Théorème de Norton dans un Circuit d'Éclairage

Contexte : Simplification de circuit pour l'analyse de charge.

En électronique, il est fréquent de devoir analyser le comportement d'un composant spécifique (une "charge") au sein d'un circuit complexe. Le théorème de NortonUn théorème fondamental en analyse de circuits électriques qui permet de remplacer un réseau linéaire complexe par un simple générateur de courant équivalent en parallèle avec une résistance équivalente. est un outil puissant qui permet de remplacer toute la partie complexe du circuit par un modèle équivalent très simple : une source de courant idéale en parallèle avec une seule résistance. Cet exercice vous guidera dans l'application de ce théorème pour déterminer le courant qui traverse une lampe (LED) dans un circuit d'alimentation.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprend à "voir" un circuit du point de vue d'un composant. Vous maîtriserez la méthode pour trouver le générateur de Norton équivalent, une compétence essentielle pour le dépannage et la conception de circuits, notamment pour comprendre comment une charge se comportera quel que soit le circuit qui l'alimente.

Objectifs Pédagogiques

Identifier la charge et le reste du circuit à simplifier.
Calculer la résistance équivalente de NortonLa résistance vue depuis les bornes de la charge lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (sources de tension court-circuitées, sources de courant ouvertes). (\(R_N\)).
Calculer le courant de court-circuit de NortonLe courant qui circulerait à travers les bornes de la charge si celles-ci étaient court-circuitées. (\(I_N\)).
Dessiner le circuit équivalent de Norton et y connecter la charge.
Calculer le courant réel traversant la charge à l'aide du modèle simplifié.

Données de l'étude

On s'intéresse au circuit ci-dessous, conçu pour alimenter une lampe (modélisée par la résistance de charge \(R_L\)). L'objectif est de déterminer le courant \(I_L\) qui la traverse en utilisant le théorème de Norton.

Schéma du circuit électrique

Vue 3D Conceptuelle du Circuit

Source Résistances Charge

Composant	Désignation	Valeur
Source de tension	\(V\)	12 V
Résistance 1	\(R_1\)	100 Ω
Résistance 2	\(R_2\)	220 Ω
Résistance 3	\(R_3\)	470 Ω
Charge (Lampe)	\(R_L\)	330 Ω

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente de Norton (\(R_N\)) vue des bornes A et B.
Calculer le courant de Norton (\(I_N\)) circulant entre les bornes A et B en court-circuit.
Dessiner le circuit équivalent de Norton avec la charge \(R_L\) connectée.
Calculer le courant \(I_L\) qui traverse la lampe \(R_L\).

Les bases du Théorème de Norton

Avant de commencer, rappelons les deux étapes clés pour appliquer ce théorème.

1. Trouver la Résistance de Norton (\(R_N\))
C'est la résistance "vue" depuis les bornes de la charge (A et B) après avoir "éteint" toutes les sources indépendantes du circuit :

Les sources de tension sont remplacées par un court-circuit (un fil).
Les sources de courant sont remplacées par un circuit ouvert (on les enlève).

On calcule ensuite la résistance équivalente entre A et B. C'est la même méthode que pour la résistance de Thévenin (\(R_N = R_{\text{Th}}\)).

2. Trouver le Courant de Norton (\(I_N\))
C'est le courant qui circulerait si l'on connectait un fil (un court-circuit) entre les bornes de la charge (A et B). Il faut analyser le circuit ainsi modifié pour trouver la valeur de ce courant de court-circuit.

3. Le Circuit Équivalent
Une fois \(R_N\) et \(I_N\) connus, le circuit complexe est remplacé par une source de courant de valeur \(I_N\) en parallèle avec une résistance de valeur \(R_N\). On peut alors reconnecter la charge \(R_L\) à ce circuit simple pour trouver facilement le courant ou la tension à ses bornes.

