Comparaison de Filtres Passifs et Actifs

Une entreprise souhaite développer un système audio et a besoin d’un filtre passe-bas pour atténuer les fréquences au-dessus de 1 kHz. Vous êtes chargé de concevoir un filtre passe-bas passif et un filtre passe-bas actif répondant à cette exigence.

Données de l’exercice

Fréquence de coupure souhaitée (\(f_c\)) : 1 kHz
Composants disponibles :
- Résistances (R) : 1 kΩ, 4.7 kΩ, 10 kΩ
- Condensateurs (C) : 10 nF, 100 nF, 470 nF, 1 µF
Amplificateur opérationnel (AOP) : idéal, alimentation ±15 V
Autres paramètres : pour le filtre actif, utiliser une configuration de Sallen-Key avec un facteur d’amortissement (\(\zeta\)) de 0.5.

Questions de l’exercice

Filtre passif : Concevoir un filtre passe-bas simple (RC) pour obtenir une fréquence de coupure \(f_c\) proche de 1 kHz. Choisir les valeurs des composants parmi ceux donnés et calculer la fréquence de coupure réelle.
Filtre actif : Concevoir un filtre passe-bas de Sallen-Key (ordre 2) pour obtenir \(f_c = 1\) kHz et \(\zeta = 0.5\). Choisir les valeurs des composants parmi ceux donnés et indiquer la configuration choisie.

Correction : Comparaison de Filtres Passifs et Actifs

1. Conception du Filtre Passe-Bas Passif (RC)

Un filtre passe-bas passif simple du premier ordre peut être réalisé avec une résistance (R) en série et un condensateur (C) en parallèle avec la charge (ou à la masse si la charge est considérée comme infinie). La fréquence de coupure \(f_c\) est la fréquence à laquelle le gain du filtre est réduit de 3 dB (soit environ 70.7% du gain en continu) et est donnée par la formule : \(f_c = \frac{1}{2 \pi R C}\). Nous devons choisir R et C parmi les valeurs disponibles pour approcher \(f_c = 1000\) Hz.

Schéma du filtre passe-bas passif RC.

Choix des composants et Calcul

Nous cherchons \(R \times C \approx \frac{1}{2 \pi f_c} = \frac{1}{2 \pi (1000)} \approx 1.59 \times 10^{-4} \, \text{s}\). Essayons des combinaisons de valeurs disponibles :

Si R = 1 kΩ (\(10^3\) Ω) : C devrait être \(\approx \frac{1.59 \times 10^{-4}}{10^3} = 1.59 \times 10^{-7}\) F = 159 nF. La valeur disponible la plus proche est 100 nF. Avec R = 1 kΩ et C = 100 nF : \(f_c = \frac{1}{2 \pi (1000)(100 \times 10^{-9})} \approx 1592\) Hz.
Si R = 10 kΩ (\(10^4\) Ω) : C devrait être \(\approx \frac{1.59 \times 10^{-4}}{10^4} = 1.59 \times 10^{-8}\) F = 15.9 nF. La valeur disponible la plus proche est 10 nF. Avec R = 10 kΩ et C = 10 nF : \(f_c = \frac{1}{2 \pi (10000)(10 \times 10^{-9})} \approx 1592\) Hz.
Si R = 4.7 kΩ (\(4700\) Ω) : C devrait être \(\approx \frac{1.59 \times 10^{-4}}{4700} = 3.38 \times 10^{-8}\) F = 33.8 nF. La valeur disponible la plus proche est 10 nF. Avec R = 4.7 kΩ et C = 10 nF : \(f_c = \frac{1}{2 \pi (4700)(10 \times 10^{-9})} \approx 3386\) Hz.

Les combinaisons (R=1 kΩ, C=100 nF) et (R=10 kΩ, C=10 nF) donnent la fréquence de coupure la plus proche de 1 kHz, bien qu'elle soit d'environ 1.6 kHz. Choisissons R = 10 kΩ et C = 10 nF.

\begin{aligned} R &= 10 \, \text{k}\Omega = 10^4 \, \Omega \\ C &= 10 \, \text{nF} = 10 \times 10^{-9} \, \text{F} \\ f_c &= \frac{1}{2 \pi R C} \\ f_c &= \frac{1}{2 \pi (10^4)(10 \times 10^{-9})} \\ f_c &= \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}} \approx 1591.5 \, \text{Hz} \end{aligned}

Fréquence de coupure réelle (passive)

Avec R = 10 kΩ et C = 10 nF, la fréquence de coupure réelle du filtre passif est \(f_c \approx 1592\) Hz.

