Puissance en régime sinusoïdal permanent

Comprendre la Puissance en Régime Sinusoïdal Permanent

En régime sinusoïdal permanent (courant alternatif), la notion de puissance est plus complexe qu'en courant continu. En effet, les composants comme les bobines (inductances) et les condensateurs stockent temporairement de l'énergie et la restituent au circuit, sans la dissiper réellement sous forme de chaleur (contrairement aux résistances). On distingue ainsi plusieurs types de puissances :

La puissance active \(P\) (ou réelle) : C'est la puissance réellement consommée par le circuit et transformée en une autre forme d'énergie (chaleur dans une résistance, travail mécanique dans un moteur). Elle se mesure en Watts (W).
La puissance réactive \(Q\) : Elle représente l'énergie échangée entre la source et les parties réactives du circuit (bobines et condensateurs). Cette énergie "oscille" dans le circuit sans être consommée. Elle se mesure en Volt-Ampères Réactifs (VAR).
La puissance apparente \(S\) : C'est le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant totaux du circuit (\(S = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}}\)). Elle représente la puissance "totale" que la source doit être capable de fournir, incluant à la fois la puissance active et la puissance réactive. Elle se mesure en Volt-Ampères (VA).

Le facteur de puissance (FP), égal à \(\cos(\phi)\) (où \(\phi\) est le déphasage entre la tension et le courant), indique l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active. Un FP proche de 1 signifie que la majeure partie de la puissance fournie est utilement consommée.

Données de l'étude

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative \(v_s(t)\) dont la valeur efficace est \(V_{\text{eff}}\) et la fréquence est \(f\).

Valeurs des composants et de la source :

Tension efficace de la source : \(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
Fréquence de la source : \(f = 50 \, \text{Hz}\)
Résistance \(R\) : \(30 \, \Omega\)
Inductance \(L\) : \(150 \, \text{mH}\)
Capacité \(C\) : \(100 \, \mu\text{F}\)

Schéma : Circuit RLC Série pour Analyse de Puissance

Circuit RLC série alimenté en régime sinusoïdal.

Questions à traiter

Calculer la pulsation angulaire \(\omega\) de la source.
Calculer la réactance inductive \(X_L\).
Calculer la réactance capacitive \(X_C\).
Exprimer l'impédance complexe \(\underline{Z}\) du circuit sous forme rectangulaire (\(R + jX\)).
Calculer le module \(|Z|\) et l'angle de phase \(\phi_Z\) (en degrés) de l'impédance.
Calculer la valeur efficace du courant \(I_{\text{eff}}\) circulant dans le circuit.
Calculer la puissance active (ou moyenne) \(P\) dissipée par le circuit.
Calculer la puissance réactive inductive \(Q_L\) consommée par l'inductance.
Calculer la puissance réactive capacitive \(Q_C\) fournie par le condensateur (ou consommée, selon la convention).
Calculer la puissance réactive totale \(Q\) du circuit.
Calculer la puissance apparente \(S\) du circuit.
Calculer le facteur de puissance (FP) du circuit et préciser s'il est en avance ou en retard.
Vérifier la relation entre \(P\), \(Q\) et \(S\) (triangle des puissances).

Correction : Puissance en Régime Sinusoïdal Permanent

Question 1 : Pulsation angulaire \(\omega\)

Principe :

La fréquence \(f\) d'une source alternative indique combien de cycles complets l'onde effectue par seconde (en Hertz, Hz). La pulsation angulaire \(\omega\) est une autre façon de décrire cette rapidité d'oscillation, mais en radians par seconde. Imaginez un point tournant sur un cercle ; \(\omega\) serait sa vitesse de rotation. Le lien entre les deux est \(\omega = 2\pi f\), car un cycle complet correspond à \(2\pi\) radians.

Formule(s) utilisée(s) :

\omega = 2\pi f

Données spécifiques :

\(f = 50 \, \text{Hz}\)

Calcul :

\begin{aligned} \omega &= 2\pi \times 50 \, \text{Hz} \\ &= 100\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314.159 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La pulsation angulaire est \(\omega \approx 314.16 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Réactance Inductive \(X_L\)

Principe :

Une bobine (inductance \(L\)) s'oppose aux variations rapides du courant qui la traverse. En courant alternatif, le courant change constamment, donc la bobine présente une forme d'"opposition" appelée réactance inductive \(X_L\). Cette opposition est d'autant plus grande que l'inductance \(L\) est élevée et que la fréquence (donc la pulsation \(\omega\)) du courant est élevée (le courant change plus vite). Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)), comme une résistance.

