Optimisation de la Bande Passante

Exercice : Optimisation de la Bande Passante d'un Filtre RLC

Optimisation de la Bande Passante d'un Filtre RLC

Contexte : Le filtre RLC passe-bandeUn circuit électronique qui laisse passer les fréquences comprises dans une certaine plage et atténue les fréquences en dehors de cette plage..

En télécommunications, la sélectivité des récepteurs est cruciale pour isoler un signal désiré parmi une multitude de transmissions. Le filtre RLC série est un composant fondamental pour cette fonction. Cet exercice a pour but de dimensionner les composants d'un tel filtre pour répondre à un cahier des charges précis en termes de fréquence centrale et de sélectivité, deux paramètres clés pour garantir une communication claire et sans interférences.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les concepts de résonance, de bande passante et de facteur de qualité, et à les appliquer pour concevoir un filtre répondant à des exigences pratiques.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la fréquence de résonance et la bande passante d'un circuit RLC.
Comprendre l'influence du facteur de qualité sur la sélectivité du filtre.
Dimensionner une inductance pour atteindre une bande passante cible.
Analyser la réponse en fréquence d'un filtre via un simulateur.

Données de l'étude

On souhaite réaliser un filtre passe-bande pour un récepteur radio. Le filtre doit être centré sur la fréquence d'une station émettant à 1 MHz. Le circuit est un filtre RLC série simple.

Schéma du Filtre RLC Série

Visualisation 3D des Composants

Paramètre	Description	Valeur	Unité
R	Résistance totale du circuit	10	Ω
C	Capacité du condensateur	250	pF
f₀	Fréquence centrale désirée	1	MHz

Questions à traiter

Calculer la valeur de l'inductance L nécessaire pour que le filtre soit centré sur 1 MHz.
Déterminer la bande passante à -3 dB et le facteur de qualité Q du filtre avec l'inductance calculée.
Le cahier des charges impose une bande passante maximale de 10 kHz pour éviter les interférences. Le filtre est-il conforme ? Si non, quelle(s) modification(s) peut-on apporter ?

Les bases sur les Filtres RLC

Un filtre RLC série est en résonance lorsque les impédances de l'inductance et du condensateur s'annulent. À cette fréquence, l'impédance totale du circuit est minimale et égale à la résistance R.

1. Fréquence de Résonance (f₀)
C'est la fréquence où le filtre offre le gain maximal. Elle est déterminée par les valeurs de L et C. \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

2. Bande Passante (BP) et Facteur de Qualité (Q)
La bande passante est la plage de fréquences pour laquelle la puissance du signal est au moins la moitié de la puissance maximale. Le facteur de qualité Q mesure la sélectivité du filtre : un Q élevé correspond à une bande passante étroite. \[ \text{BP} = f_2 - f_1 = \frac{R}{2\pi L} \quad | \quad Q = \frac{f_0}{\text{BP}} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \]

Correction : Optimisation de la Bande Passante d'un Filtre RLC

Question 1 : Calcul de l'inductance L

Principe (le concept physique)

Pour qu'un filtre RLC "résonne" ou soit centré sur une fréquence spécifique, il faut que les effets de l'inductance (qui stocke l'énergie sous forme magnétique) et de la capacité (qui la stocke sous forme électrique) se compensent parfaitement. À cette fréquence de résonance, le circuit se comporte comme une simple résistance, laissant passer le signal avec une efficacité maximale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'impédance d'une inductance est \(Z_L = jL\omega\) et celle d'un condensateur est \(Z_C = 1/(jC\omega)\), où \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation. À la résonance, la partie imaginaire de l'impédance totale \(Z = R + Z_L + Z_C\) est nulle, ce qui signifie \(L\omega_0 - 1/(C\omega_0) = 0\). Ceci mène directement à la formule de Thomson pour la pulsation de résonance \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'erreur classique est de se précipiter sur les chiffres. Prenez toujours le temps d'isoler algébriquement la variable que vous cherchez (ici, L) avant de faire l'application numérique. Cela rend la formule plus claire et limite les erreurs de calcul.