Correction : Application du Théorème de Norton

Question 1 : Calculer la résistance équivalente de Norton (\(R_N\))

Principe (le concept physique)

Pour trouver \(R_N\), on se place aux bornes A et B et on regarde la résistance du circuit "vers la gauche". On doit éteindre la source de tension \(V\), ce qui signifie la remplacer par un simple fil (un court-circuit).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance équivalente vue de deux points est la résistance qu'un ohmmètre mesurerait s'il était branché entre ces deux points. La procédure "d'extinction" des sources permet de ne mesurer que la contribution passive des résistances du circuit, ce qui correspond à la résistance interne du circuit équivalent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'étape la plus importante est de redessiner le circuit après avoir éteint les sources. Cela clarifie visuellement quelles résistances se retrouvent en série ou en parallèle, une identification qui peut être trompeuse sur le schéma original.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'existe pas de "norme" pour ce calcul, mais la méthode est un standard universel de l'analyse des circuits linéaires, enseignée dans tous les cursus d'électronique et d'électrotechnique, conformément aux lois fondamentales de l'électricité (Loi d'Ohm, Lois de Kirchhoff).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistances en parallèle :

R_{\text{eq}} = \frac{R_a \times R_b}{R_a + R_b}

Résistances en série :

R_{\text{eq}} = R_a + R_b

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les composants sont idéaux : la source de tension a une résistance interne nulle et les fils de connexion ont une résistance nulle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Résistance \(R_1 = 100 \, \Omega\)
Résistance \(R_2 = 220 \, \Omega\)
Résistance \(R_3 = 470 \, \Omega\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer la résistance équivalente, partez toujours du point le plus éloigné des bornes A et B et simplifiez le circuit pas à pas en revenant vers ces bornes.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de \(R_N\)

La source de tension est remplacée par un court-circuit. \(R_1\) et \(R_2\) sont maintenant en parallèle.

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance parallèle de \(R_1\) et \(R_2\) :

\begin{aligned} R_{12} &= \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \\ &= \frac{100 \, \text{Ω} \times 220 \, \text{Ω}}{100 \, \text{Ω} + 220 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{22000}{320} \, \text{Ω} \\ &= 68.75 \, \text{Ω} \end{aligned}

2. Cette résistance \(R_{12}\) est en série avec \(R_3\) pour former \(R_N\) :

\begin{aligned} R_N &= R_3 + R_{12} \\ &= 470 \, \text{Ω} + 68.75 \, \text{Ω} \\ &= 538.75 \, \text{Ω} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Simplification pour \(R_N\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de \(R_N = 538.75 \, \Omega\) représente la résistance interne du circuit d'alimentation tel que vu par la lampe. C'est cette résistance qui provoquera une chute de tension et limitera le courant lorsque la charge sera connectée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier d'éteindre les sources ou de mal le faire. Une source de tension devient un fil, pas un circuit ouvert. Une mauvaise identification des associations série/parallèle après cette étape est aussi fréquente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour trouver \(R_N\), on identifie les bornes de la charge.
On éteint les sources indépendantes (Tension \(\Rightarrow\) court-circuit, Courant \(\Rightarrow\) circuit ouvert).
On calcule la résistance équivalente entre les bornes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème de Norton a été publié en 1926 par Edward Lawry Norton, un ingénieur chez Bell Labs. Il travaillait sur la simplification des circuits pour la conception de filtres de télécommunication, un domaine où l'analyse de la charge (le filtre) est primordiale.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résistance équivalente de Norton est \(R_N = 538.75 \, \Omega\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(R_1\) et \(R_2\) valaient toutes les deux 200 Ω, quelle serait la nouvelle valeur de \(R_N\) en Ω ?

Question 2 : Calculer le courant de Norton (\(I_N\))

Principe (le concept physique)

On court-circuite les bornes A et B avec un fil et on calcule le courant qui passe dans ce fil. Ce court-circuit modifie la structure du circuit, et le courant \(I_N\) est le résultat de la circulation du courant de la source à travers les différentes branches de ce nouveau circuit.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de \(I_N\) nécessite souvent l'application de techniques d'analyse de circuit comme la loi des mailles, la loi des nœuds ou, comme ici, le principe du diviseur de courant. Le diviseur de courant est particulièrement utile lorsque deux branches sont en parallèle et qu'on connaît le courant total qui y entre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le courant de Norton est le courant maximal que le circuit peut fournir à la charge. C'est une information cruciale en conception pour s'assurer de ne pas détruire un composant sensible en le connectant à un circuit capable de fournir un courant trop élevé.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du courant de court-circuit est une procédure standard en sécurité électrique. Bien que les valeurs ici soient faibles, dans les installations électriques de puissance, ce courant peut être très élevé et dangereux. Sa connaissance est imposée par des normes comme la NFC 15-100 en France pour le dimensionnement des protections (disjoncteurs, fusibles).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi d'Ohm :

