Exercices Électricité

Menu Électricité - Code Final
Chargement...
Électricité

Chargement...

... • Par Exercices Élec
Image de couverture
Exercice : Admittance d'un Circuit RLC Série

Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Série

Contexte : L'AdmittanceL'admittance (Y) est l'inverse de l'impédance (Z). Elle mesure la facilité avec laquelle un circuit laisse passer un courant alternatif. Son unité est le Siemens (S). d'un circuit RLC.

En électrotechnique, alors que l'impédanceL'impédance (Z) est l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe \(Z = R + jX\). (\(Z\)) représente l'opposition totale au passage du courant, l'admittance (\(Y\)) est son inverse (\(Y = 1/Z\)). Elle est particulièrement utile pour analyser des circuits en parallèle. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de l'admittance pour un circuit RLC série simple, en décomposant l'impédance complexe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à passer de l'impédance à l'admittance en utilisant la division de nombres complexes. Vous maîtriserez les concepts de conductanceLa partie réelle de l'admittance (G). Elle représente la dissipation d'énergie (effet Joule) dans le circuit. (\(G\)) et de susceptanceLa partie imaginaire de l'admittance (B). Elle représente l'énergie stockée (magnétique ou électrique) dans le circuit. (\(B\)).

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les réactances inductive (\(X_L\)) et capacitive (\(X_C\)).
  • Déterminer l'impédance complexe totale (\(Z\)) d'un circuit RLC série.
  • Calculer l'admittance complexe (\(Y\)) en inversant l'impédance.
  • Identifier la conductance (\(G\)) et la susceptance (\(B\)) à partir de \(Y\).
  • Comprendre la relation entre l'impédance et l'admittance.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par une source de tension sinusoïdale.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de Circuit RLC Série
Composants Résistance (R), Inductance (L), Capacité (C)
Alimentation Sinusoïdale
Schéma du Circuit RLC Série
Schéma d'un circuit RLC série v(t) R L C
Paramètre Description Symbole Valeur
Résistance Partie résistive du circuit \(R\) 50 \(\Omega\)
Inductance Bobine dans le circuit \(L\) 100 mH (0.1 H)
Capacité Condensateur dans le circuit \(C\) 10 \(\mu\)F (10 \(\times 10^{-6}\) F)
Fréquence Fréquence de la source \(f\) 50 Hz

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation (vitesse angulaire) \(\omega\) du circuit.
  2. Calculer la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\).
  3. Déterminer l'impédance complexe totale \(Z\) sous forme rectangulaire (\(R + jX\)) et son module \(|Z|\).
  4. Calculer l'admittance complexe totale \(Y\) en utilisant \(Y = 1/Z\).
  5. Exprimer \(Y\) sous forme rectangulaire \(Y = G + jB\) et identifier les valeurs de la conductance (\(G\)) et de la susceptance (\(B\)).

Les bases sur l'Impédance et l'Admittance

Pour résoudre cet exercice, nous devons naviguer entre deux représentations d'un circuit : l'impédance et l'admittance.

1. Impédance Complexe (\(Z\))
L'impédance est l'opposition au courant en régime alternatif. Pour un circuit série : \[ Z = Z_R + Z_L + Z_C \] Où \(Z_R = R\), \(Z_L = jX_L\), et \(Z_C = -jX_C\).
La pulsation \(\omega\) est donnée par \( \omega = 2 \pi f \).
Les réactances sont : \(X_L = \omega L\) (inductive) et \(X_C = \frac{1}{\omega C}\) (capacitive).
L'impédance totale est donc : \[ Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = R + jX \]

2. Admittance Complexe (\(Y\))
L'admittance est l'inverse de l'impédance : \( Y = \frac{1}{Z} \).
On l'exprime sous forme rectangulaire : \( Y = G + jB \), où :

  • \(G\) est la Conductance (partie réelle).
  • \(B\) est la Susceptance (partie imaginaire).
Pour trouver \(G\) et \(B\) à partir de \(Z = R + jX\), on multiplie par le conjugué : \[ Y = \frac{1}{R + jX} \cdot \frac{R - jX}{R - jX} = \frac{R - jX}{R^2 + X^2} \] \[ Y = \left(\frac{R}{R^2 + X^2}\right) + j\left(\frac{-X}{R^2 + X^2}\right) \] Donc : \( G = \frac{R}{|Z|^2} \) et \( B = \frac{-X}{|Z|^2} \).

Correction : Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Série

Question 1 : Calculer la pulsation (vitesse angulaire) \(\omega\) du circuit.

Principe

La pulsation \(\omega\) (ou vitesse angulaire) est une mesure de la vitesse de rotation du vecteur de phase de la tension ou du courant. Elle est directement liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par une formule simple.