Normes (la référence réglementaire)

Dans un contexte professionnel, on ne choisirait pas n'importe quelle valeur calculée. On se référerait aux séries de valeurs normalisées pour les composants, comme la série E12 ou E24 (norme IEC 60063), pour choisir une inductance ou une capacité qui existe réellement sur le marché.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la formule de la fréquence de résonance, et on l'isole pour trouver L :

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow L = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 C}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les composants (R, L, C) sont considérés comme "idéaux", sans résistances, capacités ou inductances parasites.
La source de tension est parfaite, sans impédance interne.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquence de résonance, \(f_0 = 1 \text{ MHz} = 1 \times 10^6 \text{ Hz}\)
Capacité, \(C = 250 \text{ pF} = 250 \times 10^{-12} \text{ F}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour vérifier l'ordre de grandeur, retenez que le produit LC est inversement proportionnel au carré de la fréquence. Si vous doublez la fréquence, vous devez diviser le produit LC par quatre.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit RLC avec L inconnu

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} L &= \frac{1}{(2\pi \times 1 \times 10^6)^2 \times (250 \times 10^{-12})} \\ &= \frac{1}{(39.478 \times 10^{12}) \times (250 \times 10^{-12})} \\ &= \frac{1}{9869.5} \\ &\approx 1.013 \times 10^{-4} \text{ H} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Circuit RLC avec la valeur de L calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 101.3 µH est une valeur typique pour une inductance dans une application radiofréquence (RF) de l'ordre du MHz. Ce résultat est donc physiquement cohérent et réalisable avec des composants standards.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités ! L'erreur la plus fréquente est de mal gérer les préfixes : "M" pour méga (10⁶) et "p" pour pico (10⁻¹²). Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée. Utilisez toujours les puissances de 10 dans vos calculs pour plus de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour centrer un filtre RLC sur une fréquence donnée, il faut que le produit LC soit égal à \(1 / (2\pi f_0)^2\). C'est la relation fondamentale à maîtriser. Si on vous donne L, vous pouvez trouver C, et vice-versa.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le principe de la résonance a été découvert par Galilée au 17ème siècle en étudiant les pendules. C'est ce même principe qui permettait aux premiers postes de radio de "capter" une station spécifique en tournant un bouton, qui ajustait en fait la capacité d'un condensateur variable.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

\[ L \approx 101.3 \text{ µH} \]

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si la fréquence désirée était de 2 MHz, quelle serait la nouvelle valeur de L (avec C = 250 pF) ?

Question 2 : Bande Passante et Facteur de Qualité

Principe (le concept physique)

La bande passante définit la "largeur" de la plage de fréquences que le filtre laisse passer efficacement. Le facteur de qualité, Q, est une mesure de la "netteté" ou de la sélectivité de cette résonance. Un filtre très "pointu" (Q élevé) aura une bande passante très étroite, ce qui est idéal pour rejeter les fréquences voisines indésirables.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La bande passante à -3dB correspond à l'écart entre les deux fréquences (f₁ et f₂) où la puissance du signal de sortie est la moitié de la puissance à la résonance. Cela correspond à une tension de sortie égale à \(V_{\text{max}}/\sqrt{2}\). Le facteur de qualité Q peut être vu comme le rapport de l'énergie stockée dans le circuit à l'énergie dissipée par cycle par la résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez bien la relation inverse entre R et Q, et la relation directe entre R et la bande passante. Pour rendre un filtre plus sélectif (Q plus grand, BP plus petite), il faut minimiser les pertes, c'est-à-dire réduire la résistance R.

