Exercices Électricité

Performance d’un Transformateur de Courant

Performance d’un Transformateur de Courant (TC)

Performance d’un Transformateur de Courant (TC)

Contexte : L'œil du réseau électrique.

En ingénierie électrique, les transformateurs de courant (TC)Appareil de mesure qui réduit un courant élevé à une valeur plus faible et sécuritaire, proportionnelle au courant primaire. Essentiel pour les relais de protection et les instruments de mesure. sont des composants cruciaux et omniprésents. Ils agissent comme les "yeux" du réseau, en réduisant les courants de ligne très élevés (parfois des milliers d'ampères) à des niveaux standardisés et sûrs (typiquement 1 A ou 5 A) pour alimenter les appareils de mesure et les relais de protection. Cependant, un TC n'est pas parfait ; il introduit de petites erreurs qui dépendent de la charge, appelée "burden"Terme anglais désignant la charge connectée au secondaire d'un TC. Elle est exprimée en Volt-Ampères (VA) à un facteur de puissance donné. Une charge trop élevée dégrade la précision du TC., connectée à son secondaire. Comprendre et calculer ces erreurs est fondamental pour garantir la fiabilité et la sécurité des installations électriques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du modèle du transformateur monophasé, adapté au cas particulier du TC. Nous allons utiliser le schéma équivalent pour calculer les erreurs en amplitude (erreur de rapport) et en phase (déphasage). C'est une démarche essentielle pour un ingénieur en protection ou en comptage d'énergie, qui doit s'assurer que le TC choisi est adapté à la charge qu'il alimente.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le schéma équivalentModèle de circuit électrique qui représente le comportement d'un appareil réel (comme un transformateur) en utilisant des composants idéaux (résistances, inductances). d'un transformateur de courant.
  • Calculer l'impédance totale vue par le secondaire du TC.
  • Déterminer la tension secondaire et le courant de magnétisationCourant nécessaire pour créer le flux magnétique dans le noyau du transformateur. C'est la principale source d'erreur dans un TC..
  • Calculer l'erreur de rapportDifférence en pourcentage entre le rapport de transformation réel et le rapport nominal. Elle affecte la précision de la mesure d'amplitude du courant. et l'erreur de phaseDéphasage angulaire entre le courant primaire (ramené au secondaire) et le courant secondaire réel. Crucial pour les mesures de puissance et les protections directionnelles..
  • Vérifier si un TC respecte sa classe de précisionNorme qui définit les limites d'erreur (rapport et phase) qu'un TC doit respecter pour une charge et un courant donnés. Ex: 5P10, 0.5s..

Données de l'étude

On étudie un transformateur de courant de protection installé sur une ligne haute tension. Ses caractéristiques et les conditions de fonctionnement lors d'un défaut sont les suivantes :

Schéma Équivalent d'un TC ramené au Secondaire
I'p Rfe Xm I0 Rs Xs Burden Zb Is Vs
Paramètre Symbole Valeur Unité
Rapport de transformation nominal \(K_n\) 400/5 A/A
Classe de précision - 5P10 -
Résistance de l'enroulement secondaire \(R_s\) 0.2 \(\Omega\)
Réactance de fuite de l'enroulement secondaire \(X_s\) 0.3 \(\Omega\)
Courant de défaut primaire \(I_p\) 4000 A
Charge (Burden) connectée \(Z_b\) 1.0 + j0.5 \(\Omega\)
Courant de magnétisation à 20V \(I_{m, \text{20V}}\) 0.15 A

Questions à traiter

  1. Calculer l'impédance totale du circuit secondaire \(Z_{\text{sec, tot}}\).
  2. Calculer la tension aux bornes de l'enroulement secondaire \(V_s\).
  3. Déterminer le courant de magnétisation \(I_0\) pour la tension \(V_s\) (on supposera une relation linéaire).
  4. Calculer le courant primaire ramené au secondaire \(I'_p\).
  5. Déterminer l'erreur de rapport (\(\epsilon\)) en % et l'erreur de phase (\(\delta\)) en minutes d'arc.

Les bases du Transformateur de Courant

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux.