Mini-Cours

La fréquence \(f\) représente le nombre de cycles (oscillations) par seconde, mesuré en Hertz (Hz). La pulsation \(\omega\) représente la même information mais en radians par seconde (rad/s), ce qui est plus pratique pour les calculs trigonométriques et complexes en électricité. Un cycle complet correspond à \(2\pi\) radians.

Remarque Pédagogique

C'est la première étape indispensable de tout calcul en régime sinusoïdal. Toutes les formules de réactance (\(X_L\) et \(X_C\)) dépendent de \(\omega\), et non de \(f\).

Normes

L'utilisation de \(\omega\) (lettre grecque oméga minuscule) pour la pulsation et \(f\) pour la fréquence est une convention internationale en physique et en ingénierie (ISO/IEC).

Formule(s)

La formule pour lier la pulsation (en radians par seconde) et la fréquence (en Hertz) est :

\[ \omega = 2 \pi f \]
Hypothèses

Nous supposons que la fréquence \(f\) donnée est constante et que le régime sinusoïdal est établi.

Donnée(s)

Nous extrayons la seule donnée nécessaire pour cette étape à partir du tableau de l'énoncé :

ParamètreSourceValeur
Fréquence (\(f\))Tableau de l'énoncé50 Hz
Astuces

Pour \(f = 50 \text{ Hz}\), une valeur très commune, \(\omega\) vaut environ \(314 \text{ rad/s}\). Pour \(f = 60 \text{ Hz}\), \(\omega\) vaut environ \(377 \text{ rad/s}\). Mémoriser ces approximations peut aider à vérifier un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la pulsation comme la vitesse de rotation d'un vecteur sur le cercle trigonométrique.

Visualisation de la Pulsation
ωVecteurf cycles/s -> ω rad/s
Calcul(s)

Nous appliquons la formule en utilisant la valeur de \(f\) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \pi \times f \\ \omega &= 2 \pi \times 50 \\ \omega &\approx 314.159... \\ \omega &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul est direct. La pulsation est une valeur scalaire qui définit la vitesse de rotation pour l'ensemble du circuit.

Résultat : Pulsation
f = 50 Hz ω ≈ 314.16 rad/s
Réflexions

Cette valeur de 314.16 rad/s sera la base de tous les calculs de réactance qui suivent. Nous la conserverons en mémoire pour les étapes suivantes.

Points de vigilance

Ne jamais confondre \(f\) et \(\omega\). Utiliser \(f=50\) dans les formules de réactance est une erreur très fréquente qui faussera tous les résultats.

Points à retenir

Cette conversion est fondamentale. \(\omega\) est utilisée dans toutes les formules de réactance, tandis que \(f\) est la valeur généralement donnée pour les réseaux électriques (comme 50 Hz en Europe ou 60 Hz en Amérique du Nord).

Le saviez-vous ?

Le Hertz (Hz) est nommé d'après Heinrich Hertz, qui a prouvé l'existence des ondes électromagnétiques. Le Radian est une unité "pure" (sans dimension) car c'est un rapport de longueurs (arc / rayon), c'est pourquoi il "disparaît" souvent dans les analyses dimensionnelles.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi utilise-t-on des radians par seconde ?

Car la dérivée de \(\sin(\omega t)\) est \(\omega \cos(\omega t)\). Cette simplicité mathématique rend \(\omega\) indispensable en analyse de circuits, où les tensions et courants sont des sinusoïdes.

Résultat Final
La pulsation du circuit est \(\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}\).
A vous de jouer

Quelle serait la pulsation \(\omega\) si la fréquence du réseau était de 60 Hz ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Pulsation vs Fréquence.
  • Formule Essentielle : \(\omega = 2 \pi f\).
  • Piège : Ne pas utiliser \(f\) dans les calculs de réactance.

Question 2 : Calculer la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\).

Principe

La réactanceL'opposition d'un composant (inductance ou capacité) au passage d'un courant alternatif, due au stockage d'énergie (magnétique ou électrique). est l'opposition au courant due aux composants non résistifs. L'inductance s'oppose aux variations de courant (sa réactance augmente avec \(\omega\)), tandis que la capacité s'oppose aux variations de tension (sa réactance diminue quand \(\omega\) augmente).

Mini-Cours

Inductance (Bobine) : Une bobine stocke l'énergie sous forme magnétique. Elle "n'aime pas" les variations rapides de courant. Plus la fréquence (\(\omega\)) est élevée, plus elle s'oppose au courant. Son impédance est \(Z_L = j\omega L = jX_L\). \(X_L\) est positive.

