Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal
Analyser un circuit R-L série alimenté en courant alternatif sinusoïdal et calculer ses grandeurs caractéristiques.
Les circuits R-L (Résistance - Inductance) sont fondamentaux en électrotechnique. Lorsqu'ils sont alimentés par une tension alternative sinusoïdale, leur comportement est caractérisé par l'impédance, qui combine la résistance et la réactance inductive.
Pour un circuit R-L série :
- La réactance inductive (\(X_L\)) d'une bobine d'inductance \(L\) est donnée par \(X_L = L\omega = 2\pi f L\), où \(f\) est la fréquence et \(\omega\) la pulsation.
- L'impédance (\(Z\)) du circuit est \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
- Le courant efficace (\(I\)) est \(I = U/Z\), où \(U\) est la tension efficace aux bornes du circuit.
- Le déphasage (\(\phi\)) du courant par rapport à la tension est donné par \(\tan \phi = X_L/R\). Dans un circuit RL, le courant est en retard sur la tension (\(\phi > 0\)).
- La puissance active (\(P\)) est \(P = UI \cos \phi = RI^2\).
- La puissance réactive (\(Q\)) est \(Q = UI \sin \phi = X_L I^2\).
- La puissance apparente (\(S\)) est \(S = UI = ZI^2\).
Données du Problème
Un circuit R-L série est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale de valeur efficace \(U = 230 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).
Le circuit comprend :
- Une résistance : \(R = 30 \text{ } \Omega\)
- Une bobine d'inductance : \(L = 100 \text{ mH}\)
Questions
- Convertir l'inductance \(L\) en Henry (H).
- Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
- Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
- Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
- Calculer l'intensité efficace \(I\) du courant dans le circuit.
- Calculer l'angle de déphasage \(\phi\) (en degrés) entre la tension et le courant. Préciser si le courant est en avance ou en retard sur la tension.
- Calculer la puissance active \(P\) consommée par le circuit.
- Calculer la puissance réactive \(Q\) consommée par le circuit.
- Calculer la puissance apparente \(S\) du circuit.
- Vérifier la relation \(S^2 = P^2 + Q^2\).
Correction : Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal
1. Conversion de l'Inductance \(L\)
Il faut convertir les millihenrys (mH) en Henrys (H).
Données :
\(L = 100 \text{ mH}\)
1 mH = \(10^{-3}\) H
L'inductance est \(L = 0.100 \text{ H}\).
2. Calcul de la Pulsation \(\omega\)
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314 \text{ rad/s}\).
3. Calcul de la Réactance Inductive \(X_L\)
La réactance inductive \(X_L\) est donnée par \(X_L = L\omega\).
Données :
\(L = 0.100 \text{ H}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
La réactance inductive est \(X_L \approx 31.4 \text{ } \Omega\).
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4. Calcul de l'Impédance Totale \(Z\)
L'impédance \(Z\) est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
Données :
\(R = 30 \text{ } \Omega\)
\(X_L \approx 31.416 \text{ } \Omega\)
L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 43.4 \text{ } \Omega\).
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5. Calcul de l'Intensité Efficace \(I\)
On utilise la loi d'Ohm en alternatif : \(I = U/Z\).
Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(Z \approx 43.44 \text{ } \Omega\)
L'intensité efficace du courant est \(I \approx 5.29 \text{ A}\).
6. Calcul de l'Angle de Déphasage \(\phi\)
L'angle de déphasage \(\phi\) est donné par \(\tan \phi = X_L/R\). On peut aussi utiliser \(\cos \phi = R/Z\) ou \(\sin \phi = X_L/Z\).
Données :
\(X_L \approx 31.416 \text{ } \Omega\)
\(R = 30 \text{ } \Omega\)
\(Z \approx 43.44 \text{ } \Omega\)
Le circuit est inductif (\(X_L > 0\)), donc le courant est en retard sur la tension. \(\phi\) est positif.
L'angle de déphasage est \(\phi \approx 46.3^\circ\). Le courant est en retard sur la tension.
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7. Calcul de la Puissance Active \(P\)
On utilise \(P = UI \cos \phi\).
Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I \approx 5.2946 \text{ A}\)
\(\cos \phi \approx 0.6906\)
Alternativement : \(P = RI^2 \approx 30 \times (5.2946)^2 \approx 30 \times 28.0328 \approx 840.98 \text{ W}\). (Différence due aux arrondis).
La puissance active consommée est \(P \approx 841 \text{ W}\).
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8. Calcul de la Puissance Réactive \(Q\)
On utilise \(Q = UI \sin \phi\). Il faut d'abord \(\sin \phi\).
Données :
\(\phi \approx 46.32^\circ\). \(\sin(46.32^\circ) \approx 0.7232\).
Alternativement : \(Q = X_L I^2 \approx 31.416 \times (5.2946)^2 \approx 31.416 \times 28.0328 \approx 880.7 \text{ var}\).
La puissance réactive consommée est \(Q \approx 881 \text{ var}\).
9. Calcul de la Puissance Apparente \(S\)
On utilise \(S = UI\).
Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I \approx 5.2946 \text{ A}\)
La puissance apparente est \(S \approx 1218 \text{ VA}\) (ou 1.22 kVA).
10. Vérification de \(S^2 = P^2 + Q^2\)
On vérifie si le carré de la puissance apparente est égal à la somme des carrés des puissances active et réactive.
Données (valeurs plus précises avant arrondi final) :
\(P \approx 840.98 \text{ W}\)
\(Q \approx 880.70 \text{ var}\)
\(S \approx 1217.76 \text{ VA}\)
La petite différence est due aux arrondis successifs. Les valeurs sont cohérentes.
La relation \(S^2 = P^2 + Q^2\) est vérifiée aux arrondis près.
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Glossaire des Termes Clés
Circuit R-L série :
Circuit électrique comprenant une résistance (R) et une bobine d'inductance (L) connectées en série.
Régime Sinusoïdal :
Régime où les tensions et les courants varient de manière sinusoïdale avec le temps.
Impédance (\(Z\)) :
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Opposition d'une bobine au passage d'un courant alternatif, due à son inductance. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Déphasage (\(\phi\)) :
Différence de phase (angle) entre la tension et le courant dans un circuit AC.
Puissance Active (P) :
Puissance moyenne réellement consommée. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (Q) :
Puissance échangée par les éléments réactifs. Unité : Voltampère réactif (var).
Puissance Apparente (S) :
Produit des valeurs efficaces de tension et de courant. Unité : Voltampère (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos \phi\)) :
Rapport \(P/S\), indiquant l'efficacité de l'utilisation de la puissance.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment le diagramme de Fresnel peut-il être utilisé pour représenter les tensions et l'impédance dans un circuit R-L série ?
2. Si la fréquence du générateur augmente, comment évoluent l'impédance \(Z\), le courant \(I\), et l'angle de déphasage \(\phi\) du circuit R-L série ?
3. Que se passerait-il si l'inductance \(L\) était nulle (circuit purement résistif) ? Comment cela affecterait-il les puissances et le déphasage ?
4. Qu'est-ce que la "compensation de puissance réactive" et pourquoi est-elle importante dans les installations industrielles ?
5. Comment la présence d'un condensateur en série (circuit RLC) modifierait-elle le comportement du circuit en régime sinusoïdal, notamment en ce qui concerne l'impédance et le déphasage ?
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