Exercices Électricité

Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Comprendre les Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff sont deux principes fondamentaux pour l'analyse des circuits électriques. La loi des courants de Kirchhoff (LCK), ou loi des nœuds, stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou sortant d'un nœud) est nulle. Cela découle de la conservation de la charge. La loi des tensions de Kirchhoff (LVK), ou loi des mailles, stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) dans un circuit est nulle. Cela découle de la conservation de l'énergie. Ces lois sont essentielles pour analyser des circuits complexes, y compris les réseaux de distribution électrique où plusieurs sources et charges peuvent être interconnectées par des lignes ayant des résistances non négligeables.

Données de l'étude

On considère un système de distribution en courant continu alimenté par une source de tension \(V_S\). Cette source alimente deux charges, \(R_{LA}\) et \(R_{LB}\), à travers des lignes de distribution ayant des résistances \(R_1, R_A, R_B, R_2\), comme indiqué sur le schéma.

Caractéristiques du système :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(120 \, \text{V}\)
  • Résistance de la ligne principale d'alimentation (\(R_1\)) : \(0.2 \, \Omega\)
  • Résistance de la ligne de la branche A (\(R_A\)) : \(0.3 \, \Omega\)
  • Résistance de la charge A (\(R_{LA}\)) : \(10 \, \Omega\)
  • Résistance de la ligne de la branche B (\(R_B\)) : \(0.4 \, \Omega\)
  • Résistance de la charge B (\(R_{LB}\)) : \(15 \, \Omega\)
  • Résistance de la ligne principale de retour (\(R_2\)) : \(0.2 \, \Omega\)
Schéma du Circuit de Distribution
+ - Vs R1 X RA RLA Y RB RLB R2 Is IA IB Circuit de Distribution Électrique

Une source \(V_S\) alimente deux charges \(R_{LA}\) et \(R_{LB}\) en parallèle, avec des résistances de ligne.

Questions à traiter

  1. Identifier les nœuds principaux et les mailles indépendantes du circuit.
  2. Appliquer la loi des courants de Kirchhoff (LCK) au(x) nœud(s) pertinent(s).
  3. Appliquer la loi des tensions de Kirchhoff (LVK) aux mailles indépendantes pour obtenir un système d'équations.
  4. Résoudre le système d'équations pour trouver les courants \(I_S\), \(I_A\) (courant dans la branche de \(R_{LA}\)), et \(I_B\) (courant dans la branche de \(R_{LB}\)).
  5. Calculer la tension aux bornes de la charge A (\(V_{LA}\)) et de la charge B (\(V_{LB}\)).
  6. Calculer la puissance dissipée par chaque résistance de ligne et par chaque charge.
  7. Calculer la puissance totale fournie par la source (\(P_S\)) et le rendement global (\(\eta\)) de la distribution.

Correction : Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Question 1 : Identification des nœuds et mailles

Principe :

Un nœud est un point de connexion entre trois conducteurs ou plus. Une maille est une boucle fermée dans le circuit.

Identification :
  • Nœuds principaux : X (jonction de \(R_1\), \(R_A\), \(R_B\)) et Y (jonction des retours des charges et de \(R_2\)).
  • Mailles indépendantes : On peut en choisir plusieurs. Par exemple :
    • Maille 1 : \(V_S - R_1 - R_A - R_{LA} - R_2\)
    • Maille 2 : \(R_A + R_{LA} - R_{LB} - R_B\) (maille entre les deux branches)
    • Ou Maille 2' : \(V_S - R_1 - R_B - R_{LB} - R_2\)
    Nous utiliserons les mailles 1 et 2' pour établir le système.
Résultat Question 1 : Nœuds X et Y. Mailles indépendantes : (Source, \(R_1\), \(R_A\), \(R_{LA}\), \(R_2\)) et (Source, \(R_1\), \(R_B\), \(R_{LB}\), \(R_2\)).

Question 2 : Application de la Loi des Courants de Kirchhoff (LCK)

Principe :

La somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud (ou la somme algébrique de tous les courants en un nœud est nulle).

Application au nœud X :
\[I_S = I_A + I_B\]

Au nœud Y, on aurait \(I_A + I_B = I_S\), ce qui est la même équation.

Résultat Question 2 : L'équation de nœud est \(I_S = I_A + I_B\).

Question 3 : Application de la Loi des Tensions de Kirchhoff (LVK)

Principe :

La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) est nulle.