Capacité (Condensateur) : Un condensateur stocke l'énergie sous forme électrique. Il "n'aime pas" les variations rapides de tension (il se comporte comme un court-circuit à très haute fréquence). Plus la fréquence est élevée, moins il s'oppose au courant. Son impédance est \(Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -j \frac{1}{\omega C} = -jX_C\). \(X_C\) est positive par convention, mais l'impédance associée est négative.

Remarque Pédagogique

Cette étape quantifie "l'effort" de chaque composant réactif. Lequel des deux (bobine ou condensateur) aura le plus d'influence à la fréquence de 50 Hz ? Celui qui a la plus grande réactance en Ohms.

Normes

La notation \(X_L\) pour la réactance inductive et \(X_C\) pour la réactance capacitive est universelle. Notez que l'impédance capacitive est \(Z_C = -jX_C\). Le signe "moins" est crucial.

Formule(s)

Réactance Inductive (\(X_L\))

\[ X_L = \omega L \]

Réactance Capacitive (\(X_C\))

\[ X_C = \frac{1}{\omega C} \]
Hypothèses

Nous supposons que la bobine et le condensateur sont des composants "idéaux", c'est-à-dire sans résistance interne (la résistance R du circuit est un composant séparé).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et les données de l'énoncé, en les convertissant aux unités de base (Henry et Farad) :

Étape 1 : Conversion de l'Inductance (L)

L'inductance est donnée en milli-Henrys (mH). 'milli' signifie 1/1000 ou \(10^{-3}\).

\[ \begin{aligned} L &= 100 \text{ mH} \\ L &= 100 \times 10^{-3} \text{ H} \\ L &= 0.1 \text{ H} \end{aligned} \]

Étape 2 : Conversion de la Capacité (C)

La capacité est donnée en micro-Farads (\(\mu\)F). 'micro' signifie 1/1,000,000 ou \(10^{-6}\).

\[ \begin{aligned} C &= 10 \text{ } \mu\text{F} \\ C &= 10 \times 10^{-6} \text{ F} \end{aligned} \]
ParamètreSourceValeur InitialeValeur Convertie (SI)
Pulsation (\(\omega\))Calcul Q1\(\approx 314.16\) rad/s\(\approx 314.16\) rad/s
Inductance (\(L\))Énoncé100 mH0.1 H
Capacité (\(C\))Énoncé10 \(\mu\)F\(10 \times 10^{-6}\) F
Astuces

Vérifiez toujours vos unités avant de calculer ! \(L\) doit être en Henrys (H) et \(C\) en Farads (F). Les erreurs de conversion (milli, micro) sont la source d'erreur n°1 ici.

Schéma (Avant les calculs)

On représente les impédances sur l'axe imaginaire. \(Z_L\) pointe vers le haut, \(Z_C\) pointe vers le bas.

Axes des Réactances
+jX (Inductif)-jX (Capacitif)R (Réel)jX_L-jX_C
Calcul(s)

Calcul de la Réactance Inductive \(X_L\)

\[ \begin{aligned} X_L &= \omega \times L \\ X_L &\approx 314.16 \times 0.1 \\ X_L &\approx 31.42 \text{ } \Omega \end{aligned} \]

Calcul de la Réactance Capacitive \(X_C\)

\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{\omega \times C} \\ X_C &\approx \frac{1}{314.16 \times (10 \times 10^{-6})} \\ X_C &\approx \frac{1}{0.0031416} \\ X_C &\approx 318.31 \text{ } \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma compare la grandeur des deux réactances sur l'axe imaginaire. On voit clairement que \(|X_C|\) domine \(|X_L|\) à cette fréquence.

Comparaison des Réactances
+jX 0 (Axe Réel) jX_L ≈ +j31.4 Ω -jX_C ≈ -j318.3 Ω
Réflexions

À 50 Hz, la réactance capacitive (\(X_C \approx 318 \text{ } \Omega\)) est beaucoup plus grande que la réactance inductive (\(X_L \approx 31 \text{ } \Omega\)). Le circuit aura donc un comportement globalement capacitif. L'opposition du condensateur domine celle de la bobine.

Points de vigilance

Assurez-vous que \(L\) est en Henrys (0.1 H) et non en milliHenrys (100 mH). Assurez-vous que \(C\) est en Farads (\(10 \times 10^{-6}\) F) et non en microFarads (10 \(\mu\)F). Une erreur de \(10^3\) ou \(10^6\) est très facile à faire.

Points à retenir
  • \(X_L\) est proportionnelle à \(\omega\) (plus la fréquence est haute, plus la bobine bloque).
  • \(X_C\) est inversement proportionnelle à \(\omega\) (plus la fréquence est haute, plus le condensateur laisse passer).
Le saviez-vous ?