Formule(s) utilisée(s) :

X_L = L\omega

Données spécifiques :

\(L = 150 \, \text{mH} = 0.15 \, \text{H}\)
\(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)

Calcul :

\begin{aligned} X_L &= 0.15 \, \text{H} \times 100\pi \, \text{rad/s} \\ &= 15\pi \, \Omega \\ &\approx 47.1238 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 2 : La réactance inductive est \(X_L \approx 47.12 \, \Omega\).

Question 3 : Réactance Capacitive \(X_C\)

Principe :

Un condensateur (capacité \(C\)) s'oppose aux variations rapides de la tension à ses bornes (il essaie de maintenir la tension constante). En courant alternatif, la tension change constamment. L'opposition du condensateur est appelée réactance capacitive \(X_C\). Contrairement à la bobine, cette opposition est d'autant plus faible que la capacité \(C\) est grande et que la fréquence (donc \(\omega\)) est élevée (le condensateur a moins de "temps" pour se charger et s'opposer). Elle se mesure aussi en Ohms (\(\Omega\)).

Formule(s) utilisée(s) :

X_C = \frac{1}{C\omega}

Données spécifiques :

\(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)

Calcul :

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{(100 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (100\pi \, \text{rad/s})} \\ &= \frac{1}{0.01\pi \, \text{F} \cdot \text{rad/s}} \\ &= \frac{100}{\pi} \, \Omega \\ &\approx 31.8309 \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 3 : La réactance capacitive est \(X_C \approx 31.83 \, \Omega\).

Question 4 : Impédance complexe \(\underline{Z}\)

Principe :

En courant alternatif, l'opposition totale au passage du courant dans un circuit RLC n'est pas simplement la résistance. Elle est appelée impédance, notée \(\underline{Z}\). L'impédance prend en compte à la fois la résistance \(R\) (qui dissipe l'énergie) et les réactances \(X_L\) et \(X_C\) (qui stockent et restituent l'énergie). Comme les effets des réactances sont déphasés par rapport à la résistance, on utilise les nombres complexes pour représenter l'impédance. La partie réelle est la résistance \(R\), et la partie imaginaire est la réactance totale \(X = X_L - X_C\).

Formule(s) utilisée(s) :

\underline{Z} = R + j(X_L - X_C)

Données spécifiques :

\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_L \approx 47.1238 \, \Omega\)
\(X_C \approx 31.8309 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} X_L - X_C &\approx 47.1238 \, \Omega - 31.8309 \, \Omega \\ &\approx 15.2929 \, \Omega \\ \underline{Z} &\approx (30 + j15.2929) \, \Omega \end{aligned}

Résultat Question 4 : L'impédance complexe est \(\underline{Z} \approx (30 + j15.29) \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(X_L > X_C\) dans un circuit RLC série, la partie imaginaire de l'impédance est :

Positive (inductive).
Négative (capacitive).
Nulle.
Égale à R.

Question 5 : Module \(|Z|\) et Angle \(\phi_Z\) de l'Impédance

Principe :

L'impédance complexe \(\underline{Z}\) peut être vue comme un vecteur dans un plan. Le module \(|Z|\) est la "longueur" de ce vecteur et représente l'amplitude de l'opposition totale au courant (similaire à la valeur de la résistance en DC). L'angle \(\phi_Z\) est l'angle que fait ce vecteur avec l'axe réel (l'axe des résistances) ; il représente le déphasage entre la tension totale aux bornes du circuit et le courant total qui le traverse. Si \(\phi_Z\) est positif, le courant est en retard sur la tension (comportement inductif). S'il est négatif, le courant est en avance (comportement capacitif).