Application aux mailles :

Maille 1 (passant par la source, \(R_1\), \(R_A\), \(R_{LA}\), \(R_2\)) :

\[V_S - R_1 I_S - R_A I_A - R_{LA} I_A - R_2 I_S = 0\] \[V_S - (R_1+R_2)I_S - (R_A+R_{LA})I_A = 0 \quad \text{(Éq. 1)}\]

Maille 2 (passant par la source, \(R_1\), \(R_B\), \(R_{LB}\), \(R_2\)) :

\[V_S - R_1 I_S - R_B I_B - R_{LB} I_B - R_2 I_S = 0\] \[V_S - (R_1+R_2)I_S - (R_B+R_{LB})I_B = 0 \quad \text{(Éq. 2)}\]

Nous avons aussi l'équation de nœud de la Q2 : \(I_S = I_A + I_B \quad \text{(Éq. 3)}\)

Résultat Question 3 : Les équations de mailles sont :
  1. \(V_S - (R_1+R_2)I_S - (R_A+R_{LA})I_A = 0\)
  2. \(V_S - (R_1+R_2)I_S - (R_B+R_{LB})I_B = 0\)
Et l'équation de nœud : \(I_S = I_A + I_B\).

Question 4 : Calcul des courants \(I_S, I_A, I_B\)

Principe :

Nous avons un système de trois équations linéaires à trois inconnues (\(I_S, I_A, I_B\)). Nous allons le résoudre.

Rappel des valeurs : \(V_S = 120 \, \text{V}\), \(R_1 = 0.2 \, \Omega\), \(R_A = 0.3 \, \Omega\), \(R_{LA} = 10 \, \Omega\), \(R_B = 0.4 \, \Omega\), \(R_{LB} = 15 \, \Omega\), \(R_2 = 0.2 \, \Omega\).

Donc : \(R_1+R_2 = 0.4 \, \Omega\), \(R_A+R_{LA} = 10.3 \, \Omega\), \(R_B+R_{LB} = 15.4 \, \Omega\).

Équations :

  1. \(120 - 0.4 I_S - 10.3 I_A = 0\)
  2. \(120 - 0.4 I_S - 15.4 I_B = 0\)
  3. \(I_S = I_A + I_B\)
Calcul :

De (1) et (2), on voit que \(10.3 I_A = 15.4 I_B\).

\[I_A = \frac{15.4}{10.3} I_B \approx 1.4951456 I_B\]

Substituons \(I_S\) de (3) dans (1) :

\[ \begin{aligned} 120 - 0.4 (I_A + I_B) - 10.3 I_A &= 0 \\ 120 - 0.4 I_A - 0.4 I_B - 10.3 I_A &= 0 \\ 120 - 10.7 I_A - 0.4 I_B &= 0 \end{aligned} \]

Substituons \(I_A \approx 1.4951456 I_B\) dans cette dernière équation :

\[ \begin{aligned} 120 - 10.7 (1.4951456 I_B) - 0.4 I_B &= 0 \\ 120 - 15.99805792 I_B - 0.4 I_B &= 0 \\ 120 - 16.39805792 I_B &= 0 \\ 16.39805792 I_B &= 120 \\ I_B &= \frac{120}{16.39805792} \\ &\approx 7.31786 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_A &= 1.4951456 \times 7.31786 \, \text{A} \\ &\approx 10.94165 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_S &= I_A + I_B \\ &\approx 10.94165 \, \text{A} + 7.31786 \, \text{A} \\ &\approx 18.25951 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • \(I_A \approx 10.94 \, \text{A}\)
  • \(I_B \approx 7.32 \, \text{A}\)
  • \(I_S \approx 18.26 \, \text{A}\)

Quiz Intermédiaire 1 : La loi des nœuds de Kirchhoff est une conséquence de :

Question 5 : Tensions aux bornes des charges (\(V_{LA}\) et \(V_{LB}\))

Principe :

La tension aux bornes d'une charge résistive est donnée par la loi d'Ohm : \(V = RI\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{LA} = R_{LA} I_A\] \[V_{LB} = R_{LB} I_B\]
Données spécifiques :
  • \(R_{LA} = 10 \, \Omega\), \(I_A \approx 10.94165 \, \text{A}\)
  • \(R_{LB} = 15 \, \Omega\), \(I_B \approx 7.31786 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{LA} &= 10 \, \Omega \times 10.94165 \, \text{A} \\ &\approx 109.4165 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{LB} &= 15 \, \Omega \times 7.31786 \, \text{A} \\ &\approx 109.7679 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 :
  • Tension aux bornes de la charge A : \(V_{LA} \approx 109.42 \, \text{V}\)
  • Tension aux bornes de la charge B : \(V_{LB} \approx 109.77 \, \text{V}\)