Le terme "réactance" a été inventé par l'ingénieur français M. Hospitalier en 1893. Il a été créé pour compléter les termes de "résistance" et d'"impédance". L'idée est que ces composants "réagissent" au changement de tension ou de courant.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi \(X_L\) augmente avec la fréquence ?

Une bobine génère une force contre-électromotrice (tension) proportionnelle à la *vitesse de variation* du courant (\(v_L = L \frac{di}{dt}\)). À haute fréquence, le courant varie plus vite, donc la tension d'opposition est plus grande, ce qui équivaut à une impédance plus élevée.

Pourquoi \(X_C\) diminue avec la fréquence ?

Un condensateur accumule des charges (\(i_C = C \frac{dv}{dt}\)). À basse fréquence, il a le temps de se charger et de bloquer le courant. À très haute fréquence, la tension change si vite qu'il n'a pas le temps de se charger/décharger, il agit presque comme un fil, laissant passer le courant.

Résultat Final
La réactance inductive est \(X_L \approx 31.42 \text{ } \Omega\) et la réactance capacitive est \(X_C \approx 318.31 \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

Si la capacité était de \(C = 20 \mu F\), quelle serait la nouvelle valeur de \(X_C\) ? (en gardant \(f=50 \text{ Hz}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Réactance inductive vs capacitive.
  • Formules : \(X_L = \omega L\) et \(X_C = 1 / (\omega C)\).
  • Unités : L en Henry (H), C en Farad (F).

Question 3 : Déterminer l'impédance complexe totale \(Z\) et son module \(|Z|\).

Principe

L'impédance totale \(Z\) d'un circuit série est la somme vectorielle (en utilisant les nombres complexes) de la résistance et des réactances. La résistance est la partie réelle, et la réactance totale (\(X\)) est la partie imaginaire. Le module \(|Z|\) représente l'opposition totale (en Ohms) au passage du courant.

Mini-Cours

En série, les impédances s'ajoutent : \[ Z = Z_R + Z_L + Z_C \] En remplaçant par leurs formes complexes : \[ Z = R + (jX_L) + (-jX_C) \] On regroupe les parties réelles (R) et imaginaires (X) : \[ Z = R + j(X_L - X_C) \] On pose \(X = X_L - X_C\) comme la réactance totale du circuit. Le module \(|Z|\) est la "longueur" de ce vecteur dans le plan complexe, calculée par Pythagore.

Remarque Pédagogique

C'est ici que nous combinons tous les composants. Le signe de la partie imaginaire (\(X\)) nous dira si le circuit se comporte globalement comme une bobine (\(X > 0\)) ou comme un condensateur (\(X < 0\)).

Normes

L'impédance complexe est universellement notée \(Z\). Sa forme \(R + jX\) est appelée "forme rectangulaire" ou "cartésienne". Le module est noté \(|Z|\).

Formule(s)

Impédance Complexe \(Z\)

\[ Z = R + j(X_L - X_C) = R + jX \]

Module de l'Impédance \(|Z|\)

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]
Hypothèses

On continue de supposer que les composants sont idéaux et que la loi des mailles de Kirchhoff s'applique en régime complexe.

Donnée(s)

Nous utilisons la valeur de R de l'énoncé et les résultats de la Q2 :

ParamètreSourceValeur
Résistance (\(R\))Énoncé50 \(\Omega\)
Réactance Inductive (\(X_L\))Calcul Q2\(\approx 31.42 \text{ } \Omega\)
Réactance Capacitive (\(X_C\))Calcul Q2\(\approx 318.31 \text{ } \Omega\)
Astuces

Ne faites pas l'erreur d'additionner les modules : \(|Z| \neq R + X_L + X_C\). C'est une addition vectorielle, pas arithmétique ! C'est pour cela qu'on utilise le théorème de Pythagore.

Schéma (Avant les calculs)

On additionne les vecteurs \(R\), \(jX_L\) et \(-jX_C\) bout à bout.

Addition Vectorielle des Impédances
R+jX-jX0RjX_L-jX_CZ
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la réactance totale \(X\)

\[ \begin{aligned} X &= X_L - X_C \\ X &\approx 31.42 - 318.31 \\ X &\approx -286.89 \text{ } \Omega \end{aligned} \]

Étape 2 : Écriture de l'impédance complexe \(Z\)

\[ Z = R + jX \approx 50 - j286.89 \text{ } \Omega \]

Étape 3 : Calcul du module \(|Z|\)

\[ \begin{aligned} |Z| &= \sqrt{R^2 + X^2} \\ |Z| &\approx \sqrt{(50)^2 + (-286.89)^2} \\ |Z| &\approx \sqrt{2500 + 82307.7} \\ |Z| &\approx \sqrt{84807.7} \\ |Z| &\approx 291.22 \text{ } \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant dessiner le triangle d'impédance final, qui résume le calcul. Il a un côté réel \(R=50\) et un côté imaginaire \(X=-286.89\).

