Théorème de Norton dans un Circuit d’Éclairage

La configuration est la suivante :

• Les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) sont placées en parallèle.
• Cette combinaison (\( R_{12}

  1. Calcul de la résistance équivalente de Norton \( R_N \)

  a) Combinaison de \( R_1 \) et \( R_2 \) en parallèle

  La formule pour deux résistances en parallèle est :

  \[ R_{\text{par}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \]

  En substituant les valeurs :

  \[ R_{12} = \frac{600\,\Omega \times 300\,\Omega}{600\,\Omega + 300\,\Omega} \] \[ R_{12} = \frac{180\,000\,\Omega^2}{900\,\Omega} \] \[ R_{12} = 200\,\Omega \]

  b) Ajout de \( R_3 \) en série

  Dans le circuit, la résistance obtenue \( R_{12} \) est en série avec \( R_3 \). Pour des résistances en série, on additionne simplement :

  \[ R_{\text{total}} = R_{12} + R_3 \] \[ R_{\text{total}} = 200\,\Omega + 200\,\Omega \] \[ R_{\text{total}} = 400\,\Omega \]

  Cependant, pour calculer la résistance Norton \( R_N \), il faut « désactiver » la source indépendante. Pour une source de tension, cela signifie la remplacer par un court-circuit.

  Schéma avec source désactivée :

  Une fois la source remplacée par un court-circuit, le réseau se modifie :
  \( R_{12} \) issu du couplage de \( R_1 \) et \( R_2 \) se retrouve mis en parallèle avec \( R_3 \) puisque le côté de la source (maintenant court-circuité) relie l’entrée de \( R_{12} \) directement à la borne commune de \( R_3 \).

  On obtient donc :

  \[ R_N = \frac{R_{12} \times R_3}{R_{12} + R_3} \] \[ R_N = \frac{200\,\Omega \times 200\,\Omega}{200\,\Omega + 200\,\Omega} \]

  \[ R_N = \frac{40\,000\,\Omega^2}{400\,\Omega} \] \[ R_N = 100\,\Omega \]

  Résultat : La résistance équivalente de Norton du circuit (excluant \( R_{\text{LED}} \)) est \( R_N = 100\,\Omega \).

  2. Calcul du courant de court-circuit Norton \( I_N \)

  Le courant de court-circuit \( I_N \) est le courant qui serait mesuré si on court-circuitait les bornes auxquelles se branche la LED. Une méthode courante consiste à :

  1. Calculer la tension à vide (ou tension de Thévenin \( V_{\text{th}} \)) aux bornes de \( R_3 \) dans le circuit original (LED déconnectée).
  2. Puis utiliser la relation \[ I_N = \frac{V_{\text{th}}}{R_N} \]

  a) Calcul de la tension à vide \( V_{\text{th}} \)

  Dans le circuit original, sans la LED, le circuit se compose de la source \( V_s \) en série avec le montage \( R_{12} \) et \( R_3 \).
  La tension aux bornes de \( R_3 \) (les mêmes que celles aux bornes de la LED) est obtenue par la loi du diviseur de tension :

  \[ V_{\text{th}} = V_s \times \frac{R_3}{R_{12} + R_3} \]

  Substitution :

  \[ V_{\text{th}} = 12\,\text{V} \times \frac{200\,\Omega}{200\,\Omega + 200\,\Omega} \] \[ V_{\text{th}} = 12\,\text{V} \times \frac{200}{400} \] \[ V_{\text{th}} = 12\,\text{V} \times 0.5 \] \[ V_{\text{th}} = 6\,\text{V} \]

  b) Calcul de \( I_N \)

  Maintenant, sachant que \( R_N = 100\,\Omega \), on peut obtenir :

  \[ I_N = \frac{V_{\text{th}}}{R_N} \] \[ I_N = \frac{6\,\text{V}}{100\,\Omega} \] \[ I_N = 0,06\,\text{A} \] \[ I_N = 60\,\text{mA} \]

  Résultat : Le courant de court-circuit Norton est \( I_N = 60\,\text{mA} \).

