Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
Comprendre le Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
Un circuit RLC série est composé d’une résistance \(R\), d’une bobine d’inductance \(L\) et d’un condensateur \(C\). Pour cet exercice, supposons que la résistance \(R = 100\, \Omega\), l’inductance \(L = 200\, \mu H\) (microhenrys), et la capacité \(C = 100\, nF\) (nanofarads).
Questions:
1. Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) du circuit.
2. Déterminer l’impédance du circuit à la résonance. À la fréquence de résonance, l’impédance du circuit est purement résistive et égale à \(R\).
3. Calculer la tension aux bornes du condensateur et de la bobine à la résonance si le circuit est alimenté par une source de tension de \(V = 10\, V\) RMS.
Correction : Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
Données de l’exercice
- Résistance : \( R = 100\,\Omega \)
- Inductance : \( L = 200\,\mu\text{H} = 200 \times 10^{-6}\,H = 2 \times 10^{-4}\,H \)
- Capacité : \( C = 100\,\text{nF} = 100 \times 10^{-9}\,F = 1 \times 10^{-7}\,F \)
- Tension de la source : \( V = 10\,V_{\text{RMS}} \)
1. Calcul de la fréquence de résonance \( f_0 \)
La fréquence de résonance d’un circuit RLC série est celle pour laquelle les réactances inductive et capacitive se compensent exactement. Elle est donnée par la formule :
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Substitution des valeurs
- \(L = 2 \times 10^{-4}\,H\)
- \(C = 1 \times 10^{-7}\,F.\)
On calcule d’abord le produit \( LC \) :
\[ LC = \left(2 \times 10^{-4}\right) \times \left(1 \times 10^{-7}\right) \] \[ LC = 2 \times 10^{-11}. \]
Ensuite, la racine carrée :
\[ \sqrt{LC} = \sqrt{2 \times 10^{-11}} \approx 4,47 \times 10^{-6}\,s. \]
Calcul
En substituant dans la formule de \( f_0 \) :
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 4,47 \times 10^{-6}} \] \[ f_0 \approx \frac{1}{2,81 \times 10^{-5}} \] \[ f_0 \approx 35\,600\,\text{Hz}. \]
Résultat :
La fréquence de résonance est d’environ 35,6 kHz.
2. Détermination de l’impédance à la résonance
À la fréquence de résonance, la réactance inductive \( (X_L) \) et la réactance capacitive \( (X_C) \) s’annulent. Ainsi, l’impédance totale du circuit devient purement résistive :
\[ Z_{\text{rés}} = R. \]
Substitution des valeurs
\[ Z_{\text{rés}} = 100\,\Omega. \]
Résultat :
L’impédance du circuit à la résonance est 100 Ω.
3. Calcul de la tension aux bornes du condensateur et de la bobine
Étape 3.1 : Calcul du courant dans le circuit
À la résonance, le courant dans le circuit est donné par :
\[ I = \frac{V}{R} \] \[ I = \frac{10\,V}{100\,\Omega} = 0,1\,A_{\text{RMS}}.\]
Étape 3.2 : Calcul des réactances
Pour déterminer les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur, il faut calculer les réactances à la fréquence de résonance.
1. Calcul de la pulsation \(\omega\) :
\[ \omega = 2\pi f_0 \] \[ \omega = 2\pi \times 35\,600 \] \[ \omega \approx 223\,600\,\text{rad/s}. \]
2. Réactance de la bobine \( X_L \) :
\[ X_L = \omega L \] \[ X_L = 223\,600 \times 2 \times 10^{-4} \] \[ X_L \approx 44,72\,\Omega. \]
3. Réactance du condensateur \( X_C \) :
\[ X_C = \frac{1}{\omega C} \] \[ X_C = \frac{1}{223\,600 \times 1 \times 10^{-7}} \] \[ X_C \approx 44,72\,\Omega. \]
Étape 3.3 : Calcul des tensions
Les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur se calculent grâce à la loi d’Ohm appliquée aux réactances :
- Tension à la bobine \( V_L \) :
\[ V_L = I \times X_L \] \[ V_L = 0,1\,A \times 44,72\,\Omega \] \[ V_L \approx 4,47\,V_{\text{RMS}}. \]
Tension au condensateur \( V_C \) :
\[ V_C = I \times X_C \] \[ V_C = 0,1\,A \times 44,72\,\Omega \] \[ V_C \approx 4,47\,V_{\text{RMS}}. \]
Remarque
Ces deux tensions sont de même amplitude mais en opposition de phase (la tension sur la bobine est en avance de 90° sur le courant et celle sur le condensateur est en retard de 90°), ce qui permet leur annulation dans le calcul de l’impédance totale du circuit à la résonance.
Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série
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