2. Conception du Filtre Passe-Bas Actif (Sallen-Key)

Nous utilisons une topologie de Sallen-Key d'ordre 2. Pour obtenir un facteur d'amortissement \(\zeta = 0.5\) (correspondant à un filtre de Butterworth, Q=0.707) ou \(\zeta = 0.5\) (Q=1, comme demandé), nous pouvons utiliser une configuration avec gain. La configuration la plus simple pour obtenir Q=1 est celle avec un gain K=2. Les formules pour un filtre Sallen-Key avec \(R_1 = R_2 = R\) et \(C_1 = C_2 = C\) sont : \[ f_c = \frac{1}{2 \pi R C} \] \[ Q = \frac{1}{3 - K} \] Où \(K = 1 + R_b/R_a\) est le gain du montage non-inverseur de l'AOP. Pour obtenir \(Q = \frac{1}{2\zeta} = \frac{1}{2 \times 0.5} = 1\), il faut \(1 = \frac{1}{3-K}\), ce qui implique \(K=2\). Un gain K=2 est obtenu en choisissant \(R_a = R_b\).

Schéma du filtre passe-bas actif de Sallen-Key (avec gain K=1+Rb/Ra).

Choix des composants et Calcul

Fixons \(K=2\) pour obtenir \(\zeta=0.5\). Nous choisissons \(R_a = R_b\). Prenons \(R_a = R_b = 10 \, \text{k}\Omega\) (valeur disponible). Simplifions en choisissant \(R_1 = R_2 = R\) et \(C_1 = C_2 = C\). La fréquence de coupure est \(f_c = \frac{1}{2 \pi R C}\). Nous voulons \(f_c = 1000\) Hz. Donc, \(R C = \frac{1}{2 \pi f_c} = \frac{1}{2 \pi (1000)} \approx 1.59 \times 10^{-4} \, \text{s}\). Comme pour le filtre passif, nous devons trouver une combinaison R, C disponible qui approche cette valeur.

Si C = 10 nF (\(10^{-8}\) F), alors R \(\approx \frac{1.59 \times 10^{-4}}{10^{-8}} = 15900 \, \Omega = 15.9\) kΩ. La valeur disponible la plus proche est 10 kΩ.
Si C = 100 nF (\(10^{-7}\) F), alors R \(\approx \frac{1.59 \times 10^{-4}}{10^{-7}} = 1590 \, \Omega = 1.59\) kΩ. La valeur disponible la plus proche est 1 kΩ.

Choisir \(R = 10 \, \text{k}\Omega\) et \(C = 10 \, \text{nF}\) donne \(f_c \approx 1592\) Hz. Choisir \(R = 1 \, \text{k}\Omega\) et \(C = 100 \, \text{nF}\) donne aussi \(f_c \approx 1592\) Hz. Il est difficile d'atteindre exactement 1 kHz avec les composants disponibles et la contrainte \(\zeta=0.5\) en utilisant \(R_1=R_2\) et \(C_1=C_2\). Nous choisissons la combinaison \(R = 10 \, \text{k}\Omega\) et \(C = 10 \, \text{nF}\) qui minimise la capacité. La fréquence de coupure sera d'environ 1.6 kHz, mais le facteur d'amortissement sera correct (\(\zeta=0.5\)).

\begin{aligned} \text{Choix :} & \\ R_1 = R_2 = R &= 10 \, \text{k}\Omega \\ C_1 = C_2 = C &= 10 \, \text{nF} \\ R_a = R_b &= 10 \, \text{k}\Omega \quad (\text{pour } K=2) \\ \\ \text{Calculs résultants :} & \\ K &= 1 + \frac{R_b}{R_a} = 1 + \frac{10k}{10k} = 2 \\ f_c &= \frac{1}{2 \pi R C} = \frac{1}{2 \pi (10000)(10 \times 10^{-9})} \approx 1592 \, \text{Hz} \\ Q &= \frac{1}{3 - K} = \frac{1}{3 - 2} = 1 \\ \zeta &= \frac{1}{2Q} = \frac{1}{2(1)} = 0.5 \end{aligned}

Configuration finale (active)

Filtre Sallen-Key avec les composants :

\(R_1 = R_2 = 10 \, \text{k}\Omega\)
\(C_1 = C_2 = 10 \, \text{nF}\)
\(R_a = R_b = 10 \, \text{k}\Omega\)

Caractéristiques résultantes : \(f_c \approx 1592 \, \text{Hz}\), \(\zeta = 0.5\), Gain \(K=2\).

Note : Bien que la fréquence de coupure obtenue (≈1.6 kHz) ne soit pas exactement celle souhaitée (1 kHz) en raison des valeurs de composants disponibles, ce filtre actif atteint le facteur d'amortissement désiré (\(\zeta=0.5\)), offrant une réponse plus plate dans la bande passante et une coupure plus nette (ordre 2) que le filtre passif simple (ordre 1). Le filtre actif fournit également un gain (K=2 ici).