Normes (la référence réglementaire)

La définition de la bande passante "à -3 dB" est une convention universelle en électronique et en traitement du signal. Le décibel (dB) est une unité logarithmique qui simplifie la représentation de grands rapports de puissance ou de tension.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\text{BP} = \frac{R}{2\pi L} \quad \text{et} \quad Q = \frac{f_0}{\text{BP}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les calculs restent basés sur le modèle des composants idéaux. La valeur de L est celle que nous avons calculée à la question précédente.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Résistance, R = 10 Ω
Inductance, L ≈ 101.3 µH = 101.3 x 10⁻⁶ H
Fréquence de résonance, f₀ = 1 MHz

Astuces (Pour aller plus vite)

On peut aussi calculer Q directement avec la formule \(Q = (1/R)\sqrt{L/C}\). Cela permet de vérifier la cohérence de vos calculs de BP. Si les deux méthodes ne donnent pas le même Q, il y a une erreur quelque part !

Schéma (Avant les calculs)

Réponse en fréquence d'un filtre passe-bande

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la bande passante (BP) :

\begin{aligned} \text{BP} &= \frac{10}{2\pi \times 101.3 \times 10^{-6}} \\ &\approx \frac{10}{6.365 \times 10^{-4}} \\ &\approx 15711 \text{ Hz} \end{aligned}

Calcul du facteur de qualité (Q) :

\begin{aligned} Q &= \frac{1 \times 10^6}{15711} \\ &\approx 63.65 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe de réponse avec valeurs calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une bande passante de 15.7 kHz signifie que le filtre laissera passer non seulement la fréquence de 1 MHz, mais aussi les fréquences allant d'environ 992.15 kHz à 1007.85 kHz avec une atténuation faible. Le facteur de qualité de 63.7 est relativement élevé, indiquant un filtre déjà assez sélectif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas la pulsation \(\omega\) (en rad/s) et la fréquence \(f\) (en Hz). La formule de la bande passante est parfois donnée avec \(\omega\) (\(BP_\omega = R/L\)). Assurez-vous d'utiliser la bonne formule (avec ou sans le \(2\pi\)) en fonction de l'unité que vous manipulez.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La bande passante dépend de R et L. Le facteur de qualité dépend de R, L et C. Ces deux grandeurs sont inversement liées : si l'une augmente, l'autre diminue. C'est le compromis fondamental de la conception de filtres.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En acoustique, le facteur de qualité d'une salle de concert ou d'un instrument de musique est crucial. Un Q trop élevé peut faire "résonner" certaines notes de manière désagréable, tandis qu'un Q trop faible peut donner un son "plat" et sans vie.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

\[ \text{BP} \approx 15.71 \text{ kHz} \quad | \quad Q \approx 63.7 \]

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si la résistance était de 5 Ω, quelle serait la nouvelle bande passante ?

Question 3 : Conformité et Optimisation

Principe (le concept physique)

Cette question nous fait passer de la théorie à la pratique de l'ingénieur. On compare notre calcul à une exigence réelle (le cahier des charges). Si notre conception ne répond pas au besoin, nous devons analyser les paramètres sur lesquels nous pouvons jouer pour l'améliorer et atteindre la performance visée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'optimisation d'un circuit consiste à ajuster les valeurs des composants pour satisfaire un ensemble de contraintes. La sensibilité d'une performance (ex: la bande passante) à un paramètre (ex: la résistance) est une notion clé. On cherche à modifier les paramètres qui ont le plus d'impact sur la performance à corriger, tout en minimisant les effets secondaires sur les autres performances.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un bon ingénieur ne se contente pas de dire "ça ne marche pas". Il analyse pourquoi ça ne marche pas et propose des solutions concrètes et justifiées. C'est exactement l'objet de cette question : identifier le problème et proposer une piste d'amélioration.

