Dimensionnement de Câbles pour un Réseau

Comprendre le Dimensionnement des Câbles

Le dimensionnement correct des câbles électriques est une étape cruciale dans la conception de toute installation électrique sûre et efficace. Il s'agit de déterminer la section appropriée des conducteurs pour transporter l'énergie électrique de la source aux charges sans surchauffe excessive ni chute de tension inacceptable. Un câble mal dimensionné peut entraîner des risques d'incendie, des dysfonctionnements des équipements, une durée de vie réduite du câble et des pertes d'énergie importantes. Les deux critères principaux pour le dimensionnement sont le courant admissible (ampacité) du câble et la chute de tension maximale autorisée.

Cet exercice porte sur le dimensionnement du câble d'alimentation principal d'un petit atelier en courant alternatif triphasé.

Données de l'étude

Un petit atelier doit être alimenté en triphasé depuis le point de livraison de l'énergie. Le câble principal alimentera le tableau de distribution général de l'atelier.

Caractéristiques de l'alimentation et du réseau :

Type de réseau : Triphasé avec Neutre (3P+N)
Tension entre phases ( $U$ ) : $400 V$
Tension entre phase et neutre ( $V$ ) : $230 V$
Fréquence ( $f$ ) : $50 Hz$
Longueur du câble principal ( $L$ ) : $40 m$
Chute de tension maximale admissible dans ce câble ( $Δ U_{adm %}$ ) : $4 %$ de la tension nominale entre phases.

Charges prévues dans l'atelier (connectées au tableau de distribution) :

Charge 1 (Moteur triphasé) : Puissance active $P_{1} = 10 kW$ , facteur de puissance $\cos φ_{1} = 0.80$ (inductif).
Charge 2 (Éclairage) : Puissance active totale $P_{2} = 3 kW$ , facteur de puissance $\cos φ_{2} = 1$ . (Répartie sur les phases).
Charge 3 (Prises de courant) : Puissance apparente totale $S_{3} = 6 kVA$ , facteur de puissance $\cos φ_{3} = 0.90$ (inductif). (Répartie sur les phases).

Caractéristiques du câble et de l'installation :

Matériau des conducteurs : Cuivre
Résistivité du cuivre ( $ρ_{Cu}$ ) : $0.0225 {Ω.mm}^{2} / m$ (à la température de service)
Réactance linéique du câble ( $λ$ ) : $0.08 \times 10^{- 3} Ω/m$ (par phase)
Type d'isolant : PVC
Mode de pose : Sur chemin de câbles perforé, avec deux autres circuits de puissance (total 3 circuits groupés). Méthode de référence E.
Température ambiante : $40 °C$
Facteurs de correction à appliquer pour l'ampacité :
- Facteur de température ( $k_{T}$ ) pour PVC à $40 °C$ (température de référence $30 °C$ ) : $0.87$
- Facteur de groupement ( $k_{G}$ ) pour 3 circuits sur chemin de câbles : $0.70$
Courants admissibles de base ( $I_{Z 0}$ ) pour câbles Cu/PVC, méthode E, $30 °C$ (valeurs typiques) :
- $10 {mm}^{2}$ : $60 A$
- $16 {mm}^{2}$ : $80 A$
- $25 {mm}^{2}$ : $105 A$
- $35 {mm}^{2}$ : $130 A$

Schéma de Principe de l'Alimentation de l'Atelier

Schéma unifilaire simplifié de l'alimentation de l'atelier.