Formule(s) utilisée(s) :

|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\] \[\phi_Z = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)

Données spécifiques :

\(R = 30 \, \Omega\)
\(X_L - X_C \approx 15.2929 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} |Z| &\approx \sqrt{(30)^2 + (15.2929)^2} \\ &\approx \sqrt{900 + 233.870} \\ &\approx \sqrt{1133.870} \approx 33.673 \, \Omega \\ \phi_Z &\approx \arctan\left(\frac{15.2929}{30}\right) \\ &\approx \arctan(0.50976) \\ &\approx 0.4713 \, \text{rad} \approx 27.00^\circ \end{aligned}

Résultat Question 5 : Le module de l'impédance est \(|Z| \approx 33.67 \, \Omega\) et son angle de phase est \(\phi_Z \approx 27.00^\circ\).

Question 6 : Courant efficace \(I_{\text{eff}}\)

Principe :

En courant alternatif, on utilise souvent les valeurs efficaces (\(V_{\text{eff}}\), \(I_{\text{eff}}\)) car elles permettent d'utiliser des formules de puissance similaires à celles du courant continu. La valeur efficace d'un courant sinusoïdal est la valeur qu'aurait un courant continu qui produirait le même échauffement dans une résistance. Le courant efficace est calculé par la loi d'Ohm généralisée : \(I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{|Z|}\).

Formule(s) utilisée(s) :

I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{|Z|}

Données spécifiques :

\(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
\(|Z| \approx 33.673 \, \Omega\)

Calcul :

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &\approx \frac{120 \, \text{V}}{33.673 \, \Omega} \\ &\approx 3.5635 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat Question 6 : Le courant efficace est \(I_{\text{eff}} \approx 3.56 \, \text{A}\).

Question 7 : Puissance active (moyenne) \(P\)

Principe :

La puissance active \(P\) est la seule puissance qui est réellement "consommée" par le circuit et transformée en une autre forme d'énergie (comme la chaleur dans une résistance). Dans un circuit RLC, seule la résistance dissipe de la puissance active. Les bobines et condensateurs idéaux ne dissipent pas de puissance active en moyenne sur un cycle complet ; ils stockent de l'énergie puis la restituent. On peut la calculer avec le courant efficace et la résistance, ou avec les valeurs efficaces de tension et courant et le déphasage \(\phi_Z\).

Formule(s) utilisée(s) :

P = R I_{\text{eff}}^2 \quad \text{ou} \quad P = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos(\phi_Z)

Données spécifiques :

\(R = 30 \, \Omega\)
\(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)
\(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
\(\phi_Z \approx 27.00^\circ\)

Calcul (Méthode 1) :

\begin{aligned} P &\approx 30 \, \Omega \times (3.5635 \, \text{A})^2 \\ &\approx 30 \times 12.6986 \, \text{W} \\ &\approx 380.958 \, \text{W} \end{aligned}

Calcul (Méthode 2 - Vérification) :

\begin{aligned} P &\approx 120 \, \text{V} \times 3.5635 \, \text{A} \times \cos(27.00^\circ) \\ &\approx 120 \times 3.5635 \times 0.8910 \\ &\approx 380.958 \, \text{W} \end{aligned}

Résultat Question 7 : La puissance active dissipée est \(P \approx 380.96 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La puissance active dans un circuit AC est dissipée par :

L'inductance uniquement.
Le condensateur uniquement.
La résistance uniquement.
Tous les composants R, L et C.

Question 8 : Puissance réactive inductive \(Q_L\)

Principe :

La puissance réactive inductive \(Q_L\) représente l'énergie échangée avec le champ magnétique de la bobine. Elle est "consommée" par la bobine pendant une partie du cycle et "restituée" pendant une autre. Elle ne contribue pas au travail utile mais est nécessaire pour établir le champ magnétique. Elle se mesure en Volt-Ampères Réactifs (VAR).

Formule(s) utilisée(s) :

Q_L = X_L I_{\text{eff}}^2

Données spécifiques :

\(X_L \approx 47.1238 \, \Omega\)
\(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)

Calcul :

\begin{aligned} Q_L &\approx 47.1238 \, \Omega \times (3.5635 \, \text{A})^2 \\ &\approx 47.1238 \times 12.6986 \, \text{VAR} \\ &\approx 598.35 \, \text{VAR} \end{aligned}

Résultat Question 8 : La puissance réactive inductive est \(Q_L \approx 598.35 \, \text{VAR}\).