I = \frac{V}{R}

Diviseur de courant (pour 2 résistances en parallèle) :

I_1 = I_{\text{total}} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le court-circuit entre A et B est supposé parfait, c'est-à-dire de résistance nulle. Toutes les sources et résistances conservent leurs valeurs nominales.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Tension de source \(V = 12 \, \text{V}\)
Résistances \(R_1, R_2, R_3\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Parfois, il est plus simple de calculer la tension aux bornes A-B en circuit ouvert (la tension de Thévenin, \(V_{\text{Th}}\)) puis d'utiliser la relation \(I_N = V_{\text{Th}} / R_N\). Choisissez la méthode qui vous semble la plus directe selon la configuration du circuit.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de \(I_N\)

La charge est remplacée par un court-circuit. \(I_N\) est le courant qui le traverse.

Calcul(s) (l'application numérique)

1. La résistance équivalente vue par la source est \(R_3\) en parallèle avec la branche \((R_1 + R_2)\) :

\begin{aligned} R_{\text{eq\_source}} &= \frac{R_3 \times (R_1+R_2)}{R_3 + R_1 + R_2} \\ &= \frac{470 \times (100+220)}{470 + 100 + 220} \\ &= \frac{150400}{790} \\ &\approx 190.38 \, \text{Ω} \end{aligned}

2. Calcul du courant total \(I_{\text{total}}\) fourni par la source :

\begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{V}{R_{\text{eq\_source}}} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{190.38 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.06303 \, \text{A} \end{aligned}

3. Ce courant se divise. \(I_N\) est le courant dans la branche \((R_1+R_2)\). On utilise la formule du diviseur de courant :

\begin{aligned} I_N &= I_{\text{total}} \times \frac{R_3}{R_3 + (R_1 + R_2)} \\ &= 0.06303 \, \text{A} \times \frac{470}{470 + 320} \\ &= 0.06303 \, \text{A} \times \frac{470}{790} \\ &\approx 0.0375 \, \text{A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diviseur de Courant pour \(I_N\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le circuit est capable de délivrer un courant maximum de 37.5 mA entre les points A et B. Si on y branche une charge de très faible résistance, le courant qui la traversera se rapprochera de cette valeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la topologie du circuit une fois le court-circuit appliqué. Des résistances qui étaient en série peuvent se retrouver en parallèle. Le diviseur de courant est un outil puissant mais il faut bien identifier le courant total qui se divise et les branches concernées.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour trouver \(I_N\), on court-circuite les bornes de la charge.
On analyse le circuit modifié pour trouver le courant dans ce court-circuit.
Les lois de Kirchhoff et le diviseur de courant sont vos meilleurs alliés.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de "source de courant" peut sembler moins intuitive qu'une source de tension (comme une pile). Pourtant, de nombreux composants électroniques, comme les transistors, se comportent naturellement beaucoup plus comme des sources de courant que des sources de tension. Le modèle de Norton est donc très pertinent en conception électronique.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant de Norton est \(I_N \approx 37.5 \, \text{mA}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la tension de la source \(V\) était de 24V, quelle serait la nouvelle valeur de \(I_N\) en mA ?

Question 3 : Dessiner le circuit équivalent de Norton

Principe (le concept physique)

Tout le circuit à gauche des bornes A et B peut maintenant être remplacé par son équivalent de Norton : une source de courant \(I_N\) en parallèle avec une résistance \(R_N\). On peut ensuite reconnecter notre lampe \(R_L\) à ce modèle simplifié.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce modèle équivalent est une "boîte noire". Du point de vue de la charge, il est impossible de faire la différence entre la "boîte noire" de Norton et le circuit original complexe. Ils fourniront exactement le même courant et la même tension à n'importe quelle charge connectée entre A et B.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Savoir dessiner ce schéma est fondamental. Il représente la conclusion de votre analyse et la base de la dernière étape de calcul. La source de courant est toujours en parallèle avec la résistance de Norton.