Normes (la référence réglementaire)

Les cahiers des charges sont des documents contractuels qui définissent les performances attendues d'un produit. En radiocommunication, les allocations de fréquences et les largeurs de canal sont strictement réglementées par des organismes comme l'ARCEP en France ou l'UIT au niveau international pour éviter les interférences.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule clé pour l'optimisation ici est celle de la bande passante, qui nous montre les leviers d'action :

\text{BP} = \frac{R}{2\pi L}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'on peut modifier la valeur de R sans introduire d'effets parasites significatifs et que L et C restent fixes pour ne pas changer la fréquence centrale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Bande passante calculée : \(BP_{\text{calc}} \approx 15.71 \text{ kHz}\)
Bande passante requise : \(BP_{\text{req}} \le 10 \text{ kHz}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque BP est directement proportionnelle à R, le rapport des bandes passantes est égal au rapport des résistances. Pour passer de 15.71 kHz à 10 kHz, il faudra multiplier R par \(10 / 15.71 \approx 0.637\).

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Bandes Passantes

Calcul(s) (l'application numérique)

Comparaison :

15.71 \text{ kHz} > 10 \text{ kHz} \Rightarrow \text{Non-conforme}

Pour trouver la solution, on peut isoler R dans la formule de BP : \(R = \text{BP} \times 2\pi L\). Pour obtenir \(\text{BP} = 10 \text{ kHz}\), il faudrait une résistance de :

\begin{aligned} R_{\text{cible}} &= 10000 \times 2\pi \times 101.3 \times 10^{-6} \\ &\approx 6.37 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe de réponse du filtre optimisé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le filtre actuel est non-conforme car sa bande passante est trop large de plus de 50%. La solution la plus simple et la plus directe est de réduire la résistance totale du circuit à environ 6.4 Ω. Cela peut être fait en choisissant une résistance de plus faible valeur ou en utilisant une bobine avec une résistance interne plus faible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas proposer une solution qui résout un problème en en créant un autre. Par exemple, changer L ou C pour ajuster la bande passante est une mauvaise idée car cela décalerait la fréquence centrale, ce qui est la performance principale du filtre !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Face à un cahier des charges, la démarche est toujours : 1. Calculer les performances du design initial. 2. Comparer aux exigences. 3. Si non-conforme, identifier les paramètres influents. 4. Proposer une modification justifiée.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les filtres très haute performance (filtres à quartz, filtres SAW), le facteur de qualité peut atteindre plusieurs milliers, voire dizaines de milliers, permettant de créer des bandes passantes extrêmement étroites, essentielles pour les communications mobiles et le GPS.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le filtre n'est pas conforme. La solution principale est de réduire la résistance R à une valeur inférieure ou égale à 6.37 Ω.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si le cahier des charges était encore plus strict et imposait BP ≤ 5 kHz, quelle serait la résistance maximale admissible ?

Outil Interactif : Simulateur de Filtre RLC

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité, et observez en temps réel leur impact sur la bande passante, le facteur de qualité et la courbe de réponse du filtre.

Paramètres d'Entrée

Résistance (R) 10 Ω

Capacité (C) 250 pF

Résultats Clés

Bande Passante (kHz) -

Facteur de Qualité (Q) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la résistance (R) dans un filtre RLC série, que devient la bande passante ?

Elle diminue
Elle augmente
Elle reste inchangée

2. Un facteur de qualité (Q) élevé signifie que le filtre est :

Très sélectif
Peu sélectif
A large bande

Bande Passante: Intervalle de fréquences sur lequel un filtre laisse passer le signal avec une atténuation inférieure à 3 dB par rapport au maximum.
Facteur de Qualité (Q): Grandeur sans dimension qui caractérise la sélectivité d'un système résonant. Plus Q est élevé, plus le filtre est sélectif.
Résonance: Phénomène par lequel l'amplitude d'oscillation d'un système est maximale à une certaine fréquence, appelée fréquence de résonance.

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Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Circuit RLC avec L inconnu

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Circuit RLC avec la valeur de L calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 2 : Bande Passante et Facteur de Qualité

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Réponse en fréquence d'un filtre passe-bande

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Courbe de réponse avec valeurs calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Question 3 : Conformité et Optimisation

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des Bandes Passantes

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Courbe de réponse du filtre optimisé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Outil Interactif : Simulateur de Filtre RLC

Paramètres d'Entrée

Résultats Clés

Quiz Final : Testez vos connaissances

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