Triangle d'impédance (Circuit Capacitif)
R X 0 R = 50 Ω X = -286.9 Ω |Z| ≈ 291.2 Ω
Réflexions

L'impédance totale \(Z \approx 50 - j286.89 \text{ } \Omega\) confirme le comportement capacitif (signe "moins"). Le module \(|Z| \approx 291.22 \text{ } \Omega\) est l'opposition réelle que la source "voit". C'est cette valeur qu'on utiliserait dans la loi d'Ohm pour trouver le module du courant : \(|I| = |V| / |Z|\).

Points de vigilance

N'oubliez pas le carré sur le terme \(X\) lors du calcul du module. Une erreur fréquente est de faire \(\sqrt{R^2 + X}\). De plus, \((-286.89)^2\) est un nombre positif !

Points à retenir
  • Les impédances en série s'ajoutent de manière complexe (vectorielle).
  • \(Z = R + jX\), où \(X = X_L - X_C\).
  • \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\).
Le saviez-vous ?

Le plan complexe (avec un axe réel et un axe imaginaire) utilisé ici est aussi appelé "plan d'Argand" ou "plan de Gauss". Il est fondamental en ingénierie électrique pour représenter les déphasages (angles) entre tension et courant.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Que signifie un X négatif ?

Cela signifie que \(X_C > X_L\). Le circuit est "capacitif". Concrètement, cela veut dire que le courant \(I\) sera en avance de phase sur la tension \(V\).

Pourquoi le module |Z| est-il plus grand que R ?

Dans le triangle rectangle, \(|Z|\) est l'hypoténuse, tandis que \(R\) et \(X\) sont les côtés. L'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des côtés. L'impédance totale \(|Z|\) sera toujours supérieure ou égale à la résistance \(R\).

Résultat Final
L'impédance complexe est \(Z \approx 50 - j286.89 \text{ } \Omega\) et son module est \(|Z| \approx 291.22 \text{ } \Omega\).
A vous de jouer

Si la résistance était de \(R = 100 \text{ } \Omega\) (en gardant \(X = -286.89 \text{ } \Omega\)), quel serait le nouveau module \(|Z|\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Somme vectorielle des impédances.
  • Formule : \(Z = R + j(X_L - X_C)\).
  • Calcul : \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\).

Question 4 : Calculer l'admittance complexe totale \(Y\) en utilisant \(Y = 1/Z\).

Principe

L'admittance \(Y\) est l'inverse de l'impédance \(Z\). Pour calculer \(1/Z\) lorsque \(Z\) est un nombre complexe (\(R + jX\)), nous ne pouvons pas simplement inverser \(R\) et \(X\). Nous devons utiliser la technique de multiplication par le conjugué pour faire disparaître le terme imaginaire \(j\) du dénominateur.

Mini-Cours

Pour diviser par un nombre complexe, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le "conjugué" du dénominateur. Le conjugué de \(Z = R + jX\) est \(Z^* = R - jX\). \[ Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} \] On multiplie par \(\frac{R - jX}{R - jX}\) (ce qui vaut 1) : \[ Y = \frac{1 \cdot (R - jX)}{(R + jX) \cdot (R - jX)} \] Au dénominateur, on a une identité remarquable \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). Ici : \(R^2 - (jX)^2 = R^2 - (j^2 X^2) = R^2 - (-1 \cdot X^2) = R^2 + X^2\). Or, \(R^2 + X^2\) est simplement \(|Z|^2\). \[ Y = \frac{R - jX}{|Z|^2} \]

Remarque Pédagogique

Cette étape est purement mathématique. Elle est le cœur de la conversion entre les deux représentations. Retenez bien : pour inverser un complexe, on multiplie en haut et en bas par son conjugué.

Normes

L'unité de l'admittance est le Siemens (S), en hommage à Werner von Siemens. C'est l'inverse de l'Ohm (\(\Omega\)). On l'appelait aussi "Mho" (Ohm à l'envers), mais ce terme n'est plus normalisé.

Formule(s)

Définition

\[ Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R + jX} \]

Calcul (par conjugué)

\[ Y = \frac{R - jX}{R^2 + X^2} = \frac{R - jX}{|Z|^2} \]
Hypothèses

Les règles de l'algèbre des nombres complexes s'appliquent.