Questions à traiter

Calculer la puissance active ( $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ) et la puissance réactive ( $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ ) pour chaque type de charge.
Calculer la puissance active totale ( $P_{tot}$ ), la puissance réactive totale ( $Q_{tot}$ ), et la puissance apparente totale ( $S_{tot}$ ) de l'atelier.
Calculer le facteur de puissance global de l'atelier ( $\cos φ_{tot}$ ).
Calculer le courant total de ligne ( $I_{ligne}$ ) absorbé par l'atelier.
Déterminer la chute de tension maximale admissible en volts ( $Δ U_{adm, volts}$ ).
Calculer la section minimale du câble ( $S_{min, Vdrop}$ ) en ${mm}^{2}$ pour respecter la chute de tension admissible. Utiliser la formule : $S = \frac{\sqrt{3} \cdot L \cdot I_{ligne} (ρ \cos φ_{tot} + λ \sin φ_{tot})}{Δ U_{adm,volts}}$ .
Choisir une section normalisée ( $S_{choisie}$ ) parmi les valeurs fournies (10, 16, 25, 35 ${mm}^{2}$ ), immédiatement supérieure ou égale à $S_{min, Vdrop}$ .
Pour la section $S_{choisie}$ à la question précédente, calculer le courant admissible corrigé ( $I_{Z}$ ) en utilisant les facteurs de correction $k_{T}$ et $k_{G}$ , et le $I_{Z 0}$ correspondant à cette section.
Vérifier si le câble de section $S_{choisie}$ est adéquat en comparant $I_{ligne}$ à $I_{Z}$ . Conclure sur le choix de la section.

Correction : Dimensionnement de Câbles pour un Réseau

Question 1 : Puissances active ( $P$ ) et réactive ( $Q$ ) par charge

Principe :

Pour chaque charge, nous calculons la puissance active (P) et réactive (Q). Pour la charge 1 (Moteur) : $P_{1}$ est donnée, $Q_{1} = P_{1} \tan (\arccos (\cos φ_{1}))$ . Pour la charge 2 (Éclairage) : $P_{2}$ est donnée, $\cos φ_{2} = 1 \Rightarrow Q_{2} = 0$ . Pour la charge 3 (Prises) : $S_{3}$ et $\cos φ_{3}$ sont donnés. $P_{3} = S_{3} \cos φ_{3}$ , $Q_{3} = S_{3} \sin φ_{3} = S_{3} \sqrt{1 - \cos^{2} φ_{3}}$ .

Calculs :

Charge 1 (Moteur) :

$P_{1} = 10 kW$
$\cos φ_{1} = 0.80 \Rightarrow \sin φ_{1} = \sqrt{1 - {0.80}^{2}} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.60$

\begin{aligned} Q_{1} & = P_{1} \cdot \frac{\sin φ_{1}}{\cos φ_{1}} \\ = 10 kW \cdot \frac{0.60}{0.80} \\ = 10 kW \cdot 0.75 \\ = 7.5 kVAR \end{aligned}

Charge 2 (Éclairage) :

$P_{2} = 3 kW$
$\cos φ_{2} = 1 \Rightarrow Q_{2} = 0 kVAR$

Charge 3 (Prises de courant) :

$S_{3} = 6 kVA$
$\cos φ_{3} = 0.90 \Rightarrow \sin φ_{3} = \sqrt{1 - {0.90}^{2}} = \sqrt{1 - 0.81} = \sqrt{0.19} \approx 0.4359$

\begin{aligned} P_{3} & = S_{3} \cos φ_{3} \\ = 6 kVA \cdot 0.90 \\ = 5.4 kW \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{3} & = S_{3} \sin φ_{3} \\ = 6 kVA \cdot 0.4359 \\ \approx 2.615 kVAR \end{aligned}

Résultat Question 1 :

Charge 1: $P_{1} = 10 kW$ , $Q_{1} = 7.5 kVAR$
Charge 2: $P_{2} = 3 kW$ , $Q_{2} = 0 kVAR$
Charge 3: $P_{3} = 5.4 kW$ , $Q_{3} \approx 2.615 kVAR$

Question 2 : Puissances totales ( $P_{tot}$ , $Q_{tot}$ , $S_{tot}$ )

Principe :

Les puissances actives totales s'additionnent algébriquement, de même que les puissances réactives totales (en tenant compte de leur nature inductive ou capacitive, ici toutes inductives ou nulles). La puissance apparente totale est ensuite calculée vectoriellement.