Normes (la référence réglementaire)

Les symboles graphiques pour les sources de courant (cercle avec une flèche) et les résistances sont standardisés par des organismes comme l'IEC (Commission Électrotechnique Internationale) pour garantir que les schémas soient compréhensibles par tous les ingénieurs dans le monde.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pas de formule ici, il s'agit de représenter graphiquement le modèle de Norton.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le modèle est une représentation idéale du circuit original.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Courant calculé \(I_N \approx 37.5 \, \text{mA}\)
Résistance calculée \(R_N = 538.75 \, \Omega\)

Astuces(Pour aller plus vite)

La flèche de la source de courant \(I_N\) doit pointer dans la même direction que le courant que vous avez calculé dans le court-circuit (de A vers B ou de B vers A).

Schéma (Avant les calculs)

Composants du Modèle de Norton

Calcul(s) (l'application numérique)

Aucun calcul n'est nécessaire pour cette étape, il s'agit de la construction du schéma.

Schéma (Après les calculs)

Circuit Équivalent de Norton avec la Charge

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce circuit est électriquement identique au circuit original, mais uniquement du point de vue de la charge \(R_L\). L'analyse est maintenant beaucoup plus simple : nous avons une source de courant qui se divise entre deux résistances parallèles.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais connecter la résistance de Norton en série avec la source de courant. C'est le modèle de Thévenin (source de tension en série avec une résistance) qui utilise une connexion en série. Le modèle de Norton est toujours une connexion parallèle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le circuit équivalent de Norton est composé d'une source de courant \(I_N\) en parallèle avec une résistance \(R_N\).
La charge se connecte en parallèle avec cet ensemble.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La "dualité" entre les théorèmes de Norton et Thévenin est un concept puissant en théorie des circuits. Chaque loi ou principe (loi d'Ohm, loi des nœuds/mailles) a son "dual". Cela permet souvent de résoudre un problème de deux manières différentes mais équivalentes.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le schéma ci-dessus représente le circuit équivalent de Norton prêt pour l'analyse de la charge.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(R_N\) était de 1000 Ω, le courant dans la charge \(R_L\) serait-il plus grand ou plus petit ?

Question 4 : Calculer le courant \(I_L\) qui traverse la lampe

Principe (le concept physique)

Dans le circuit équivalent, le courant de la source \(I_N\) se partage entre la résistance de Norton \(R_N\) et la résistance de la lampe \(R_L\). On utilise la formule du diviseur de courant pour trouver la part de \(I_N\) qui traverse \(R_L\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diviseur de courant stipule que le courant dans une branche parallèle est égal au courant total multiplié par le rapport de la résistance de l'autre branche sur la somme des résistances. C'est une conséquence directe de la loi d'Ohm et de la loi des nœuds de Kirchhoff.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'aboutissement de l'exercice. Toute la simplification effectuée précédemment n'avait qu'un seul but : rendre ce calcul final trivial. C'est là toute la puissance des théorèmes de simplification.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul final doit respecter les règles de base de l'arithmétique et des unités du Système International (Ampères, Ohms). La précision du résultat (nombre de chiffres significatifs) doit être cohérente avec celle des données d'entrée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Diviseur de courant :

I_L = I_N \times \frac{R_N}{R_N + R_L}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les valeurs idéales de \(I_N\) et \(R_N\) calculées précédemment, ainsi que la valeur de \(R_L\) donnée dans l'énoncé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Courant de Norton \(I_N \approx 37.5 \, \text{mA}\)
Résistance de Norton \(R_N = 538.75 \, \Omega\)
Résistance de charge \(R_L = 330 \, \Omega\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Attention à la formule du diviseur de courant ! Pour trouver le courant dans une branche (ici \(R_L\)), on multiplié le courant total par la résistance de l'AUTRE branche (\(R_N\)), divisé par la somme des deux résistances.