Donnée(s)

Nous utilisons toutes les valeurs calculées à la Q3 :

ParamètreSourceValeur
Résistance (\(R\))Énoncé (via Q3)50 \(\Omega\)
Réactance Totale (\(X\))Calcul Q3\(\approx -286.89 \text{ } \Omega\)
Module au carré (\(|Z|^2\))Calcul Q3\(\approx 84807.7 \text{ } \Omega^2\)
Astuces

Il est plus facile de calculer \(|Z|^2\) d'abord, puis de diviser \(R\) et \(-X\) par cette valeur, plutôt que de tout faire en une seule fraction. \[ Y = \frac{R}{|Z|^2} - j\frac{X}{|Z|^2} \]

Schéma (Avant les calculs)

Nous partons du vecteur Impédance \(Z\) (calculé à la Q3). Notre objectif est de trouver son inverse, \(Y\). L'inversion d'un vecteur complexe inverse son module (\(|Y| = 1/|Z|\)) et oppose son angle (\(\phi_Y = -\phi_Z\)).

Objectif : Inverser Z
Plan de l'Impédance (Z) R +jX Z Angle Z < 0 = Y = 1/Z Plan de l'Admittance (Y) G +jB Y = ? Angle Y > 0
Calcul(s)

Nous appliquons la formule en remplaçant \(R\), \(X\), et \(|Z|^2\) par leurs valeurs :

Étape 1 : Remplacer dans la formule du conjugué

\[ \begin{aligned} Y &= \frac{R - jX}{|Z|^2} \\ Y &\approx \frac{50 - j(-286.89)}{84807.7} \end{aligned} \]

Étape 2 : Simplifier le numérateur (attention au signe)

\[ Y \approx \frac{50 + j286.89}{84807.7} \]

Étape 3 : Séparer la partie réelle (G) et imaginaire (B)

\[ \begin{aligned} Y &\approx \left(\frac{50}{84807.7}\right) + j\left(\frac{286.89}{84807.7}\right) \\ Y &\approx 0.0005896 + j0.003383 \text{ S} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que le vecteur \(Y\) est dans le premier quadrant (G et B sont positifs). L'angle \(\phi_Y\) est l'opposé de l'angle \(\phi_Z\).

Triangle d'Admittance Résultant
G (Réel) +jB (Imag.) 0 G ≈ 0.59 mS B ≈ 3.38 mS |Y| ≈ 3.43 mS
Réflexions

Le résultat est un nombre complexe, dont l'unité est le Siemens (S). On peut aussi l'exprimer en millisiemens (mS) pour une lecture plus facile : \(Y \approx 0.590 \text{ mS} + j3.383 \text{ mS}\).

Points de vigilance

Attention au signe ! La formule est \(\frac{R - jX}{...}\). Puisque notre \(X\) était *déjà négatif* (\(-286.89\)), le terme \(-jX\) devient \(-j(-286.89)\), ce qui donne \(+j286.89\). C'est une source d'erreur très fréquente.

Points à retenir
  • L'admittance est l'inverse de l'impédance.
  • On utilise le conjugué pour diviser : \(1 / (R+jX) = (R-jX) / (R^2+X^2)\).
  • L'unité de l'admittance est le Siemens (S).
Le saviez-vous ?

Le concept d'admittance (et de susceptance/conductance) a été introduit par Oliver Heaviside, un physicien et mathématicien britannique autodidacte, pionnier de l'analyse vectorielle et de l'utilisation des nombres complexes en électricité.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi ne peut-on pas faire \(Y = 1/R + 1/(jX)\) ?

Cette formule n'est valable que si R et X sont en *parallèle*. Or, dans notre exercice, ils sont en *série*. Pour les composants en série, on additionne les impédances (\(Z_{tot} = Z_1 + Z_2\)), puis on inverse le total (\(Y_{tot} = 1 / Z_{tot}\)). Pour les composants en parallèle, on additionne les admittances (\(Y_{tot} = Y_1 + Y_2\)).

Résultat Final
L'admittance complexe est \(Y \approx 0.00059 + j0.00338 \text{ S}\) (ou \(0.59 + j3.38 \text{ mS}\)).
A vous de jouer

Calculez le module de l'admittance \(|Y|\) en utilisant la formule simplifiée \(|Y| = 1 / |Z|\). (Utilisez \(|Z| \approx 291.22 \text{ } \Omega\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Inversion d'un nombre complexe.
  • Formule : \(Y = \frac{R - jX}{|Z|^2}\).
  • Piège : Le double signe négatif si X est négatif.

Question 5 : Exprimer \(Y = G + jB\) et identifier la conductance (\(G\)) et la susceptance (\(B\)).

Principe

La forme rectangulaire de l'admittance, \(Y = G + jB\), sépare la composante qui dissipe de l'énergie (la conductance \(G\)) de celle qui stocke et libère de l'énergie (la susceptance \(B\)). Cette étape consiste simplement à lire le résultat de la Q4.