Question 6 : Puissances dissipées

Principe :

La puissance dissipée dans une résistance est \(P = RI^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = R I^2\]
Calculs :
\[ \begin{aligned} P_{R1} &= R_1 I_S^2 \\ &\approx 0.2 \times (18.25951)^2 \\ &\approx 0.2 \times 333.409 \\ &\approx 66.68 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{RA} &= R_A I_A^2 \\ &\approx 0.3 \times (10.94165)^2 \\ &\approx 0.3 \times 119.7196 \\ &\approx 35.92 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{LA} &= R_{LA} I_A^2 \\ &\approx 10 \times (10.94165)^2 \\ &\approx 1197.196 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{RB} &= R_B I_B^2 \\ &\approx 0.4 \times (7.31786)^2 \\ &\approx 0.4 \times 53.5511 \\ &\approx 21.42 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{LB} &= R_{LB} I_B^2 \\ &\approx 15 \times (7.31786)^2 \\ &\approx 15 \times 53.5511 \\ &\approx 803.27 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{R2} &= R_2 I_S^2 \\ &\approx 0.2 \times (18.25951)^2 \\ &\approx 66.68 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 :
  • \(P_{R1} \approx 66.68 \, \text{W}\)
  • \(P_{RA} \approx 35.92 \, \text{W}\)
  • \(P_{LA} \approx 1197.20 \, \text{W}\)
  • \(P_{RB} \approx 21.42 \, \text{W}\)
  • \(P_{LB} \approx 803.27 \, \text{W}\)
  • \(P_{R2} \approx 66.68 \, \text{W}\)

Question 7 : Puissance totale fournie (\(P_S\)) et rendement (\(\eta\))

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_S = V_S I_S\). Le rendement est le rapport de la puissance utile (consommée par les charges \(R_{LA}\) et \(R_{LB}\)) à la puissance totale fournie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_S = V_S I_S\] \[P_{utile} = P_{LA} + P_{LB}\] \[\eta = \frac{P_{utile}}{P_S}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 120 \, \text{V}\)
  • \(I_S \approx 18.25951 \, \text{A}\)
  • \(P_{LA} \approx 1197.196 \, \text{W}\)
  • \(P_{LB} \approx 803.266 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_S &= 120 \, \text{V} \times 18.25951 \, \text{A} \\ &\approx 2191.14 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{utile} &= 1197.196 \, \text{W} + 803.266 \, \text{W} \\ &= 2000.462 \, \text{W} \end{aligned} \]

Somme des pertes : \(P_{pertes\_totales} = P_{R1} + P_{RA} + P_{RB} + P_{R2} \approx 66.68 + 35.92 + 21.42 + 66.68 \approx 190.70 \, \text{W}\).

Vérification : \(P_S \approx P_{utile} + P_{pertes\_totales} \approx 2000.462 + 190.70 \approx 2191.16 \, \text{W}\). Concordance.

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{2000.462 \, \text{W}}{2191.14 \, \text{W}} \\ &\approx 0.91298 \\ &\approx 91.30\% \end{aligned} \]
Résultat Question 7 :
  • Puissance totale fournie par la source : \(P_S \approx 2191.14 \, \text{W}\)
  • Rendement global de la distribution : \(\eta \approx 91.30\%\)

Quiz Intermédiaire 2 : La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que :

2. Dans un circuit avec plusieurs résistances en parallèle alimentées par une source via une résistance de ligne, la tension aux bornes de chaque résistance en parallèle (sans compter leurs propres lignes de branche) :

3. Le rendement d'une ligne de distribution électrique est amélioré si :

Glossaire

Loi des Nœuds de Kirchhoff (LCK)
La somme algébrique des courants électriques qui entrent dans un nœud d'un circuit électrique est égale à la somme algébrique des courants qui en sortent. (Conservation de la charge).
Loi des Mailles de Kirchhoff (LVK)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. (Conservation de l'énergie).
Nœud
Point d'un circuit électrique où au moins trois conducteurs se rencontrent.
Maille
Chemin fermé dans un circuit électrique.
Ligne de Distribution
Ensemble de conducteurs utilisés pour transporter l'énergie électrique d'une source vers des charges.
Chute de Tension
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et au courant qui le traverse (\(V_{chute} = RI\)).
Pertes par Effet Joule
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur résistif parcouru par un courant (\(P = RI^2\)).
Rendement de Distribution (\(\eta\))
Rapport de la puissance utile (consommée par les charges) à la puissance totale fournie par la source.
Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

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