Schéma (Avant les calculs)

Application du Diviseur de Courant

Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les valeurs calculées précédemment :

\begin{aligned} I_L &= I_N \times \frac{R_N}{R_N + R_L} \\ &= 37.5 \, \text{mA} \times \frac{538.75 \, \Omega}{538.75 \, \Omega + 330 \, \Omega} \\ &= 37.5 \, \text{mA} \times \frac{538.75}{868.75} \\ &\approx 37.5 \, \text{mA} \times 0.6201 \\ &\approx 23.25 \, \text{mA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courant Final dans la Charge

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant qui traverse réellement la lampe est de 23.25 mA. Cette valeur est inférieure au courant de Norton, car une partie du courant est "perdue" dans la résistance interne du circuit d'alimentation (\(R_N\)). Plus la résistance de la charge \(R_L\) est faible par rapport à \(R_N\), plus le courant \(I_L\) se rapprochera de \(I_N\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente dans la formule du diviseur de courant est d'utiliser la mauvaise résistance au numérateur. Rappelez-vous : le courant suit le chemin de moindre résistance. Pour trouver le courant dans \(R_L\), on met la résistance de l'autre chemin (\(R_N\)) au numérateur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le théorème de Norton transforme un problème complexe d'analyse de circuit en une simple application du diviseur de courant.
Le courant final dans la charge dépend à la fois du circuit d'alimentation (via \(I_N\) et \(R_N\)) et de la charge elle-même (\(R_L\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'adaptation d'impédance, crucial en radiofréquence et en audio, est directement lié à ces théorèmes. Pour un transfert de puissance maximal d'une source vers une charge, il faut que l'impédance de la charge soit égale au conjugué de l'impédance interne de la source (qui est \(Z_N\) ou \(Z_{\text{Th}}\)).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant traversant la lampe est \(I_L \approx 23.25 \, \text{mA}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la résistance de la lampe \(R_L\) était égale à \(R_N\) (538.75 Ω), quel serait le courant \(I_L\) en mA ?

Outil Interactif : Simulateur de Circuit

Modifiez les paramètres du circuit pour voir leur influence sur le courant de Norton et le courant final dans la lampe.

Paramètres d'Entrée

Tension Source (V) 12 V

Résistance R1 (Ω) 100 Ω

Résistance Lampe (RL) (Ω) 330 Ω

Résultats Clés

Résistance Norton RN (Ω) -

Courant Norton IN (mA) -

Courant Lampe IL (mA) -

Le Saviez-Vous ?

Le théorème de Norton est le "dual" du théorème de Thévenin. Alors que Thévenin simplifie un circuit en une source de tension en série avec une résistance, Norton le fait avec une source de courant en parallèle. On peut passer de l'un à l'autre très facilement : \(V_{\text{Th}} = I_N \times R_N\) et \(R_{\text{Th}} = R_N\).

Foire Aux Questions (FAQ)

Le théorème de Norton fonctionne-t-il avec des sources de courant ?

Oui, parfaitement. Pour trouver \(R_N\), on remplace les sources de courant par un circuit ouvert. Pour trouver \(I_N\), on garde les sources de courant actives et on calcule le courant de court-circuit, qui sera influencé par toutes les sources du circuit.

Est-ce que ça marche aussi en courant alternatif (AC) ?

Oui. Le principe est exactement le même, mais on manipule des impédances (Z) au lieu de résistances (R). On calcule donc une impédance de Norton \(Z_N\) et un courant de Norton complexe \(I_N\). Les calculs impliquent des nombres complexes, mais la méthode reste identique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour trouver la résistance de Norton, une source de tension idéale doit être :

Remplacée par un circuit ouvert
Remplacée par un court-circuit
Laissée telle quelle dans le circuit

2. Dans un circuit équivalent de Norton, la résistance \(R_N\) est connectée...

En série avec la source de courant \(I_N\)
En série avec la charge \(R_L\)
En parallèle avec la source de courant \(I_N\)

Théorème de Norton: Théorème d'analyse des circuits électriques qui permet de remplacer un réseau linéaire par un générateur de courant équivalent en parallèle avec une résistance équivalente.
Courant de court-circuit (\(I_N\)): Le courant qui circulerait entre deux bornes d'un circuit si elles étaient connectées par un fil de résistance nulle.
Résistance équivalente (\(R_N\)): La résistance totale d'un circuit vue depuis deux bornes, lorsque toutes les sources d'énergie indépendantes sont désactivées.