Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
Comprendre le Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
Un circuit RLC série est composé d’une résistance \(R\), d’une bobine d’inductance \(L\) et d’un condensateur \(C\).
Pour cet exercice, supposons que la résistance \(R = 100\, \Omega\), l’inductance \(L = 200\, \mu H\) (microhenrys), et la capacité \(C = 100\, nF\) (nanofarads).
Questions:
1. Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) du circuit.
2. Déterminer l’impédance du circuit à la résonance. À la fréquence de résonance, l’impédance du circuit est purement résistive et égale à \(R\).
3. Calculer la tension aux bornes du condensateur et de la bobine à la résonance si le circuit est alimenté par une source de tension de \(V = 10\, V\) RMS.
Correction : Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
1. Calcul de la Fréquence de Résonance
La fréquence de résonance \(f_0\) d’un circuit RLC série se calcule avec la formule:
\[f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}\]
En substituant les valeurs données:
- \( L = 200\, \mu H = 200 \times 10^{-6}\, H \)
- \(C = 100\, nF = 100 \times 10^{-9}\, F\)
On trouve:
\[f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{200 \times 10^{-6} \cdot 100 \times 10^{-9}}} \] \[f_0 \approx 35588,13\, Hz\]
La fréquence de résonance du circuit est d’environ 35,588 kHz.
2. Impédance du Circuit à la Résonance
À la fréquence de résonance, l’impédance du circuit RLC série est purement résistive, égale à la résistance \(R\). Donc, \(Z_{\text{résonance}} = R = 100\, \Omega\).
3. Tension aux Bornes du Condensateur et de la Bobine à la Résonance
Le courant \(I\) dans le circuit, en utilisant la tension RMS de la source \(V = 10\, V\) et l’impédance à la résonance \(Z_{\text{résonance}} = 100\, \Omega\), est:
\[I = \frac{V}{R} \] \[I = \frac{10}{100} = 0,1\, A\]
Les tensions aux bornes de la bobine (\(V_L\)) et du condensateur (\(V_C\)) à la résonance peuvent être calculées comme suit. À la résonance, les réactances inductive (\(X_L\)) et capacitive (\(X_C\)) sont égales, et on a:
- \(V_L = I \times X_L = I \times 2 \pi f_0 L \)
- \(V_C = I \times X_C = I \times \frac{1}{2 \pi f_0 C}\)
Avec \(f_0 \approx 35588,13\, Hz\), \(L = 200 \times 10^{-6}\, H\), et \(C = 100 \times 10^{-9}\, F\), on trouve que \(V_L\) et \(V_C\) sont tous les deux approximativement égaux à \(4,472\, V\).
En résumé, à la fréquence de résonance de 35,588 kHz, l’impédance du circuit est purement résistive (\(100\, \Omega\)), et le courant dans le circuit est de \(0,1\, A\).
Les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont d’environ \(4,472\, V\), ce qui est notable car ces tensions peuvent être supérieures à la tension source en raison de la résonance.
Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
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