1. Principe de Fonctionnement :
Un TC est un transformateur fonctionnant en quasi-court-circuit. Le primaire, traversé par le fort courant de ligne, a très peu de spires. Le secondaire, avec beaucoup plus de spires, est connecté à une charge de faible impédance (le burden). Idéalement, le produit ampères-tours est conservé : \(N_p I_p = N_s I_s\), d'où \(I_s = (N_p/N_s) I_p\).

2. Le Schéma Équivalent :
Le TC réel n'est pas parfait. Son comportement est modélisé par un schéma équivalent où :

  • \(I'_p\) est le courant primaire idéalement ramené au secondaire.
  • \(Z_s = R_s + jX_s\) est l'impédance de l'enroulement secondaire.
  • La branche de magnétisation (en parallèle) dérive une partie du courant, \(I_0\), pour magnétiser le noyau. Ce courant \(I_0\) est la source de toutes les erreurs.
  • Le courant restant, \(I_s\), est celui qui traverse réellement la charge \(Z_b\).

3. Les Erreurs de Mesure :
À cause du courant de magnétisation \(I_0\), le courant secondaire mesuré \(I_s\) est différent du courant primaire idéal \(I'_p\). Cette différence se décompose en :

  • Une erreur de rapport (\(\epsilon\)) : différence d'amplitude.
  • Une erreur de phase (\(\delta\)) : déphasage angulaire.
Ces erreurs doivent rester dans les limites définies par la classe de précision du TC.

Correction : Performance d'un Transformateur de Courant

Question 1 : Calculer l'impédance totale du circuit secondaire

Principe (le concept physique)

Le courant secondaire \(I_s\) circule dans une boucle fermée composée de l'enroulement du transformateur lui-même et de la charge externe (le "burden"). L'impédance totale est simplement la somme de l'impédance interne du TC (\(Z_s\)) et de l'impédance de la charge (\(Z_b\)). C'est cette impédance totale qui, traversée par le courant \(I_s\), va créer la tension \(V_s\) aux bornes de la branche de magnétisation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les impédances sont des nombres complexes car elles ont une partie résistive (qui dissipe de la puissance active) et une partie réactive (qui stocke et restitue de l'énergie). L'addition se fait donc vectoriellement (ou en utilisant les nombres complexes) : on additionne les parties réelles (résistances) et les parties imaginaires (réactances) séparément.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez le circuit secondaire comme un parcours d'obstacles pour le courant. L'enroulement du TC est le premier obstacle (\(Z_s\)), et les appareils de mesure/protection sont le second (\(Z_b\)). Le courant doit surmonter la difficulté combinée des deux pour circuler. Notre calcul consiste à évaluer cette difficulté totale.

Normes (la référence réglementaire)

La norme internationale CEI 61869-2 spécifie comment le "burden" (la charge) des transformateurs de courant doit être défini et testé. Elle fournit des valeurs de burden normalisées pour lesquelles la classe de précision doit être garantie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'impédance totale est la somme des impédances en série :

\[ Z_{\text{sec, tot}} = Z_s + Z_b = (R_s + R_b) + j(X_s + X_b) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'impédance des câbles de connexion entre le TC et la charge est incluse dans le burden \(Z_b\) ou est négligeable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Impédance interne, \(Z_s = 0.2 + j0.3 \, \Omega\)
  • Impédance de la charge, \(Z_b = 1.0 + j0.5 \, \Omega\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs, traitez toujours les parties réelles (les résistances) et les parties imaginaires (les réactances) comme deux calculs séparés avant de les recombiner dans le résultat final. C'est comme additionner des coordonnées : on additionne les 'x' ensemble et les 'y' ensemble.

Schéma (Avant les calculs)
Addition des Impédances en Série
ZsZb=Z_total?
Calcul(s) (l'application numérique)