Mini-Cours

L'admittance \(Y = G + jB\) est la représentation standard, tout comme \(Z = R + jX\) l'est pour l'impédance.

  • \(G = \text{Re}(Y)\) est la Conductance. Elle représente la facilité à laisser passer le courant qui sera dissipé en chaleur (par effet Joule).
  • \(B = \text{Im}(Y)\) est la Susceptance. Elle représente la facilité à laisser passer le courant qui sera stocké (et restitué) par les champs magnétiques ou électriques.
Si \(B > 0\), la susceptance est capacitive (comme ici). Si \(B < 0\), la susceptance est inductive.

Remarque Pédagogique

C'est l'aboutissement de notre calcul. Nous avons transformé un circuit "série" (facile à décrire en Impédance) en un circuit "parallèle" équivalent (facile à décrire en Admittance). Notre circuit \(R_{serie} + jX_{serie}\) se comporte *exactement* de la même manière (vu de la source) qu'un circuit parallèle composé d'une conductance \(G\) et d'une susceptance \(B\).

Normes

Les notations \(G\) (Conductance) et \(B\) (Susceptance) sont des standards internationaux (IEC). L'unité est toujours le Siemens (S).

Formule(s)

Forme rectangulaire

\[ Y = G + jB \]

Identification (pour un circuit série)

\[ G = \frac{R}{|Z|^2} \quad | \quad B = \frac{-X}{|Z|^2} \]
Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse. Nous exploitons les résultats précédents.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat final de la Q4, qui est déjà sous la forme \(G + jB\):

ParamètreSourceValeur
Admittance (\(Y\))Calcul Q4\(\approx 0.0005896 + j0.003383 \text{ S}\)
Astuces

Convertir en milliSiemens (mS) en multipliant par 1000 rend les valeurs plus lisibles : \(0.00059 \text{ S} \rightarrow 0.59 \text{ mS}\).

Schéma (Avant les calculs)

Ayant trouvé le vecteur \(Y\) à l'étape 4, cette question consiste à identifier ses composantes rectangulaires : sa projection sur l'axe réel (Conductance \(G\)) et sa projection sur l'axe imaginaire (Susceptance \(B\)).

Objectif : Identifier G et B
G +jB 0 Y G = ? B = ?
Calcul(s)

Par identification directe à partir du résultat de la question 4, \(Y = (0.0005896) + j(0.003383)\) :

Étape 1 : Identification et Conversion de la Conductance (G)

G est la partie réelle de Y. Pour la lisibilité, nous la convertissons en milliSiemens (mS), où \(1 \text{ S} = 1000 \text{ mS}\).

\[ \begin{aligned} G &= \text{Re}(Y) \approx 0.0005896 \text{ S} \\ G &\approx 0.0005896 \times 1000 \text{ mS} \\ G &\approx 0.590 \text{ mS} \end{aligned} \]

Étape 2 : Identification et Conversion de la Susceptance (B)

B est la partie imaginaire de Y. Nous la convertissons aussi en milliSiemens.

\[ \begin{aligned} B &= \text{Im}(Y) \approx 0.003383 \text{ S} \\ B &\approx 0.003383 \times 1000 \text{ mS} \\ B &\approx 3.383 \text{ mS} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le triangle d'admittance est la représentation graphique de \(Y = G + jB\). Il montre que le circuit série RLC original est équivalent à une Conductance G en parallèle avec une Susceptance B.

Triangle d'admittance (et circuit parallèle équivalent)
G (Réel) +jB (Imag.) 0 G B |Y| Circuit Équivalent G B (Capacitive)
Réflexions

La conductance \(G \approx 0.59 \text{ mS}\) n'est *pas* simplement l'inverse de la résistance \(R=50 \text{ } \Omega\) (ce qui aurait donné \(1/50 = 0.02 \text{ S} = 20 \text{ mS}\)). De même, la susceptance \(B \approx 3.38 \text{ mS}\) n'est *pas* l'inverse de la réactance \(X = -286.89 \text{ } \Omega\). Ceci est crucial : \(G\) et \(B\) dépendent à la fois de \(R\) et de \(X\). Puisque \(B > 0\), la susceptance est dite capacitive, ce qui est cohérent avec notre circuit à dominante capacitive.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de penser que \(G = 1/R\) et \(B = -1/X\). C'est faux pour un circuit série ! Ces formules ne sont vraies que si R et X sont déjà en parallèle. Pour un circuit série, vous *devez* utiliser les formules \(G = R/|Z|^2\) et \(B = -X/|Z|^2\).

