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Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Comprendre les Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff sont deux principes fondamentaux pour l'analyse des circuits électriques. La loi des courants de Kirchhoff (LCK), ou loi des nœuds, stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou sortant d'un nœud) est nulle. Cela découle de la conservation de la charge. La loi des tensions de Kirchhoff (LVK), ou loi des mailles, stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) dans un circuit est nulle. Cela découle de la conservation de l'énergie. Ces lois sont essentielles pour analyser des circuits complexes, y compris les réseaux de distribution électrique où plusieurs sources et charges peuvent être interconnectées par des lignes ayant des résistances non négligeables.

Données de l'étude

On considère un système de distribution en courant continu alimenté par une source de tension VS. Cette source alimente deux charges, RLA et RLB, à travers des lignes de distribution ayant des résistances R1,RA,RB,R2, comme indiqué sur le schéma.

Caractéristiques du système :

  • Tension de la source (VS) : 120V
  • Résistance de la ligne principale d'alimentation (R1) : 0.2Ω
  • Résistance de la ligne de la branche A (RA) : 0.3Ω
  • Résistance de la charge A (RLA) : 10Ω
  • Résistance de la ligne de la branche B (RB) : 0.4Ω
  • Résistance de la charge B (RLB) : 15Ω
  • Résistance de la ligne principale de retour (R2) : 0.2Ω
Schéma du Circuit de Distribution
+ - Vs R1 X RA RLA Y RB RLB R2 Is IA IB Circuit de Distribution Électrique

Une source VS alimente deux charges RLA et RLB en parallèle, avec des résistances de ligne.


Questions à traiter

  1. Identifier les nœuds principaux et les mailles indépendantes du circuit.
  2. Appliquer la loi des courants de Kirchhoff (LCK) au(x) nœud(s) pertinent(s).
  3. Appliquer la loi des tensions de Kirchhoff (LVK) aux mailles indépendantes pour obtenir un système d'équations.
  4. Résoudre le système d'équations pour trouver les courants IS, IA (courant dans la branche de RLA), et IB (courant dans la branche de RLB).
  5. Calculer la tension aux bornes de la charge A (VLA) et de la charge B (VLB).
  6. Calculer la puissance dissipée par chaque résistance de ligne et par chaque charge.
  7. Calculer la puissance totale fournie par la source (PS) et le rendement global (η) de la distribution.

Correction : Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

Question 1 : Identification des nœuds et mailles

Principe :

Un nœud est un point de connexion entre trois conducteurs ou plus. Une maille est une boucle fermée dans le circuit.

Identification :
  • Nœuds principaux : X (jonction de R1, RA, RB) et Y (jonction des retours des charges et de R2).
  • Mailles indépendantes : On peut en choisir plusieurs. Par exemple :
    • Maille 1 : VSR1RARLAR2
    • Maille 2 : RA+RLARLBRB (maille entre les deux branches)
    • Ou Maille 2' : VSR1RBRLBR2
    Nous utiliserons les mailles 1 et 2' pour établir le système.
Résultat Question 1 : Nœuds X et Y. Mailles indépendantes : (Source, R1, RA, RLA, R2) et (Source, R1, RB, RLB, R2).

Question 2 : Application de la Loi des Courants de Kirchhoff (LCK)

Principe :

La somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud (ou la somme algébrique de tous les courants en un nœud est nulle).

Application au nœud X :
IS=IA+IB

Au nœud Y, on aurait IA+IB=IS, ce qui est la même équation.

Résultat Question 2 : L'équation de nœud est IS=IA+IB.

Question 3 : Application de la Loi des Tensions de Kirchhoff (LVK)

Principe :

La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) est nulle.

Application aux mailles :

Maille 1 (passant par la source, R1, RA, RLA, R2) :

VSR1ISRAIARLAIAR2IS=0 VS(R1+R2)IS(RA+RLA)IA=0(Éq. 1)

Maille 2 (passant par la source, R1, RB, RLB, R2) :

VSR1ISRBIBRLBIBR2IS=0 VS(R1+R2)IS(RB+RLB)IB=0(Éq. 2)

Nous avons aussi l'équation de nœud de la Q2 : IS=IA+IB(Éq. 3)

Résultat Question 3 : Les équations de mailles sont :
  1. VS(R1+R2)IS(RA+RLA)IA=0
  2. VS(R1+R2)IS(RB+RLB)IB=0
Et l'équation de nœud : IS=IA+IB.

Question 4 : Calcul des courants IS,IA,IB

Principe :

Nous avons un système de trois équations linéaires à trois inconnues (IS,IA,IB). Nous allons le résoudre.

Rappel des valeurs : VS=120V, R1=0.2Ω, RA=0.3Ω, RLA=10Ω, RB=0.4Ω, RLB=15Ω, R2=0.2Ω.