On somme les parties réelles et les parties imaginaires.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{sec, tot}} &= (0.2 + 1.0) + j(0.3 + 0.5) \\ &= 1.2 + j0.8 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Impédance Résultante
Z_total1.2 + j0.8 Ω
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de \(1.2 + j0.8 \, \Omega\) représente la charge totale que le transformateur de courant "voit". C'est cette impédance qui va déterminer la tension à ses bornes et, par conséquent, son niveau de saturation et sa précision. Une impédance plus élevée pour un même courant signifiera une tension plus forte et des erreurs potentiellement plus grandes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'additionner les modules des impédances (\(|Z_s| + |Z_b|\)) au lieu de faire une somme vectorielle (complexe). Cela donnerait un résultat incorrect car cela ne tient pas compte du déphasage entre les parties résistives et réactives.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'impédance totale du secondaire est la somme de l'impédance interne du TC et de celle du burden.
  • Cette somme doit être effectuée avec des nombres complexes (ou vectoriellement).
  • Elle représente la charge totale que le TC doit alimenter.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le "burden" n'est pas seulement l'appareil de mesure. Il inclut aussi l'impédance des longs câbles qui relient le TC (souvent à l'extérieur dans un poste) à la salle de contrôle. Oublier de prendre en compte les câbles est une source d'erreur fréquente qui peut conduire à choisir un TC sous-dimensionné.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le burden est-il exprimé en VA (Volt-Ampères) ?

C'est une convention pratique. La puissance nominale du burden (ex: 25 VA) est la puissance apparente qu'il consomme au courant secondaire nominal (ex: 5 A). On peut ainsi retrouver facilement son impédance : \(Z = S / I^2 = 25 / 5^2 = 1 \, \Omega\). Cela permet de vérifier rapidement si la charge est compatible avec la puissance de précision du TC.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'impédance totale du circuit secondaire est de \(1.2 + j0.8 \, \Omega\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance des câbles de liaison ajoute \(0.1 \Omega\), quelle est la nouvelle impédance totale réelle (partie réelle) en \(\Omega\) ?

Question 2 : Calculer la tension aux bornes de l'enroulement secondaire

Principe (le concept physique)

La tension \(V_s\) est la tension qui apparaît aux bornes de la branche de magnétisation. Elle est générée par la circulation du courant secondaire \(I_s\) à travers l'impédance totale du circuit secondaire (\(Z_{\text{sec, tot}}\)). C'est cette tension qui va "forcer" un certain courant de magnétisation à circuler dans le noyau, créant ainsi l'erreur de mesure. Plus la charge ou le courant sont élevés, plus \(V_s\) est grande, et plus le TC risque de saturer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En première approximation, pour calculer \(V_s\), on peut considérer que le courant de magnétisation est négligeable devant le courant secondaire. On suppose donc que le courant secondaire est égal au courant primaire ramené au secondaire (\(I_s \approx I'_p\)). Cette hypothèse est généralement valide pour les calculs de tension, car l'erreur de courant est de quelques pourcents seulement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez la tension \(V_s\) comme "l'effort" que le TC doit fournir pour faire passer le courant dans le circuit secondaire. Comme pour une pompe à eau, plus le tuyau est long et fin (impédance élevée), plus la pression (tension) nécessaire pour maintenir le débit (courant) est grande.

Normes (la référence réglementaire)

La norme CEI 61869-2 définit la "tension de point de coude" (knee point voltage). C'est la tension secondaire à partir de laquelle une augmentation de 10% de la tension provoque une augmentation de 50% du courant de magnétisation. C'est la limite pratique de fonctionnement d'un TC de protection. Notre tension calculée \(V_s\) doit rester en dessous de cette valeur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Application de la loi d'Ohm en complexes :

\[ V_s = Z_{\text{sec, tot}} \cdot I_s \approx Z_{\text{sec, tot}} \cdot I'_{p} \]

Avec \(I'_p\) étant le courant primaire ramené au secondaire.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le courant de magnétisation \(I_0\) est suffisamment faible pour être négligé dans ce premier calcul de tension. On considère que tout le courant primaire ramené au secondaire traverse la charge (\(I_s \approx I'_p\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Courant primaire, \(I_p = 4000 \, \text{A}\)
  • Rapport nominal, \(K_n = 400/5 = 80\)
  • Impédance totale, \(Z_{\text{sec, tot}} = 1.2 + j0.8 \, \Omega\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer rapidement le module de la tension, calculez d'abord le module de l'impédance. Cela évite de manipuler les nombres complexes jusqu'au bout si seule la magnitude de la tension est requise pour l'étape suivante, ce qui est souvent le cas.