Question 9 : Puissance réactive capacitive \(Q_C\)

Principe :

La puissance réactive capacitive \(Q_C\) représente l'énergie échangée avec le champ électrique du condensateur. Par convention, elle est souvent considérée comme négative (ou "fournie" au circuit) pour indiquer qu'elle tend à compenser la puissance réactive inductive. Elle se mesure aussi en VAR.

Formule(s) utilisée(s) :

Q_C = -X_C I_{\text{eff}}^2

Données spécifiques :

\(X_C \approx 31.8309 \, \Omega\)
\(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)

Calcul :

\begin{aligned} Q_C &\approx -31.8309 \, \Omega \times (3.5635 \, \text{A})^2 \\ &\approx -31.8309 \times 12.6986 \, \text{VAR} \\ &\approx -404.27 \, \text{VAR} \end{aligned}

Résultat Question 9 : La puissance réactive capacitive est \(Q_C \approx -404.27 \, \text{VAR}\).

Question 10 : Puissance réactive totale \(Q\)

Principe :

La puissance réactive totale \(Q\) du circuit est la somme algébrique des puissances réactives de chaque composant. C'est la différence entre la puissance réactive inductive et la valeur absolue de la puissance réactive capacitive (ou simplement \(Q_L + Q_C\) en gardant le signe de \(Q_C\)). Un \(Q\) total positif indique un circuit globalement inductif, un \(Q\) négatif un circuit capacitif.

Formule(s) utilisée(s) :

Q = Q_L + Q_C \quad \text{ou} \quad Q = (X_L - X_C)I_{\text{eff}}^2

Données spécifiques :

\(Q_L \approx 598.35 \, \text{VAR}\)
\(Q_C \approx -404.27 \, \text{VAR}\)

Calcul :

\begin{aligned} Q &\approx 598.35 \, \text{VAR} + (-404.27 \, \text{VAR}) \\ &\approx 194.08 \, \text{VAR} \end{aligned}

Résultat Question 10 : La puissance réactive totale est \(Q \approx 194.08 \, \text{VAR}\).

Question 11 : Puissance apparente \(S\)

Principe :

La puissance apparente \(S\) est la puissance "totale" que la source semble fournir au circuit, sans tenir compte du déphasage. C'est le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. Elle est importante pour dimensionner les câbles et les transformateurs. Elle se mesure en Volt-Ampères (VA).

Formule(s) utilisée(s) :

S = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \quad \text{ou} \quad S = \sqrt{P^2 + Q^2}

Données spécifiques :

\(V_{\text{eff}} = 120 \, \text{V}\)
\(I_{\text{eff}} \approx 3.5635 \, \text{A}\)

Calcul :

\begin{aligned} S &\approx 120 \, \text{V} \times 3.5635 \, \text{A} \\ &\approx 427.62 \, \text{VA} \end{aligned}

Résultat Question 11 : La puissance apparente est \(S \approx 427.62 \, \text{VA}\).

Question 12 : Facteur de Puissance (FP)

Principe :

Le facteur de puissance (FP) indique quelle fraction de la puissance apparente est réellement convertie en puissance active. Il est égal au cosinus de l'angle de déphasage \(\phi_Z\) entre la tension et le courant. Un FP proche de 1 est souhaitable. "En retard" signifie que le courant est en retard sur la tension (circuit inductif), "en avance" signifie que le courant est en avance sur la tension (circuit capacitif).

Formule(s) utilisée(s) :

FP = \cos(\phi_Z) = \frac{P}{S}

Données spécifiques :

\(\phi_Z \approx 27.00^\circ\)
\(P \approx 380.958 \, \text{W}\)
\(S \approx 427.62 \, \text{VA}\)

Calcul (avec \(\phi_Z\)) :

\begin{aligned} FP &\approx \cos(27.00^\circ) \\ &\approx 0.891 \end{aligned}

Calcul (avec P et S - Vérification) :

\begin{aligned} FP &\approx \frac{380.958 \, \text{W}}{427.62 \, \text{VA}} \\ &\approx 0.89088... \end{aligned}

Puisque \(\phi_Z \approx 27.00^\circ > 0\) (ou \(X_L > X_C\), ou \(Q > 0\)), le circuit est inductif, donc le courant est en retard sur la tension.