  3. Calcul du courant traversant la LED \( I_{\text{LED}} \)

  Une fois la représentation Norton obtenue (un générateur de courant \( I_N = 60\,\text{mA} \) en parallèle avec \( R_N = 100\,\Omega \)), la LED (modélisée par \( R_{\text{LED}} = 150\,\Omega \)) est reconnectée entre les bornes.

  a) Schéma équivalent Norton avec charge

  Le circuit équivalent Norton est donc constitué :

  • D’un générateur de courant \( I_N = 60\,\text{mA} \).
  • En parallèle avec une résistance \( R_N = 100\,\Omega \).
  • Et le résistor \( R_{\text{LED}} = 150\,\Omega \) est branché en parallèle.

  b) Loi du diviseur de courant

  Dans un circuit parallèle, le courant se divise en fonction des inverses des résistances. La formule de répartition du courant pour la branche \( R_{\text{LED}} \) est :

  \[ I_{\text{LED}} = I_N \times \frac{\displaystyle \frac{1}{R_{\text{LED}}}}{\displaystyle \frac{1}{R_N} + \frac{1}{R_{\text{LED}}}} \]

  Substitution directe :

  Calculons chaque terme :

  • Pour \( R_N \) : \(\displaystyle \frac{1}{R_N} = \frac{1}{100\,\Omega} = 0,01\,\Omega^{-1}\)
  • Pour \( R_{\text{LED}} \) : \(\displaystyle \frac{1}{R_{\text{LED}}} = \frac{1}{150\,\Omega} \approx 0,006667\,\Omega^{-1}\)

  La somme :

  \[ \frac{1}{R_N} + \frac{1}{R_{\text{LED}}} \approx 0,01 + 0,006667 \] \[ = 0,016667\,\Omega^{-1} \]

  Ensuite :

  \[ \frac{1}{R_{\text{LED}}} \Big/ \left( \frac{1}{R_N} + \frac{1}{R_{\text{LED}}} \right) \] \[ = \frac{0,006667}{0,016667} \] \[ \approx 0,4 \]

  Donc :

  \[ I_{\text{LED}} = 60\,\text{mA} \times 0,4 \] \[ I_{\text{LED}} = 24\,\text{mA} \]

  Alternative par le calcul de la tension aux bornes communes :

  Dans l’équivalent Norton, la tension aux bornes du circuit (lorsqu’on connecte \( R_{\text{LED}} \)) est :

  \[ V = I_N \times \left( R_N \parallel R_{\text{LED}} \right) \]

  Avec :

  \[ R_N \parallel R_{\text{LED}} = \frac{R_N \times R_{\text{LED}}}{R_N + R_{\text{LED}}} \] \[ R_N \parallel R_{\text{LED}} = \frac{100\,\Omega \times 150\,\Omega}{100\,\Omega + 150\,\Omega} \] \[ R_N \parallel R_{\text{LED}} = \frac{15\,000\,\Omega^2}{250\,\Omega} \] \[ R_N \parallel R_{\text{LED}} = 60\,\Omega \]

  Ainsi :

  \[ V = 60\,\text{mA} \times 60\,\Omega \] \[ V = 0,06\,\text{A} \times 60\,\Omega \] \[ V = 3,6\,\text{V} \]

  Le courant traversant la LED est alors :

  \[ I_{\text{LED}} = \frac{V}{R_{\text{LED}}} \] \[ I_{\text{LED}} = \frac{3,6\,\text{V}}{150\,\Omega} \] \[ I_{\text{LED}} = 0,024\,\text{A} \] \[ I_{\text{LED}} = 24\,\text{mA} \]

  Résultat : Le courant traversant la LED est \( I_{\text{LED}} = 24\,\text{mA} \).

  donnant \( R_N = 100\,\Omega \).