Schéma (Avant les calculs)
Application de la Loi d'Ohm au Secondaire
Z_totalIs ≈ 50 AVs = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le courant secondaire nominal pour le défaut :

\[ \begin{aligned} I_s \text{ (nominal)} &= \frac{I_p}{K_n} \\ &= \frac{4000 \, \text{A}}{80} \\ &= 50 \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calculer le module de l'impédance totale :

\[ \begin{aligned} |Z_{\text{sec, tot}}| &= \sqrt{1.2^2 + 0.8^2} \\ &= \sqrt{1.44 + 0.64} \\ &= \sqrt{2.08} \\ &\approx 1.44 \, \Omega \end{aligned} \]

3. Calculer le module de la tension secondaire :

\[ \begin{aligned} |V_s| &\approx |Z_{\text{sec, tot}}| \cdot |I_s| \\ &= 1.44 \, \Omega \cdot 50 \, \text{A} \\ &= 72 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tension Secondaire Calculée
Z_totalIs ≈ 50 AVs ≈ 72 V
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une tension de 72 V est générée au secondaire. Cette valeur doit être comparée au "point de coude" de la courbe de magnétisation du TC. Si 72 V est bien en dessous de la tension de saturation, le TC fonctionnera correctement. Si elle est proche ou au-dessus, le noyau va saturer, le courant de magnétisation va augmenter drastiquement et les erreurs deviendront très importantes, compromettant la mesure et la protection.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'utiliser le courant de défaut (4000 A) et non le courant nominal du TC (400 A) pour ce calcul. Nous évaluons la performance dans des conditions exceptionnelles, pas en service normal.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La tension secondaire est le produit du courant secondaire et de l'impédance totale.
  • Elle représente la "sollicitation" magnétique du noyau du TC.
  • Une tension élevée est un indicateur de risque de saturation et d'erreurs importantes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les TC modernes pour applications spéciales (ex: protection de jeux de barres) utilisent parfois des noyaux sans fer ("air-core") ou des capteurs optiques (basés sur l'effet Faraday). Ces technologies n'ont pas de noyau magnétique et ne saturent donc jamais, offrant une réponse linéaire même pour des courants de défaut très élevés.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette tension de 72V est-elle dangereuse ?

Oui, une tension de 72V peut être dangereuse pour une personne, bien qu'elle soit considérée comme "Très Basse Tension de Sécurité" (TBTS) dans certaines conditions. Cependant, le principal danger d'un TC n'est pas cette tension de fonctionnement, mais la tension de plusieurs milliers de volts qui apparaît si son secondaire est laissé en circuit ouvert.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La tension approximative aux bornes du secondaire est de 72 V.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le burden était purement résistif avec \(R_b = 1.2 \Omega\), quelle serait la nouvelle tension \(V_s\) en Volts ?

Question 3 : Déterminer le courant de magnétisation

Principe (le concept physique)

Le courant de magnétisation \(I_0\) est le courant "perdu" nécessaire pour créer le champ magnétique dans le noyau du transformateur. Il ne traverse pas la charge et constitue donc une erreur. Sa valeur dépend directement de la tension secondaire \(V_s\) et des caractéristiques magnétiques du noyau. Ici, nous utilisons une approximation linéaire basée sur un point de mesure connu.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation entre la tension \(V_s\) et le courant de magnétisation \(I_0\) est décrite par la courbe de magnétisation du matériau du noyau. Cette courbe est linéaire à faible tension, puis se "plie" (le "coude") et devient presque horizontale lorsque le noyau sature. Notre calcul suppose que nous sommes dans la partie linéaire, ce qui est une hypothèse à vérifier.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au courant de magnétisation comme à une "fuite" inévitable. Le courant total \(I'_p\) arrive à un embranchement : une partie part dans le noyau (\(I_0\)), le reste va vers l'appareil de mesure (\(I_s\)). Notre but est de calculer la taille de cette fuite pour savoir à quel point notre mesure est faussée.

