Application du Théorème de Norton
Comprendre l’Application du Théorème de Norton
Objectif: Transformer un circuit donné en son équivalent Norton et calculer le courant dans une charge spécifique connectée à cet équivalent.
Description du circuit
Considérons un circuit composé des éléments suivants :
- Une source de tension \( V_s = 12 \, \text{V} \)
- Une résistance \( R_1 = 6 \, \Omega \)
- Une résistance \( R_2 = 3 \, \Omega \)
- Une résistance \( R_3 = 3 \, \Omega \)
La source de tension et \( R_1 \) sont en série, et ce groupe est en parallèle avec \( R_2 \). \( R_3 \) est connectée en série à ce montage parallèle, formant une charge externe au reste du circuit. Le but est de déterminer le courant traversant \( R_3 \) en utilisant le théorème de Norton.
Diagramme du circuit
Questions:
1. Trouver l’équivalent de Norton jusqu’aux bornes de \( R_3 \):
- Calculez la résistance de Norton \( R_N \) en éteignant la source de tension (remplacer \( V_s \) par un court-circuit) et en calculant la résistance équivalente vue de \( R_2 \) et \( R_1 \).
- Déterminez le courant de Norton \( I_N \) en trouvant le courant total qui passerait à travers un court-circuit placé à la place de \( R_3 \).
2. Calcul du courant dans \( R_3 \):
- Utilisez l’équivalent de Norton pour calculer le courant à travers \( R_3 \) lorsque \( R_3 \) est reconnectée au circuit.
Correction : Application du Théorème de Norton
1. Calcul de l’équivalent de Norton
A. Calcul de la résistance de Norton \( R_N \)
Pour calculer \( R_N \), nous devons éteindre toutes les sources de tension (remplacer \( V_s \) par un court-circuit) et trouver la résistance vue des bornes où \( R_3 \) est connectée. \( R_1 \) et \( R_2 \) sont maintenant en parallèle car la source \( V_s \) est court-circuitée.
- Résistances en parallèle ( \( R_1 \) et \( R_2 \) ):
\[ R_{\text{parallel}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \] \[ R_{\text{parallel}} = \frac{6 \, \Omega \times 3 \, \Omega}{6 \, \Omega + 3 \, \Omega} \] \[ R_{\text{parallel}} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega \]
B. Calcul du courant de Norton \( I_N \)
Pour calculer \( I_N \), nous allons réactiver la source de tension \( V_s \) et calculer le courant total à travers un court-circuit hypothétique remplaçant \( R_3 \). Ce courant est équivalent au courant traversant \( R_{\text{parallel}} \).
- Courant de court-circuit \( I_{\text{cc}} \) (également \( I_N \)) :
\[ I_{\text{cc}} = \frac{V_s}{R_{\text{parallel}}} \] \[ I_{\text{cc}} = \frac{12 \, \text{V}}{2 \, \Omega} = 6 \, \text{A} \]
2. Calcul du courant dans \( R_3 \) avec l’équivalent de Norton
L’équivalent de Norton pour notre circuit est une source de courant de \( 6 \, A \) en parallèle avec une résistance de \( 2 \, \Omega \) et \( R_3 = 3 \, \Omega \) reconnectée au circuit.
Calcul de la résistance totale pour le courant \( I_3 \):
\[ R_{\text{total}} = \frac{R_N \times R_3}{R_N + R_3} \] \[ R_{\text{total}} = \frac{2 \, \Omega \times 3 \, \Omega}{2 \, \Omega + 3 \, \Omega} \] \[ R_{\text{total}} = \frac{6}{5} = 1.2 \, \Omega \]
Calcul du courant dans \( R_3 \) en utilisant l’équivalent de Norton:
\[ I_3 = I_N \times \frac{R_N}{R_N + R_3} \] \[ I_3 = 6 \, \text{A} \times \frac{2 \, \Omega}{2 \, \Omega + 3 \, \Omega} \] \[ I_3 = 6 \, \text{A} \times \frac{2}{5} \] \[ I_3 = 2.4 \, \text{A} \]
Résumé des résultats:
- Résistance de Norton, \( R_N \): \( 2 \, \Omega \)
- Courant de Norton, \( I_N \): \( 6 \, A \)
- Courant dans \( R_3 \): \( 2.4 \, A \)
Application du Théorème de Norton
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