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Exercices Électricité

Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC

Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle

Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle

Comprendre l'Admittance d’un Circuit RLC Parallèle

L'admittance (\(Y\)) est une mesure de la facilité avec laquelle un circuit ou un composant laisse passer un courant alternatif. C'est l'inverse de l'impédance (\(Z\)), de la même manière que la conductance est l'inverse de la résistance en courant continu. L'admittance est une grandeur complexe, exprimée en Siemens (S), et s'écrit sous la forme \(Y = G + jB\), où \(G\) est la conductance (partie réelle) et \(B\) est la susceptance (partie imaginaire). Pour les circuits parallèles, il est souvent plus simple de travailler avec les admittances car elles s'additionnent directement, contrairement aux impédances.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC parallèle alimenté par une source de tension alternative \(v_s(t)\) de fréquence \(f\).

Valeurs des composants et de la source :

  • Résistance \(R\) : \(25 \, \Omega\)
  • Inductance \(L\) : \(50 \, \text{mH}\)
  • Capacité \(C\) : \(100 \, \mu\text{F}\)
  • Fréquence de la source : \(f = 60 \, \text{Hz}\)
Schéma : Circuit RLC Parallèle
Vs(t) R 25Ω L 50mH C 100µF

Circuit RLC parallèle alimenté par une source de tension alternative.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation angulaire \(\omega\) de la source.
  2. Calculer la conductance \(G\) de la résistance.
  3. Calculer la susceptance inductive \(B_L\).
  4. Calculer la susceptance capacitive \(B_C\).
  5. Calculer la susceptance totale \(B\) du circuit.
  6. Exprimer l'admittance totale \(Y\) du circuit sous forme rectangulaire (\(G + jB\)).
  7. Calculer le module \(|Y|\) de l'admittance totale.
  8. Calculer l'angle de phase \(\theta_Y\) de l'admittance totale (en degrés). Le circuit est-il globalement inductif ou capacitif ?

Correction : Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle

Question 1 : Pulsation angulaire \(\omega\)

Principe :

La pulsation angulaire \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • \(f = 60 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times 60 \, \text{Hz} \\ &= 120\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 376.991 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation angulaire est \(\omega \approx 376.99 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Conductance \(G\)

Principe :

La conductance \(G\) est l'inverse de la résistance \(R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G = \frac{1}{R}\]
Données spécifiques :
  • \(R = 25 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G &= \frac{1}{25 \, \Omega} \\ &= 0.04 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La conductance est \(G = 0.04 \, \text{S}\) (ou \(40 \, \text{mS}\)).

Question 3 : Susceptance Inductive \(B_L\)

Principe :

La susceptance inductive \(B_L\) est l'inverse négatif de la réactance inductive \(X_L = L\omega\). Donc, \(B_L = -\frac{1}{L\omega}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[B_L = -\frac{1}{L\omega}\]
Données spécifiques :
  • \(L = 50 \, \text{mH} = 50 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • \(\omega \approx 376.991 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= (50 \times 10^{-3} \, \text{H}) \times (120\pi \, \text{rad/s}) \\ &= 6\pi \, \Omega \approx 18.8495 \, \Omega \\ B_L &= -\frac{1}{6\pi \, \Omega} \\ &\approx -\frac{1}{18.8495 \, \Omega} \\ &\approx -0.05305 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La susceptance inductive est \(B_L \approx -0.0531 \, \text{S}\) (ou \(-53.1 \, \text{mS}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : La susceptance inductive est toujours :

Question 4 : Susceptance Capacitive \(B_C\)

Principe :

La susceptance capacitive \(B_C\) est l'inverse de la réactance capacitive \(X_C = \frac{1}{C\omega}\), mais comme \(X_C\) est souvent considérée comme \(1/(jC\omega)\) et \(B_C = 1/X_C\), alors \(B_C = C\omega\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[B_C = C\omega\]
Données spécifiques :
  • \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(\omega \approx 376.991 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B_C &= (100 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (120\pi \, \text{rad/s}) \\ &= 0.012\pi \, \text{S} \\ &\approx 0.037699 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La susceptance capacitive est \(B_C \approx 0.0377 \, \text{S}\) (ou \(37.7 \, \text{mS}\)).