Normes (la référence réglementaire)

Les fabricants de TC doivent fournir la courbe de magnétisation (ou des points clés comme le point de coude) conformément aux normes. Cela permet à l'ingénieur de calculer précisément le courant de magnétisation pour n'importe quelle tension de fonctionnement et de vérifier la performance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

En supposant une relation linéaire entre la tension et le courant de magnétisation (valide loin de la saturation) :

\[ I_0 = I_{m, \text{ref}} \cdot \frac{V_s}{V_{\text{ref}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le TC fonctionne dans la zone linéaire de sa courbe de magnétisation, où le courant de magnétisation est proportionnel à la tension. On néglige les pertes fer, considérant que \(I_0\) est purement réactif.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension secondaire calculée, \(V_s = 72 \, \text{V}\) (de Q2)
  • Point de référence : \(I_{m, \text{ref}} = 0.15 \, \text{A}\) à \(V_{\text{ref}} = 20 \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le rapport \(V_s / V_{\text{ref}}\) est un simple facteur d'échelle. Calculez-le en premier (\(72/20 = 3.6\)), puis multipliez-le par le courant de référence. Cela simplifie le calcul mental et la vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Extrapolation Linéaire du Courant de Magnétisation
VsI020V0.15A72V?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} I_0 &= 0.15 \, \text{A} \cdot \frac{72 \, \text{V}}{20 \, \text{V}} \\ &= 0.15 \cdot 3.6 \\ &= 0.54 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Courant de Magnétisation Résultant
VsI020V0.15A72V0.54 A
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un courant de 0.54 A est "dévié" par la branche de magnétisation. Ce courant, bien que faible par rapport aux 50 A du courant secondaire (environ 1.1%), n'est pas nul. C'est la cause directe des erreurs que nous allons calculer. Dans un TC idéal, ce courant serait nul.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Cette extrapolation linéaire n'est valable que si la tension calculée (72 V) n'est pas trop supérieure à la tension de référence (20 V) et si le TC n'est pas proche de la saturation. Pour un calcul de haute précision, il faudrait utiliser la courbe de magnétisation complète du fabricant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le courant de magnétisation \(I_0\) est la source des erreurs du TC.
  • Il dépend de la tension secondaire \(V_s\).
  • Plus \(V_s\) est élevée, plus \(I_0\) est important.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Après un défaut violent qui a saturé le noyau, un TC peut conserver un magnétisme rémanent. Ce magnétisme résiduel peut fausser les mesures lors des défauts suivants. Des procédures de "démagnétisation" existent pour restaurer la précision du TC après un tel événement.

FAQ (pour lever les doutes)
Le courant de magnétisation est-il résistif ou inductif ?

Il a deux composantes : une composante active (en phase avec V), représentant les pertes fer (hystérésis, courants de Foucault), et une composante réactive (en quadrature avec V), qui crée le flux magnétique. Pour les TC, la composante réactive est largement dominante, c'est pourquoi on suppose souvent que \(I_0\) est purement inductif.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le courant de magnétisation estimé est de 0.54 A.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le TC était de meilleure qualité (\(I_{m, \text{20V}} = 0.05\) A), quel serait le nouveau courant de magnétisation \(I_0\) en Ampères ?

Question 4 : Calculer le courant primaire ramené au secondaire

Principe (le concept physique)

Le courant primaire ramené au secondaire, \(I'_p\), est l'image idéale du courant primaire. C'est la valeur que l'on mesurerait si le transformateur était parfait. Selon la loi des nœuds (loi de Kirchhoff), ce courant se divise en deux : le courant de magnétisation \(I_0\) et le courant secondaire réel \(I_s\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour calculer les erreurs, nous avons besoin de comparer les phaseurs \(I'_p\) et \(I_s\). Il faut donc travailler avec les nombres complexes. Nous devons définir une phase de référence (généralement le courant secondaire \(I_s\)) et calculer les autres grandeurs par rapport à cette référence.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape cruciale où l'on assemble toutes les pièces du puzzle. On connaît le courant de sortie (\(I_s\)) et la "fuite" (\(I_0\)). En les additionnant (vectoriellement !), on retrouve le courant d'entrée "idéal" (\(I'_p\)). La différence entre ce que l'on a à l'entrée et ce que l'on obtient à la sortie constitue l'erreur.