Points à retenir
  • Conductance \(G\) : Partie réelle de \(Y\). Mesure la facilité à dissiper l'énergie.
  • Susceptance \(B\) : Partie imaginaire de \(Y\). Mesure la facilité à échanger l'énergie.
  • Pour un circuit RLC série, \(G\) et \(B\) dépendent tous les deux de R, L, C et \(\omega\).
  • Le signe de la Susceptance \(B\) est l'opposé du signe de la Réactance \(X\).
Le saviez-vous ?

L'analyse par admittance est la base des "matrices admittances" (matrices Y), une méthode puissante utilisée par les logiciels de simulation pour résoudre des réseaux électriques complexes avec de nombreux nœuds, comme les réseaux de distribution d'électricité.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

À quoi sert de calculer G et B ?

Si vous avez plusieurs circuits RLC série en *parallèle*, vous ne pouvez pas additionner leurs impédances. Par contre, vous pouvez calculer l'admittance (G+jB) de *chaque* branche, puis simplement additionner toutes les conductances G et toutes les susceptances B pour trouver l'admittance totale. \(Y_{tot} = (G_1+G_2+...) + j(B_1+B_2+...)\).

Résultat Final
La conductance est \(G \approx 0.00059 \text{ S}\) (ou \(0.59 \text{ mS}\)) et la susceptance est \(B \approx 0.00338 \text{ S}\) (ou \(3.38 \text{ mS}\)).
A vous de jouer

En utilisant le cas de la Q3 "A vous de jouer" (\(R=100 \text{ } \Omega\), \(X = -286.89 \text{ } \Omega\), \(|Z|^2 \approx 92308\)), quelle serait la nouvelle conductance \(G = R / |Z|^2\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Identification de G et B.
  • Formule : \(Y = G + jB\).
  • Piège : \(G \neq 1/R\) et \(B \neq -1/X\) pour un circuit série !

Outil Interactif : Simulateur d'Admittance

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'admittance (\(|Y|\)) et sa phase (\(\phi_Y\)) changent en fonction des composants R, L, C et de la fréquence \(f\). Le graphique montre la courbe de résonance de l'admittance.

Paramètres d'Entrée
50 \(\Omega\)
100 mH
10 \(\mu\)F
50 Hz
Résultats Clés (à \(f\))
Module Admittance \(|Y|\) (mS) -
Phase Admittance \(\phi_Y\) (degrés) -
Fréq. Résonance \(f_0\) (Hz) -

Simulation 2D Interactive (Canvas)

Utilisez cet espace pour dessiner ou interagir avec la simulation. Cliquez et déplacez votre souris pour dessiner.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que l'admittance ?

2. Quelle est l'unité de l'admittance, de la conductance et de la susceptance ?

3. Dans l'expression \(Y = G + jB\), que représente \(G\) ?

4. Si un circuit RLC série a une réactance totale \(X\) négative (capacitive), quel sera le signe de sa susceptance \(B = -X / |Z|^2\) ?

5. À la résonance série (\(X_L = X_C\)), l'impédance \(Z\) est minimale (\(Z=R\)). Qu'arrive-t-il à l'admittance \(Y\) ?

Glossaire

Admittance (\(Y\))
L'inverse de l'impédance (\(Y = 1/Z\)). C'est une mesure de la facilité avec laquelle un circuit laisse passer un courant alternatif. Son unité est le Siemens (S).
Conductance (\(G\))
La partie réelle de l'admittance (\(G = \text{Re}(Y)\)). Elle représente la dissipation d'énergie (effet Joule) et est mesurée en Siemens (S).
Impédance (\(Z\))
L'opposition totale (résistive et réactive) d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe \(Z = R + jX\), mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\))
Aussi appelée vitesse angulaire, elle est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2 \pi f\). Son unité est le radian par seconde (rad/s).
Réactance (\(X\))
La partie imaginaire de l'impédance (\(X = \text{Im}(Z)\)). Elle représente l'opposition au courant due au stockage d'énergie dans les inductances (\(X_L > 0\)) et les capacités (\(X_C < 0\)). Mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Siemens (S)
L'unité de mesure de l'admittance, de la conductance et de la susceptance. C'est l'inverse de l'Ohm (\(1 \text{ S} = 1 \text{ } \Omega^{-1}\)).
Susceptance (\(B\))
La partie imaginaire de l'admittance (\(B = \text{Im}(Y)\)). Elle représente la capacité du circuit à stocker de l'énergie. Mesurée en Siemens (S). Attention : \(B\) est de signe opposé à \(X\).
Exercice : Admittance d'un Circuit RLC Série

D’autres exercices de circuits electriques:

Exercices Électricité

Tout pour l'ingénierie électrique : circuits, électrotechnique, réseaux et machines. Des exercices pratiques pour étudiants et pros.

Nos Catégories
Derniers exercices
Discussion
  • Chargement...

Ajouter un commentaire