Exercices Électricité

Calcul des Pertes en Ligne dans les Réseaux

Calcul des Pertes en Ligne dans les Réseaux de Distribution

Calcul des Pertes en Ligne dans les Réseaux de Distribution

Comprendre les Pertes en Ligne

Le transport et la distribution de l'énergie électrique s'accompagnent inévitablement de pertes d'énergie. La principale source de ces pertes dans les lignes de transmission et de distribution est l'effet Joule, dû à la résistance des conducteurs. Ces pertes se traduisent par une dissipation de chaleur, une diminution de la tension disponible pour les utilisateurs et une réduction du rendement global du système. Le calcul précis de ces pertes est crucial pour la conception efficace des réseaux, le choix des sections de conducteurs, la gestion des flux de puissance et l'optimisation économique. Cet exercice se concentre sur l'analyse des pertes dans une ligne de distribution simple alimentant une charge.

Données de l'étude

Une ligne de distribution monophasée alimente une charge à une certaine distance de la source.

Caractéristiques du système :

  • Tension à la source (\(V_S\)) : \(230 \, \text{V}\) (valeur efficace, AC monophasé)
  • Charge :
    • Puissance active consommée (\(P_{charge}\)) : \(5 \, \text{kW}\)
    • Facteur de puissance (\(\cos\phi_{charge}\)) : \(0.8\) inductif (AR)
  • Ligne de distribution (aller et retour) :
    • Résistance totale de la ligne (\(R_{ligne}\)) : \(0.5 \, \Omega\)
    • Réactance totale de la ligne (\(X_{ligne}\)) : \(0.3 \, \Omega\)
Schéma : Ligne de Distribution Monophasée avec Charge
~ Vs Rligne jXligne I Charge P, cos φ Vcharge Ligne de Distribution Monophasée

Une source \(V_S\) alimente une charge (\(P_{charge}, \cos\phi_{charge}\)) à travers une ligne d'impédance \(Z_{ligne}\).

Questions à traiter

  1. Calculer la puissance apparente (\(S_{charge}\)) et la puissance réactive (\(Q_{charge}\)) consommées par la charge.
  2. Calculer le courant de ligne (\(I_L\)) circulant de la source vers la charge. (On pourra supposer une tension à la charge \(V_{charge}\) et itérer, ou résoudre une équation plus complexe). Pour simplifier, on supposera dans un premier temps que la tension aux bornes de la charge est proche de \(220 \, \text{V}\) pour estimer le courant.
  3. En utilisant le courant calculé (ou estimé), calculer la puissance active perdue dans la résistance de la ligne (\(P_{pertes,R}\)).
  4. Calculer la puissance réactive absorbée par la réactance de la ligne (\(Q_{pertes,X}\)).
  5. Calculer la puissance active totale (\(P_S\)) fournie par la source.
  6. Calculer la puissance réactive totale (\(Q_S\)) fournie par la source.
  7. Calculer la puissance apparente totale (\(S_S\)) fournie par la source et le facteur de puissance à la source (\(\cos\phi_S\)).
  8. Calculer le rendement (\(\eta\)) de la ligne de distribution.

Correction : Calcul des Pertes en Ligne dans les Réseaux de Distribution

Question 1 : Puissance apparente (\(S_{charge}\)) et réactive (\(Q_{charge}\)) de la charge

Principe :

La puissance apparente \(S_{charge}\) est liée à la puissance active \(P_{charge}\) et au facteur de puissance \(\cos\phi_{charge}\). La puissance réactive \(Q_{charge}\) peut être trouvée à partir de \(P_{charge}\) et \(\tan\phi_{charge}\) ou de \(S_{charge}\) et \(\sin\phi_{charge}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{charge} = \frac{P_{charge}}{\cos\phi_{charge}}\] \[\phi_{charge} = \arccos(\cos\phi_{charge})\] \[Q_{charge} = P_{charge} \tan(\phi_{charge}) \quad \text{ou} \quad Q_{charge} = S_{charge} \sin(\phi_{charge})\]

Puisque la charge est inductive, \(Q_{charge}\) sera positive.