Question 5 : Susceptance Totale \(B\)

Principe :

La susceptance totale \(B\) d'un circuit parallèle est la somme algébrique des susceptances individuelles : \(B = B_L + B_C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[B = B_L + B_C\]
Données spécifiques :
  • \(B_L \approx -0.05305 \, \text{S}\)
  • \(B_C \approx 0.037699 \, \text{S}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B &\approx -0.05305 \, \text{S} + 0.037699 \, \text{S} \\ &\approx -0.015351 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La susceptance totale est \(B \approx -0.0154 \, \text{S}\) (ou \(-15.4 \, \text{mS}\)).

Question 6 : Admittance Totale \(Y\) (forme rectangulaire)

Principe :

L'admittance totale \(Y\) est donnée par \(Y = G + jB\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Y = G + jB\]
Données spécifiques :
  • \(G = 0.04 \, \text{S}\)
  • \(B \approx -0.015351 \, \text{S}\)
Calcul :
\[Y \approx 0.04 \, \text{S} + j(-0.015351 \, \text{S})\]\[Y \approx (0.04 - j0.01535) \, \text{S}\]
Résultat Question 6 : L'admittance totale est \(Y \approx (0.04 - j0.0154) \, \text{S}\).

Question 7 : Module \(|Y|\) de l'Admittance Totale

Principe :

Le module d'un nombre complexe \(Y = G + jB\) est \(|Y| = \sqrt{G^2 + B^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[|Y| = \sqrt{G^2 + B^2}\]
Données spécifiques :
  • \(G = 0.04 \, \text{S}\)
  • \(B \approx -0.015351 \, \text{S}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |Y| &\approx \sqrt{(0.04)^2 + (-0.015351)^2} \\ &\approx \sqrt{0.0016 + 0.00023565} \\ &\approx \sqrt{0.00183565} \\ &\approx 0.04284 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le module de l'admittance totale est \(|Y| \approx 0.0428 \, \text{S}\) (ou \(42.8 \, \text{mS}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : L'admittance est l'inverse de :

Question 8 : Angle de Phase \(\theta_Y\) de l'Admittance Totale

Principe :

L'angle de phase \(\theta_Y\) de l'admittance \(Y = G + jB\) est donné par \(\theta_Y = \arctan\left(\frac{B}{G}\right)\). Si \(B < 0\), le circuit est globalement inductif (l'admittance a une composante inductive dominante). Si \(B > 0\), il est capacitif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\theta_Y = \arctan\left(\frac{B}{G}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(G = 0.04 \, \text{S}\)
  • \(B \approx -0.015351 \, \text{S}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta_Y &\approx \arctan\left(\frac{-0.015351}{0.04}\right) \\ &\approx \arctan(-0.383775) \\ &\approx -0.3669 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Conversion en degrés : \(\theta_Y \approx -0.3669 \times \frac{180}{\pi} \approx -21.02^\circ\).

Puisque \(B < 0\) (ou \(\theta_Y < 0\)), le circuit est globalement inductif.

Résultat Question 8 : L'angle de phase de l'admittance est \(\theta_Y \approx -21.02^\circ\). Le circuit est globalement inductif.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'unité de l'admittance est le :

2. La conductance \(G\) est la partie ______ de l'admittance.

3. Si la susceptance totale \(B\) d'un circuit parallèle est positive, le circuit est globalement :

Glossaire

Admittance (Y)
Inverse de l'impédance (\(Z\)). Mesure de la facilité avec laquelle un circuit laisse passer un courant alternatif. Unité : Siemens (S). \(Y = 1/Z\).
Conductance (G)
Partie réelle de l'admittance. Inverse de la résistance pour un composant purement résistif. Unité : Siemens (S). \(G = 1/R\).
Susceptance (B)
Partie imaginaire de l'admittance. Unité : Siemens (S).
Susceptance Inductive (\(B_L\))
Susceptance due à une inductance. \(B_L = -1/(L\omega)\). Elle est négative.
Susceptance Capacitive (\(B_C\))
Susceptance due à une capacité. \(B_C = C\omega\). Elle est positive.
Impédance (Z)
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, incluant résistance et réactances. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Pulsation Angulaire (\(\omega\))
Vitesse de rotation du vecteur de phase dans la représentation de Fresnel, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radians par seconde (rad/s).
Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle

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