Normes (la référence réglementaire)

Les diagrammes de phaseurs (ou diagrammes de Fresnel) sont l'outil standard préconisé par les normes et la littérature technique pour analyser le comportement des machines électriques en régime sinusoïdal, y compris les transformateurs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi des nœuds appliquée au schéma équivalent :

\[ \vec{I'_p} = \vec{I_s} + \vec{I_0} \]

Pour les calculs, on suppose que le courant de magnétisation \(I_0\) est en quadrature (déphasé de 90°) avec la tension \(V_s\) (noyau purement réactif), et \(V_s\) est déphasée de \(\phi_{\text{sec}}\) par rapport à \(I_s\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le courant de magnétisation est purement inductif, c'est-à-dire en retard de 90° sur la tension secondaire \(V_s\). C'est une approximation courante qui néglige les pertes fer.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Courant secondaire, \(I_s \approx 50 \, \text{A}\)
  • Courant de magnétisation, \(I_0 = 0.54 \, \text{A}\) (de Q3)
  • Impédance secondaire totale, \(Z_{\text{sec, tot}} = 1.2 + j0.8 \, \Omega\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Fixer un des phaseurs comme référence sur l'axe réel (angle 0°) simplifie grandement les calculs. Le courant secondaire \(I_s\) est le choix le plus logique, car c'est la grandeur que l'on mesure en pratique.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Phaseurs (Addition Vectorielle)
IsI0I'p = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. On choisit \(I_s\) comme référence de phase : \(\vec{I_s} = 50 + j0\) A.

2. On calcule le phaseur de la tension secondaire \(\vec{V_s} = \vec{I_s} \cdot Z_{\text{sec, tot}}\) :

\[ \begin{aligned} \vec{V_s} &= (50 + j0) \cdot (1.2 + j0.8) \\ &= 60 + j40 \, \text{V} \end{aligned} \]

3. On suppose que \(\vec{I_0}\) est en retard de 90° sur \(\vec{V_s}\). L'angle de \(\vec{V_s}\) est \(\arctan(40/60) \approx 33.7^\circ\). L'angle de \(\vec{I_0}\) est donc \(33.7^\circ - 90^\circ = -56.3^\circ\).

\[ \begin{aligned} \vec{I_0} &= 0.54 \angle -56.3^\circ \, \text{A} \\ &= 0.54 (\cos(-56.3^\circ) + j\sin(-56.3^\circ)) \\ &\approx 0.30 - j0.45 \, \text{A} \end{aligned} \]

4. On calcule \(\vec{I'_p}\) par addition vectorielle :

\[ \begin{aligned} \vec{I'_p} &= \vec{I_s} + \vec{I_0} \\ &= (50 + j0) + (0.30 - j0.45) \\ &= 50.30 - j0.45 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Phaseur Résultant
I'p50.30 - j0.45 A
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(50.30 - j0.45 \, \text{A}\) est un phaseur. Son module (sa longueur) est légèrement supérieur à 50 A, et sa phase est légèrement négative. Cela signifie que le courant primaire idéal est un peu plus grand que le courant secondaire et qu'il est légèrement en retard de phase par rapport à lui. Ces deux petites différences sont à l'origine des erreurs de mesure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais additionner les modules ! \(|I'_p| \neq |I_s| + |I_0|\). L'addition doit impérativement être vectorielle. Oublier cette règle est l'erreur la plus fondamentale en analyse de circuits AC.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le courant primaire ramené est la somme vectorielle du courant secondaire et du courant de magnétisation.
  • Le calcul doit être fait en utilisant des nombres complexes ou un diagramme de phaseurs.
  • Le résultat est un phaseur (un vecteur) avec une amplitude et une phase.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lors d'un court-circuit, le courant n'est pas purement sinusoïdal. Il contient une composante continue (asymétrique) qui peut saturer le noyau d'un TC beaucoup plus rapidement que le courant AC seul. La conception des TC de protection doit prendre en compte ce phénomène pour éviter une "saturation transitoire".

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi suppose-t-on \(I_0\) en retard de 90° sur \(V_s\)?

Cela revient à modéliser la branche de magnétisation par une inductance pure (\(X_m\)). Dans une inductance, le courant est toujours en retard de 90° sur la tension. C'est une simplification qui ignore les pertes fer (modélisées par \(R_{\text{fe}}\) en parallèle), mais elle est souvent suffisante pour les calculs de performance des TC de protection.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le courant primaire ramené au secondaire est \(\vec{I'_p} = 50.30 - j0.45 \, \text{A}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le courant de magnétisation était \(\vec{I_0} = 0.2 - j0.6\) A, quel serait le nouveau courant \(\vec{I'_p}\) (partie réelle) en Ampères ?