Formule(s) utilisée(s) :

P_{tot} = P_{1} + P_{2} + P_{3}

Calcul :

\begin{aligned} P_{tot} & = 10 kW + 3 kW + 5.4 kW \\ = 18.4 kW \\ Q_{tot} & = 7.5 kVAR + 0 kVAR + 2.615 kVAR \\ = 10.115 kVAR \\ S_{tot} & = \sqrt{(18.4 kW)^{2} + (10.115 kVAR)^{2}} \\ = \sqrt{338.56 (kW)^{2} + 102.313225 (kVAR)^{2}} \\ = \sqrt{440.873225} kVA \\ \approx 20.997 kVA \end{aligned}

Nous arrondirons $S_{tot} \approx 21.00 kVA$ .

Résultat Question 2 :

Puissance active totale : $P_{tot} = 18.4 kW$
Puissance réactive totale : $Q_{tot} \approx 10.12 kVAR$
Puissance apparente totale : $S_{tot} \approx 21.00 kVA$

Question 3 : Facteur de puissance global ( $\cos φ_{tot}$ )

Principe :

Le facteur de puissance global est le rapport entre la puissance active totale et la puissance apparente totale.

Formule(s) utilisée(s) :

\cos φ_{tot} = \frac{P_{tot}}{S_{tot}}

Calcul :

\begin{aligned} \cos φ_{tot} & = \frac{18.4 kW}{20.997 kVA} \\ \approx 0.8763 \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le facteur de puissance global est

\cos φ_{tot} \approx 0.876

Question 4 : Courant total de ligne ( $I_{ligne}$ )

Principe :

Pour un système triphasé équilibré, le courant de ligne est calculé à partir de la puissance apparente totale et de la tension entre phases : $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I_{ligne}$ .

Formule(s) utilisée(s) :

I_{ligne} = \frac{S_{tot}}{\sqrt{3} \cdot U}

Données spécifiques :

Puissance apparente totale ( $S_{tot}$ ) : $\approx 20.997 kVA = 20997 VA$
Tension entre phases ( $U$ ) : $400 V$

Calcul :

\begin{aligned} I_{ligne} & = \frac{20997 VA}{\sqrt{3} \cdot 400 V} \\ = \frac{20997}{1.73205 \cdot 400} A \\ = \frac{20997}{692.82} A \\ \approx 30.307 A \end{aligned}

Nous arrondirons à $I_{ligne} \approx 30.31 A$ .

Résultat Question 4 : Le courant total de ligne est

I_{ligne} \approx 30.31 A

Question 5 : Chute de tension maximale admissible en volts ( $Δ U_{adm, volts}$ )

Principe :

La chute de tension admissible est un pourcentage de la tension nominale entre phases.

Formule(s) utilisée(s) :

Δ U_{adm, volts} = \frac{Δ U_{adm %}}{100} \cdot U

Données spécifiques :

Pourcentage de chute de tension admissible ( $Δ U_{adm %}$ ) : $4 %$
Tension nominale entre phases ( $U$ ) : $400 V$

Calcul :

\begin{aligned} Δ U_{adm, volts} & = \frac{4}{100} \cdot 400 V \\ = 0.04 \cdot 400 V \\ = 16 V \end{aligned}

Résultat Question 5 : La chute de tension maximale admissible est

Δ U_{adm, volts} = 16 V

Question 6 : Section minimale du câble ( $S_{min, Vdrop}$ ) pour la chute de tension

Principe :

La section est calculée pour que la chute de tension (entre phases) dans le câble ne dépasse pas la valeur admissible. La formule tient compte de la résistance ( $ρ / S$ ) et de la réactance ( $λ$ ) du câble.