Données spécifiques :
  • \(P_{charge} = 5 \, \text{kW} = 5000 \, \text{W}\)
  • \(\cos\phi_{charge} = 0.8\) (inductif)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{charge} &= \frac{5000 \, \text{W}}{0.8} \\ &= 6250 \, \text{VA} \end{aligned} \] \[ \phi_{charge} = \arccos(0.8) \approx 36.8699^\circ \] \[ \sin(\phi_{charge}) = \sin(36.8699^\circ) \approx 0.6 \] \[ \begin{aligned} Q_{charge} &= S_{charge} \sin(\phi_{charge}) \\ &= 6250 \, \text{VA} \times 0.6 \\ &= 3750 \, \text{VAR} \end{aligned} \]

Alternativement : \(\tan(\phi_{charge}) = \frac{\sin(\phi_{charge})}{\cos(\phi_{charge})} = \frac{0.6}{0.8} = 0.75\).

\[ Q_{charge} = P_{charge} \tan(\phi_{charge}) = 5000 \, \text{W} \times 0.75 = 3750 \, \text{VAR} \]
Résultat Question 1 :
  • Puissance apparente de la charge : \(S_{charge} = 6250 \, \text{VA}\)
  • Puissance réactive de la charge : \(Q_{charge} = 3750 \, \text{VAR}\)

Question 2 : Courant de ligne (\(I_L\))

Principe :

Le courant de ligne \(I_L\) peut être estimé si l'on connaît la tension aux bornes de la charge. Pour une première estimation, nous utilisons la tension de la source, puis nous pourrons affiner. Cependant, une méthode plus rigoureuse consiste à résoudre l'équation de la chute de tension. \(P_{charge} = V_{charge} I_L \cos\phi_{charge}\). \(\vec{V}_S = \vec{V}_{charge} + (R_{ligne} + jX_{ligne})\vec{I}_L\). Prenons \(V_{charge}\) comme référence de phase. \(\vec{V}_{charge} = V_{charge} \angle 0\). \(\vec{I}_L = I_L \angle -\phi_{charge}\). \(V_S^2 = (V_{charge} + R_{ligne}I_L\cos\phi_{charge} + X_{ligne}I_L\sin\phi_{charge})^2 + (X_{ligne}I_L\cos\phi_{charge} - R_{ligne}I_L\sin\phi_{charge})^2\). En substituant \(V_{charge} = P_{charge} / (I_L \cos\phi_{charge})\), on obtient une équation en \(I_L\).

Pour simplifier, utilisons l'approximation suggérée : Estimons \(I_L\) en supposant \(V_{charge} \approx 220 \, \text{V}\) (proche de \(V_S\)).

Formule(s) utilisée(s) (pour l'estimation) :
\[I_L \approx \frac{P_{charge}}{V_{charge,estimée} \cos\phi_{charge}}\]
Données spécifiques pour l'estimation :
  • \(P_{charge} = 5000 \, \text{W}\)
  • \(V_{charge,estimée} = 220 \, \text{V}\)
  • \(\cos\phi_{charge} = 0.8\)
Calcul de l'estimation du courant :
\[ \begin{aligned} I_L &\approx \frac{5000 \, \text{W}}{220 \, \text{V} \times 0.8} \\ &= \frac{5000}{176} \, \text{A} \\ &\approx 28.409 \, \text{A} \end{aligned} \]

Cette valeur sera utilisée pour les questions suivantes. Une résolution plus exacte impliquerait de résoudre l'équation complexe mentionnée ci-dessus, ce qui est plus long.

Résultat Question 2 : Le courant de ligne estimé est \(I_L \approx 28.41 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un circuit AC, le facteur de puissance est le rapport entre :

Question 3 : Puissance active perdue dans la ligne (\(P_{pertes,R}\))

Principe :

Les pertes de puissance active dans la ligne sont dues à la résistance de la ligne et sont calculées par \(P = R I^2\). Comme c'est une ligne monophasée avec aller et retour, la résistance \(R_{ligne}\) donnée est la résistance totale des deux conducteurs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{pertes,R} = R_{ligne} I_L^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.5 \, \Omega\)
  • \(I_L \approx 28.409 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{pertes,R} &= 0.5 \, \Omega \times (28.409 \, \text{A})^2 \\ &= 0.5 \times 807.074 \\ &\approx 403.54 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La puissance active perdue dans la ligne est \(P_{pertes,R} \approx 403.54 \, \text{W}\).

Question 4 : Puissance réactive absorbée par la ligne (\(Q_{pertes,X}\))

Principe :

La puissance réactive absorbée par la ligne est due à la réactance de la ligne et est calculée par \(Q = X I^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{pertes,X} = X_{ligne} I_L^2\]
Données spécifiques :
  • \(X_{ligne} = 0.3 \, \Omega\)
  • \(I_L \approx 28.409 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{pertes,X} &= 0.3 \, \Omega \times (28.409 \, \text{A})^2 \\ &= 0.3 \times 807.074 \\ &\approx 242.12 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La puissance réactive absorbée par la ligne est \(Q_{pertes,X} \approx 242.12 \, \text{VAR}\).