Question 5 : Déterminer l'erreur de rapport et l'erreur de phase

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons le courant idéal (\(I'_p\)) et le courant réel (\(I_s\)), nous pouvons quantifier la performance du TC. L'erreur de rapport compare leurs amplitudes, tandis que l'erreur de phase mesure l'angle entre les deux vecteurs. Ces deux valeurs définissent la précision de la transformation de courant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'erreur de rapport est définie comme \((K_n I_s - I_p) / I_p\). En ramenant tout au secondaire, cela devient \((|I_s| - |I'_p|) / |I'_p|\). Une erreur négative signifie que le courant secondaire est plus faible que l'idéal. L'erreur de phase est l'angle entre le vecteur du courant secondaire et le vecteur du courant primaire ramené. Une erreur positive signifie que le secondaire est en avance sur le primaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'aboutissement de notre analyse : on met des chiffres sur la "qualité" de notre TC. L'erreur de rapport, c'est "de combien de % je me trompe sur la valeur ?", et l'erreur de phase, c'est "de combien de degrés je me trompe sur la direction ?". Pour un ampèremètre, seule la première compte. Pour un wattmètre ou un relais de protection, les deux sont critiques.

Normes (la référence réglementaire)

La norme CEI 61869-2 définit des polygones de précision sur le plan complexe. Pour qu'un TC soit conforme à sa classe, le vecteur d'erreur (dont les composantes sont l'erreur de rapport et l'erreur de phase) doit se trouver à l'intérieur de ce polygone pour toutes les conditions de charge et de courant spécifiées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Erreur de rapport (\(\epsilon\)) :

\[ \epsilon (\%) = \frac{|I_s| - |I'_p|}{|I'_p|} \times 100 \]

Erreur de phase (\(\delta\)) :

\[ \delta = \text{angle}(\vec{I_s}) - \text{angle}(\vec{I'_p}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les calculs reposent sur toutes les hypothèses précédentes : modèle du schéma équivalent valide, extrapolation linéaire du courant de magnétisation, et \(I_0\) purement inductif.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\vec{I_s} = 50 + j0 \, \text{A}\)
  • \(\vec{I'_p} = 50.30 - j0.45 \, \text{A}\) (de Q4)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour de faibles angles comme ici, on peut utiliser l'approximation \(\tan(\delta) \approx \delta\) (en radians). L'erreur de phase en radians est approximativement la composante imaginaire de \(I'_p\) divisée par son module. \(\delta \approx -(-0.45)/50.30 \approx 0.0089\) radians, ce qui donne \(0.0089 \times 180/\pi \approx 0.51^\circ\). C'est un bon moyen de vérifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des Erreurs sur le Diagramme de Phaseurs
IsI'pδ?ε = (|Is|-|I'p|)/|I'p| ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le module de \(I'_p\) :

\[ \begin{aligned} |I'_p| &= \sqrt{50.30^2 + (-0.45)^2} \\ &= \sqrt{2530.09 + 0.2025} \\ &\approx 50.302 \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calculer l'erreur de rapport :

\[ \begin{aligned} \epsilon (\%) &= \frac{50 - 50.302}{50.302} \times 100 \\ &\approx -0.60\% \end{aligned} \]

3. Calculer l'angle de \(I'_p\) :

\[ \begin{aligned} \text{angle}(\vec{I'_p}) &= \arctan\left(\frac{-0.45}{50.30}\right) \\ &\approx -0.51^\circ \end{aligned} \]

4. Calculer l'erreur de phase (l'angle de \(I_s\) est 0°) :

\[ \begin{aligned} \delta &= 0^\circ - (-0.51^\circ) \\ &= +0.51^\circ \end{aligned} \]