Nous avons besoin de $\sin φ_{tot}$ . Si $\cos φ_{tot} \approx 0.8763$ , alors $φ_{tot} = \arccos (0.8763) \approx {28.79}^{\circ}$ . $\sin φ_{tot} = \sin ({28.79}^{\circ}) \approx 0.4816$ .

Formule(s) utilisée(s) :

S_{min, Vdrop} = \frac{\sqrt{3} \cdot L \cdot I_{ligne} (ρ \cos φ_{tot} + λ \sin φ_{tot})}{Δ U_{adm,volts}}

Où $ρ$ est en ${Ω.mm}^{2} / m$ , $L$ en $m$ , $I$ en $A$ , $λ$ en $Ω/m$ , $Δ U$ en $V$ , et $S$ sera en ${mm}^{2}$ .

Note : La formule de la chute de tension triphasée est $Δ U = \sqrt{3} \cdot I_{ligne} \cdot L \cdot (\frac{ρ}{S} \cos φ_{tot} + λ \sin φ_{tot})$ . En réarrangeant pour $S$ , on obtient : $S = \frac{\sqrt{3} \cdot I_{ligne} \cdot L \cdot ρ \cos φ_{tot}}{Δ U_{adm,volts} - \sqrt{3} \cdot I_{ligne} \cdot L \cdot λ \sin φ_{tot}}$ . C'est cette dernière formule qui est la plus correcte pour isoler S.

Données spécifiques :

Longueur ( $L$ ) : $40 m$
Courant de ligne ( $I_{ligne}$ ) : $\approx 30.31 A$
Résistivité cuivre ( $ρ$ ) : $0.0225 {Ω.mm}^{2} / m$
Réactance linéique ( $λ$ ) : $0.00008 Ω/m$
$\cos φ_{tot} \approx 0.8763$
$\sin φ_{tot} \approx 0.4816$
$Δ U_{adm,volts} = 16 V$

Calcul :

Calcul du terme $\sqrt{3} \cdot I_{ligne} \cdot L \cdot ρ \cos φ_{tot}$ (Numérateur du terme résistif) :

\begin{aligned} Num. Terme Résistif & = \sqrt{3} \cdot 30.307 A \cdot 40 m \cdot 0.0225 {Ω.mm}^{2} / m \cdot 0.8763 \\ \approx 1.73205 \cdot 30.307 \cdot 40 \cdot 0.0225 \cdot 0.8763 \\ \approx 41.312 V \cdot {mm}^{2} \end{aligned}

Calcul du terme $\sqrt{3} \cdot I_{ligne} \cdot L \cdot λ \sin φ_{tot}$ (Partie réactive de la chute de tension) :

\begin{aligned} Δ U_{réactif} & = \sqrt{3} \cdot 30.307 A \cdot 40 m \cdot 0.00008 Ω/m \cdot 0.4816 \\ \approx 1.73205 \cdot 30.307 \cdot 40 \cdot 0.00008 \cdot 0.4816 \\ \approx 0.0809 V \end{aligned}

Calcul de la section $S_{min, Vdrop}$ :

\begin{aligned} S_{min, Vdrop} & = \frac{Num. Terme Résistif}{Δ U_{adm,volts} - Δ U_{réactif}} \\ = \frac{41.312 V \cdot {mm}^{2}}{16 V - 0.0809 V} \\ = \frac{41.312}{15.9191} {mm}^{2} \\ \approx 2.5951 {mm}^{2} \end{aligned}

Résultat Question 6 : La section minimale du câble pour la chute de tension est

S_{min, Vdrop} \approx 2.60 {mm}^{2}

Question 7 : Choix de la section normalisée ( $S_{choisie}$ )

Principe :

On choisit la section normalisée immédiatement supérieure ou égale à la section minimale calculée pour la chute de tension ( $S_{min, Vdrop}$ ).