Question 5 : Puissance active totale (\(P_S\)) fournie par la source

Principe :

La puissance active totale fournie par la source est la somme de la puissance active consommée par la charge et des pertes actives dans la ligne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_S = P_{charge} + P_{pertes,R}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{charge} = 5000 \, \text{W}\)
  • \(P_{pertes,R} \approx 403.54 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_S &= 5000 \, \text{W} + 403.54 \, \text{W} \\ &= 5403.54 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance active totale fournie par la source est \(P_S \approx 5403.54 \, \text{W}\).

Question 6 : Puissance réactive totale (\(Q_S\)) fournie par la source

Principe :

La puissance réactive totale fournie par la source est la somme de la puissance réactive consommée par la charge et de la puissance réactive absorbée par la ligne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_S = Q_{charge} + Q_{pertes,X}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{charge} = 3750 \, \text{VAR}\) (de Q1)
  • \(Q_{pertes,X} \approx 242.12 \, \text{VAR}\) (de Q4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_S &= 3750 \, \text{VAR} + 242.12 \, \text{VAR} \\ &= 3992.12 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La puissance réactive totale fournie par la source est \(Q_S \approx 3992.12 \, \text{VAR}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La puissance réactive est associée à :

Question 7 : Puissance apparente totale (\(S_S\)) et facteur de puissance à la source (\(\cos\phi_S\))

Principe :

La puissance apparente totale à la source \(S_S\) peut être calculée à partir de \(P_S\) et \(Q_S\) en utilisant le triangle des puissances. Le facteur de puissance à la source est \(\cos\phi_S = P_S / S_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_S = \sqrt{P_S^2 + Q_S^2}\] \[\cos\phi_S = \frac{P_S}{S_S}\]
Données spécifiques :
  • \(P_S \approx 5403.54 \, \text{W}\)
  • \(Q_S \approx 3992.12 \, \text{VAR}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_S &= \sqrt{(5403.54)^2 + (3992.12)^2} \\ &= \sqrt{29198245.8 + 15937023.9} \\ &= \sqrt{45135269.7} \\ &\approx 6718.28 \, \text{VA} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \cos\phi_S &= \frac{5403.54 \, \text{W}}{6718.28 \, \text{VA}} \\ &\approx 0.8043 \end{aligned} \]

Le facteur de puissance à la source est légèrement inférieur à celui de la charge en raison de la puissance réactive consommée par la ligne.

Résultat Question 7 :
  • Puissance apparente à la source : \(S_S \approx 6718.28 \, \text{VA}\)
  • Facteur de puissance à la source : \(\cos\phi_S \approx 0.804\) (inductif)

Question 8 : Rendement (\(\eta\)) de la ligne de distribution

Principe :

Le rendement de la ligne de distribution est le rapport entre la puissance active consommée par la charge et la puissance active totale fournie par la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \frac{P_{charge}}{P_S}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{charge} = 5000 \, \text{W}\)
  • \(P_S \approx 5403.54 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{5000 \, \text{W}}{5403.54 \, \text{W}} \\ &\approx 0.9253 \\ &\approx 92.53\% \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le rendement de la ligne de distribution est \(\eta \approx 92.53\%\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Les pertes de puissance active dans une ligne de distribution sont principalement dues à :

2. Si le courant dans une ligne double, les pertes par effet Joule dans cette ligne :

3. Un facteur de puissance inductif à la charge signifie que la charge consomme :

Glossaire

Loi d'Ohm
Relation fondamentale \(V = RI\) liant la tension, le courant et la résistance dans un circuit électrique.
Puissance Active (\(P\))
Puissance réellement consommée ou produite dans un circuit, mesurée en Watts (W).
Puissance Réactive (\(Q\))
Puissance oscillant entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités), mesurée en Voltampères Réactifs (VAR).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S=VI\)). Mesurée en Voltampères (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos\phi\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Indique l'efficacité d'utilisation de la puissance.
Pertes en Ligne (Pertes Joule)
Puissance dissipée sous forme de chaleur dans la résistance des conducteurs d'une ligne de distribution, donnée par \(P = RI^2\).
Rendement de Distribution (\(\eta\))
Rapport entre la puissance utile délivrée à la charge et la puissance totale fournie par la source.
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance (\(R\)) et la réactance (\(X\)). \(Z = R + jX\).
Chute de Tension
Diminution de la tension le long d'une ligne de distribution due à son impédance.
Calcul des Pertes en Ligne

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