5. Convertir l'erreur de phase en minutes d'arc (1° = 60') :

\[ \begin{aligned} \delta &= 0.51 \times 60 \\ &\approx 30.6 \text{ minutes} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Erreurs Calculées
Erreur Rapport (ε)-0.60 %Erreur Phase (δ)+30.6 min
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le TC a une erreur de rapport de -0.60% (il mesure un peu moins que la réalité) et une erreur de phase de +30.6 minutes (le secondaire est légèrement en avance sur le primaire). Pour un TC de classe 5P10, à 10 fois le courant nominal (ce qui est notre cas, 50A pour un nominal de 5A), l'erreur composite doit être inférieure à 5%. Nos erreurs de rapport et de phase sont faibles, ce qui suggère que le TC est performant dans ces conditions et respecte sa classe.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Une erreur de rapport négative est courante car \(|I_s|\) est presque toujours inférieur à \(|I'_p|\). Pour l'erreur de phase, le signe dépend de la convention (avance ou retard). Il est crucial d'être cohérent. Ici, un angle positif signifie que \(I_s\) est en avance sur \(I'_p\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'erreur de rapport compare les modules des courants idéal et réel.
  • L'erreur de phase est la différence angulaire entre leurs phaseurs.
  • Ces deux erreurs quantifient la précision globale du transformateur de courant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour le comptage d'énergie (facturation), les classes de précision sont beaucoup plus sévères (ex: 0.2s ou 0.5s). Les erreurs autorisées sont de l'ordre de 0.2% et quelques minutes d'arc seulement, car la moindre imprécision, cumulée sur des mois et des MWh, représente des sommes d'argent considérables.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que ces erreurs sont constantes ?

Non, elles varient avec le niveau de courant et avec la valeur du burden. Les fabricants fournissent des courbes ou des tableaux qui donnent les erreurs pour différents points de fonctionnement (ex: à 5%, 20%, 100% et 120% du courant nominal) et pour différentes charges (ex: à 25% et 100% du burden nominal).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'erreur de rapport est de -0.60% et l'erreur de phase est de +30.6 minutes.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'erreur de rapport était de -1%, cela signifierait que pour 50.3 A idéalement, le TC mesurerait combien d'ampères ?

Outil Interactif : Influence du Burden sur la Précision

Modifiez la valeur du burden (la charge) pour voir son impact direct sur les erreurs du transformateur de courant.

Paramètres d'Entrée
25 VA
0.8
Résultats Clés (à 10x In)
Tension Secondaire (V) -
Erreur de Rapport (%) -
Erreur de Phase (minutes) -

Le Saviez-Vous ?

Laisser le secondaire d'un transformateur de courant en circuit ouvert alors que le primaire est sous tension est extrêmement dangereux. Sans courant secondaire pour s'opposer au flux primaire, tout le courant primaire devient un courant de magnétisation. Le noyau sature instantanément, induisant des tensions très élevées (plusieurs kilovolts) aux bornes du secondaire, capables de provoquer des arcs électriques, de détruire l'isolation et de présenter un grave danger pour le personnel.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que signifie la classe de précision "5P10" ?

C'est une désignation normalisée pour les TC de protection. "5P" signifie que l'erreur composite (une combinaison de l'erreur de rapport et de phase) est inférieure à 5% à la limite de précision. "10" est le "facteur limite de précision", signifiant que cette précision est garantie jusqu'à 10 fois le courant nominal, pour la charge nominale. Notre calcul à 4000 A (10 x 400 A) est donc pile à cette limite.

Pourquoi l'erreur de phase est-elle importante ?

Si l'erreur de phase est grande, l'angle entre la tension et le courant mesurés par les appareils sera incorrect. Cela fausse gravement les mesures de puissance (active et réactive) et peut faire dysfonctionner les protections directionnelles, qui ont besoin de connaître le sens du flux de puissance pour opérer correctement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente fortement la charge (le burden) connectée à un TC, que se passe-t-il ?

2. Un TC avec un rapport 1000/5 A est traversé par un courant primaire de 500 A. Quel est le courant secondaire idéal ?

Transformateur de Courant (TC)
Capteur utilisé pour mesurer un courant alternatif (AC). Il produit un courant dans son secondaire proportionnel au courant de son primaire.
Burden
Charge connectée au circuit secondaire d'un TC. Elle est exprimée en VA (Volt-Ampères) et son impédance influence directement la précision du TC.
Classe de Précision
Indication de la précision d'un TC selon les normes (IEC, ANSI). Elle définit les erreurs de rapport et de phase maximales autorisées dans des conditions spécifiées.
Performance d’un Transformateur de Courant (TC)

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