Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Comprendre la Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Un circuit est composé de cinq résistances et une source de tension. Voici la configuration:

• Une source de tension de \(V = 12 \, \text{V}\)
• Une résistance \(R_1 = 100 \, \Omega\) connectée en série avec un groupe de quatre résistances.

Ce groupe comprend deux branches en parallèle:

• La première branche contient \(R_2 = 150 \, \Omega\) et \(R_3 = 300 \, \Omega\) en série.
• La deuxième branche contient \(R_4 = 200 \, \Omega\) en série avec \(R_5 = 100 \, \Omega\).

Questions:

Calculer les courants traversant chaque résistance et la chute de tension aux bornes de chaque résistance.

Correction : Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

Schéma du circuit :

1. R1 (100 Ω)
2. Deux branches en parallèle :
   • Branche 1 : R2 (150 Ω) suivie de R3 (300 Ω)
   • Branche 2 : R4 (200 Ω) suivie de R5 (100 Ω)

Étape 1 : Calcul de la résistance totale de chaque branche

Branche 1 (R2 en série avec R3):

\[ R_{\text{branche1}} = R_2 + R_3 \] \[ R_{\text{branche1}} = 150 \, \Omega + 300 \, \Omega \] \[ R_{\text{branche1}} = 450 \, \Omega \]

Branche 2 (R4 en série avec R5):

\[ R_{\text{branche2}} = R_4 + R_5 \] \[ R_{\text{branche2}} = 200 \, \Omega + 100 \, \Omega \] \[ R_{\text{branche2}} = 300 \, \Omega \]

Étape 2 : Calcul de la résistance équivalente des branches en parallèle

\[ R_{\text{parallèle}} = \frac{1}{\left(\frac{1}{R_{\text{branche1}}} + \frac{1}{R_{\text{branche2}}}\right)} \] \[ R_{\text{parallèle}} = \frac{1}{\left(\frac{1}{450} + \frac{1}{300}\right)} \] \[ R_{\text{parallèle}} = \frac{1}{0.00556} \] \[ R_{\text{parallèle}} = 180 \, \Omega \]

Étape 3 : Calcul de la résistance totale du circuit

\[ R_{\text{totale}} = R_1 + R_{\text{parallèle}} \] \[ R_{\text{totale}} = 100 \, \Omega + 180 \, \Omega \] \[ R_{\text{totale}} = 280 \, \Omega \]

Étape 4 : Calcul du courant total du circuit

\[ I_{\text{total}} = \frac{V}{R_{\text{totale}}} \] \[ I_{\text{total}} = \frac{12 \, V}{280 \, \Omega} \] \[ I_{\text{total}} \approx 0.0429 \, A \]

Étape 5 : Calcul des courants dans chaque branche

Utilisons la tension aux bornes de l’ensemble parallèle (tension après R1).

Tension aux bornes des branches parallèles:

\[ V_{\text{parallèle}} = V – (I_{\text{total}} \times R_1) \] \[ V_{\text{parallèle}} = 12\,V – (0.0429\,A \times 100\,\Omega) \] \[ V_{\text{parallèle}} \approx 8.71\,V \]

Courant dans Branche 1:

\[ I_{\text{branche1}} = \frac{V_{\text{parallèle}}}{R_{\text{branche1}}} \] \[ I_{\text{branche1}} = \frac{8.71 \, V}{450 \, \Omega} \] \[ I_{\text{branche1}} \approx 0.0194 \, A \]

Courant dans Branche 2:

\[ I_{\text{branche2}} = \frac{V_{\text{parallèle}}}{R_{\text{branche2}}} \] \[ I_{\text{branche2}} = \frac{8.71 \, V}{300 \, \Omega} \] \[ I_{\text{branche2}} \approx 0.0290 \, A \]

Étape 6 : Vérification et chutes de tension pour chaque résistance

• R2 et R3 : \(I_{\text{branche1}} \approx 0.0194 \, \text{A}\)
  

\[ V_{R2} = I_{\text{branche1}} \times R_2 \] \[ V_{R2} = 0.0194 \, A \times 150 \, \Omega \] \[ V_{R2} = 2.91 \, V \]

\[ V_{R3} = I_{\text{branche1}} \times R_3 \] \[ V_{R3} = 0.0194 \, A \times 300 \, \Omega \] \[ V_{R3} = 5.82 \, V \]

• R4 et R5 : \(I_{\text{branche2}} \approx 0.0290 \, \text{A}\)

\[ V_{R4} = I_{\text{branche2}} \times R_4 \] \[ V_{R4} = 0.0290 \, A \times 200 \, \Omega \] \[ V_{R4} = 5.80 \, V \]

\[ V_{R5} = I_{\text{branche2}} \times R_5 \] \[ V_{R5} = 0.0290 \, A \times 100 \, \Omega \] \[ V_{R5} = 2.90 \, V \]

Conclusion:

Nous avons calculé avec succès les courants et les tensions pour chaque composant dans ce circuit. Ces calculs aident à comprendre comment les courants et les tensions sont distribués dans des circuits complexes, et illustrent l’application des lois d’Ohm et des lois de Kirchhoff.

Distribution de Courant dans un Circuit Combiné

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