}CV^2\]
Données et Calculs :

Pour \(C_1\): \(C_1=10\,\mu\text{F}\), \(V_{\text{C1}}=20\,\text{V}\)

\[ \begin{aligned} E_1 &= \frac{1}{2} C_1 V_{\text{C1}}^2 \\ &= \frac{1}{2} (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) (20 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} (10 \times 10^{-6}) (400) \, \text{J} \\ &= 2000 \times 10^{-6} \, \text{J} = 2 \times 10^{-3} \, \text{J} = 2 \, \text{mJ} \end{aligned} \]

Pour \(C_2\): \(C_2=20\,\mu\text{F}\), \(V_{\text{C2}}=V_{\text{AB}}=4\,\text{V}\)

\[ \begin{aligned} E_2 &= \frac{1}{2} C_2 V_{\text{AB}}^2 \\ &= \frac{1}{2} (20 \times 10^{-6} \, \text{F}) (4 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} (20 \times 10^{-6}) (16) \, \text{J} \\ &= 160 \times 10^{-6} \, \text{J} = 0.16 \times 10^{-3} \, \text{J} = 0.16 \, \text{mJ} \end{aligned} \]

Pour \(C_3\): \(C_3=30\,\mu\text{F}\), \(V_{\text{C3}}=V_{\text{AB}}=4\,\text{V}\)

\[ \begin{aligned} E_3 &= \frac{1}{2} C_3 V_{\text{AB}}^2 \\ &= \frac{1}{2} (30 \times 10^{-6} \, \text{F}) (4 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} (30 \times 10^{-6}) (16) \, \text{J} \\ &= 240 \times 10^{-6} \, \text{J} = 0.24 \times 10^{-3} \, \text{J} = 0.24 \, \text{mJ} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 :
  • Énergie dans \(C_1\) : \(E_1 = 2 \, \text{mJ}\)
  • Énergie dans \(C_2\) : \(E_2 = 0.16 \, \text{mJ}\)
  • Énergie dans \(C_3\) : \(E_3 = 0.24 \, \text{mJ}\)

Question 10 : Énergie totale stockée

Principe :

L'énergie totale stockée est la somme des énergies stockées dans chaque condensateur. Elle peut aussi être calculée à partir de la capacité totale équivalente et de la tension de la source : \(E_{\text{total}} = \frac{1}{2}C_{\text{total}}V_{\text{s}}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{\text{total}} = E_1 + E_2 + E_3\] \[E_{\text{total\_eq}} = \frac{1}{2}C_{\text{total}}V_{\text{s}}^2\]
Données :
  • \(E_1 = 2 \times 10^{-3} \, \text{J}\)
  • \(E_2 = 0.16 \times 10^{-3} \, \text{J}\)
  • \(E_3 = 0.24 \times 10^{-3} \, \text{J}\)
  • \(C_{\text{total}} = \frac{25}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_{\text{s}} = 24 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{total}} &= (2 + 0.16 + 0.24) \times 10^{-3} \, \text{J} \\ &= 2.40 \times 10^{-3} \, \text{J} = 2.40 \, \text{mJ} \\ E_{\text{total\_eq}} &= \frac{1}{2} \times \left(\frac{25}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}\right) \times (24 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 10^{-6} \times 576 \, \text{J} \\ &= \frac{25 \times 192}{2} \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 25 \times 96 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 2400 \times 10^{-6} \, \text{J} = 2.4 \times 10^{-3} \, \text{J} = 2.40 \, \text{mJ} \end{aligned} \]

Comparaison : \(E_{\text{total}} = 2.40 \, \text{mJ}\) et \(E_{\text{total\_eq}} = 2.40 \, \text{mJ}\).

Résultat Question 10 : L'énergie totale stockée dans le circuit est \(E_{\text{total}} = 2.40 \, \text{mJ}\). Les deux méthodes de calcul donnent le même résultat.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lorsqu'on ajoute un condensateur en série à un autre condensateur, la capacité équivalente :

2. En régime permanent DC, le courant à travers un condensateur idéal est :

3. L'énergie stockée dans un condensateur est proportionnelle :

Glossaire

Condensateur
Composant passif qui stocke l'énergie électrique dans un champ électrique. Il est constitué de deux conducteurs (armatures) séparés par un matériau isolant (diélectrique).
Capacité (C)
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker une charge électrique pour une tension donnée. Unité : Farad (F). \(C = Q/V\).
Charge Électrique (Q)
Quantité d'électricité. Sur un condensateur, c'est la quantité de charge accumulée sur ses armatures. Unité : Coulomb (C).
Tension (V)
Différence de potentiel électrique entre deux points. Unité : Volt (V).
Régime Permanent (DC)
État d'un circuit DC où les tensions et courants ne varient plus dans le temps. Un condensateur complètement chargé se comporte comme un circuit ouvert (courant nul).
Condensateurs en Série
Les condensateurs sont connectés bout à bout. La charge est la même sur chaque condensateur. L'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités : \(\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ...\)
Condensateurs en Parallèle
Les condensateurs sont connectés aux mêmes deux nœuds. La tension est la même à leurs bornes. La capacité équivalente est la somme des capacités : \(C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + ...\)
Énergie Stockée dans un Condensateur (E)
Énergie emmagasinée dans le champ électrique d'un condensateur. Formules : \(E = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\). Unité : Joule (J).
Analyse d’un Circuit avec Condensateurs

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