Donc : R1+R2=0.4Ω, RA+RLA=10.3Ω, RB+RLB=15.4Ω.

Équations :

  1. 1200.4IS10.3IA=0
  2. 1200.4IS15.4IB=0
  3. IS=IA+IB
Calcul :

De (1) et (2), on voit que 10.3IA=15.4IB.

IA=15.410.3IB1.4951456IB

Substituons IS de (3) dans (1) :

1200.4(IA+IB)10.3IA=01200.4IA0.4IB10.3IA=012010.7IA0.4IB=0

Substituons IA1.4951456IB dans cette dernière équation :

12010.7(1.4951456IB)0.4IB=012015.99805792IB0.4IB=012016.39805792IB=016.39805792IB=120IB=12016.398057927.31786A IA=1.4951456×7.31786A10.94165A IS=IA+IB10.94165A+7.31786A18.25951A
Résultat Question 4 :
  • IA10.94A
  • IB7.32A
  • IS18.26A

Quiz Intermédiaire 1 : La loi des nœuds de Kirchhoff est une conséquence de :

Question 5 : Tensions aux bornes des charges (VLA et VLB)

Principe :

La tension aux bornes d'une charge résistive est donnée par la loi d'Ohm : V=RI.

Formule(s) utilisée(s) :
VLA=RLAIA VLB=RLBIB
Données spécifiques :
  • RLA=10Ω, IA10.94165A
  • RLB=15Ω, IB7.31786A
Calcul :
VLA=10Ω×10.94165A109.4165V VLB=15Ω×7.31786A109.7679V
Résultat Question 5 :
  • Tension aux bornes de la charge A : VLA109.42V
  • Tension aux bornes de la charge B : VLB109.77V

Question 6 : Puissances dissipées

Principe :

La puissance dissipée dans une résistance est P=RI2.

Formule(s) utilisée(s) :
P=RI2
Calculs :
PR1=R1IS20.2×(18.25951)20.2×333.40966.68W PRA=RAIA20.3×(10.94165)20.3×119.719635.92W PLA=RLAIA210×(10.94165)21197.196W PRB=RBIB20.4×(7.31786)20.4×53.551121.42W PLB=RLBIB215×(7.31786)215×53.5511803.27W PR2=R2IS20.2×(18.25951)266.68W
Résultat Question 6 :
  • PR166.68W
  • PRA35.92W
  • PLA1197.20W
  • PRB21.42W
  • PLB803.27W
  • PR266.68W

Question 7 : Puissance totale fournie (PS) et rendement (η)

Principe :

La puissance totale fournie par la source est PS=VSIS. Le rendement est le rapport de la puissance utile (consommée par les charges RLA et RLB) à la puissance totale fournie.

Formule(s) utilisée(s) :
PS=VSIS Putile=PLA+PLB η=PutilePS
Données spécifiques :
  • VS=120V
  • IS18.25951A
  • PLA1197.196W
  • PLB803.266W
Calcul :
PS=120V×18.25951A2191.14W Putile=1197.196W+803.266W=2000.462W

Somme des pertes : Ppertes_totales=PR1+PRA+PRB+PR266.68+35.92+21.42+66.68190.70W.

Vérification : PSPutile+Ppertes_totales2000.462+190.702191.16W. Concordance.

η=2000.462W2191.14W0.9129891.30%
Résultat Question 7 :
  • Puissance totale fournie par la source : PS2191.14W
  • Rendement global de la distribution : η91.30%

Quiz Intermédiaire 2 : La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence de :


Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que :

2. Dans un circuit avec plusieurs résistances en parallèle alimentées par une source via une résistance de ligne, la tension aux bornes de chaque résistance en parallèle (sans compter leurs propres lignes de branche) :

3. Le rendement d'une ligne de distribution électrique est amélioré si :


Glossaire

Loi des Nœuds de Kirchhoff (LCK)
La somme algébrique des courants électriques qui entrent dans un nœud d'un circuit électrique est égale à la somme algébrique des courants qui en sortent. (Conservation de la charge).
Loi des Mailles de Kirchhoff (LVK)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de toute boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. (Conservation de l'énergie).
Nœud
Point d'un circuit électrique où au moins trois conducteurs se rencontrent.
Maille
Chemin fermé dans un circuit électrique.
Ligne de Distribution
Ensemble de conducteurs utilisés pour transporter l'énergie électrique d'une source vers des charges.
Chute de Tension
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et au courant qui le traverse (Vchute=RI).
Pertes par Effet Joule
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur résistif parcouru par un courant (P=RI2).
Rendement de Distribution (η)
Rapport de la puissance utile (consommée par les charges) à la puissance totale fournie par la source.
Lois de Kirchhoff dans la Distribution Électrique

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