Résultat Question 12 : Le facteur de puissance est \(FP \approx 0.891\) (en retard).

Question 13 : Vérification du Triangle des Puissances

Principe :

Le triangle des puissances est une représentation géométrique de la relation entre la puissance active \(P\), la puissance réactive \(Q\), et la puissance apparente \(S\). Elles sont liées par la relation pythagoricienne : \(S^2 = P^2 + Q^2\). Vérifier cette relation permet de s'assurer de la cohérence des calculs.

Formule(s) utilisée(s) :

S = \sqrt{P^2 + Q^2}

Données calculées :

\(P \approx 380.958 \, \text{W}\)
\(Q \approx 194.08 \, \text{VAR}\)
\(S \approx 427.62 \, \text{VA}\) (calculé à la question 11)

Calcul de vérification :

\begin{aligned} \sqrt{P^2 + Q^2} &\approx \sqrt{(380.958)^2 + (194.08)^2} \\ &\approx \sqrt{145128.905764 + 37667.0464} \\ &\approx \sqrt{182795.952164} \\ &\approx 427.546 \, \text{VA} \end{aligned}

Cette valeur (\(427.546 \, \text{VA}\)) est très proche de la valeur de \(S\) calculée directement (\(427.62 \, \text{VA}\)). La petite différence est due aux arrondis cumulés au cours des calculs précédents.

Résultat Question 13 : La relation du triangle des puissances est vérifiée.

Glossaire

Puissance Active (P): Puissance moyenne réellement consommée par un circuit et transformée en une autre forme d'énergie (chaleur, travail mécanique). Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (Q): Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (inductances, condensateurs) du circuit. Elle n'est pas consommée mais est nécessaire au fonctionnement de ces éléments. Unité : Volt-Ampère Réactif (VAR).
Puissance Apparente (S): Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}}\)). C'est la puissance totale que la source semble fournir. Unité : Volt-Ampère (VA).
Facteur de Puissance (FP): Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(FP = P/S\)). Il est égal au cosinus de l'angle de déphasage entre la tension et le courant (\(\cos(\phi)\)). Il varie entre 0 et 1.
Triangle des Puissances: Représentation vectorielle des puissances P, Q et S, formant un triangle rectangle où \(S\) est l'hypoténuse (\(S^2 = P^2 + Q^2\)).
Impédance (\(\underline{Z}\)): Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est une grandeur complexe : \(\underline{Z} = R + jX\), où \(X\) est la réactance totale.
Réactance (\(X\)): Partie imaginaire de l'impédance, due aux inductances (\(X_L = L\omega\)) et aux capacités (\(X_C = 1/(C\omega)\)). La réactance totale est \(X = X_L - X_C\).
Régime Sinusoïdal Permanent: État d'un circuit alimenté par une source sinusoïdale où, après une phase transitoire, toutes les tensions et tous les courants sont sinusoïdaux et ont la même fréquence que la source.

Puissance en régime sinusoïdal permanent

Données de l'étude

Schéma : Circuit RLC Série pour Analyse de Puissance

Questions à traiter

Correction : Puissance en Régime Sinusoïdal Permanent

Question 1 : Pulsation angulaire \(\omega\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Réactance Inductive \(X_L\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 3 : Réactance Capacitive \(X_C\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 4 : Impédance complexe \(\underline{Z}\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Module \(|Z|\) et Angle \(\phi_Z\) de l'Impédance

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Courant efficace \(I_{\text{eff}}\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Puissance active (moyenne) \(P\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul (Méthode 1) :

Calcul (Méthode 2 - Vérification) :

Question 8 : Puissance réactive inductive \(Q_L\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 9 : Puissance réactive capacitive \(Q_C\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 10 : Puissance réactive totale \(Q\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 11 : Puissance apparente \(S\)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 12 : Facteur de Puissance (FP)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul (avec \(\phi_Z\)) :

Calcul (avec P et S - Vérification) :

Question 13 : Vérification du Triangle des Puissances

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données calculées :

Calcul de vérification :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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