Données spécifiques :

$S_{min, Vdrop} \approx 2.60 {mm}^{2}$
Sections normalisées pour lesquelles $I_{Z 0}$ est fourni : 10, 16, 25, 35 ${mm}^{2}$ . Les sections plus petites courantes sont 2.5, 4, 6 ${mm}^{2}$ .

Choix :

La plus petite section normalisée standard qui est supérieure ou égale à $2.60 {mm}^{2}$ est $4 {mm}^{2}$ . Cependant, pour utiliser les données de courant admissible fournies, nous devons choisir parmi 10, 16, 25, ou 35 ${mm}^{2}$ . La plus petite de ces sections qui respecte la condition de chute de tension (puisque $10 > 2.60$ ) est $10 {mm}^{2}$ . Nous allons donc choisir $S_{choisie} = 10 {mm}^{2}$ pour vérifier ensuite le critère d'ampacité.

Résultat Question 7 : La section normalisée choisie (parmi les options avec

I_{Z 0}

donné) est

S_{choisie} = 10 {mm}^{2}

Question 8 : Courant admissible corrigé ( $I_{Z}$ ) pour $S_{choisie}$

Principe :

Calculer $I_{Z}$ pour la section choisie ( $10 {mm}^{2}$ ) en utilisant son $I_{Z 0}$ et les facteurs de correction $k_{T}$ et $k_{G}$ .

Formule(s) utilisée(s) :

I_{Z} = I_{Z 0} \cdot k_{T} \cdot k_{G}

Données spécifiques :

$S_{choisie} = 10 {mm}^{2}$
$I_{Z 0}$ pour $10 {mm}^{2}$ Cu/PVC, méthode E, $30 °C$ : $60 A$
Facteur de température ( $k_{T}$ ) : $0.87$
Facteur de groupement ( $k_{G}$ ) : $0.70$

Calcul :

\begin{aligned} I_{Z} & = 60 A \cdot 0.87 \cdot 0.70 \\ = 60 A \cdot 0.609 \\ = 36.54 A \end{aligned}

Résultat Question 8 : Le courant admissible corrigé pour un câble de

10 {mm}^{2}

est

I_{Z} = 36.54 A

Question 9 : Vérification finale et conclusion

Principe :

Comparer le courant de ligne ( $I_{ligne}$ ) au courant admissible corrigé ( $I_{Z}$ ) de la section choisie ( $10 {mm}^{2}$ ). La section est adéquate si $I_{ligne} \leq I_{Z}$ . La condition de chute de tension a déjà été satisfaite par le choix de $S_{choisie} \geq S_{min, Vdrop}$ .

Comparaison :

Courant de ligne ( $I_{ligne}$ ) : $\approx 30.31 A$
Courant admissible corrigé pour $10 {mm}^{2}$ ( $I_{Z}$ ) : $36.54 A$

30.31 A \leq 36.54 A (Condition respectée)

La section de $10 {mm}^{2}$ a été choisie car elle est supérieure à $S_{min, Vdrop} \approx 2.60 {mm}^{2}$ . Le courant admissible corrigé pour $10 {mm}^{2}$ ( $36.54 A$ ) est supérieur au courant de ligne ( $30.31 A$ ). Les deux conditions (chute de tension et ampacité) sont donc respectées avec une section de $10 {mm}^{2}$ .

Résultat Question 9 : Le câble de section

10 {mm}^{2}

est adéquat. Il respecte la chute de tension maximale admissible (

S_{choisie} > S_{min, Vdrop}

) et sa capacité de transport de courant corrigée (

I_{Z} = 36.54 A

) est supérieure au courant de la ligne (

I_{ligne} = 30.31 A

Glossaire

Dimensionnement de câble: Processus de sélection de la section appropriée d'un conducteur électrique pour une application donnée, en fonction du courant à transporter, de la chute de tension admissible, des conditions d'installation et des normes.
Courant Admissible ( $I_{Z}$ , Ampacité): Courant maximal qu'un conducteur ou un câble peut transporter en permanence, dans des conditions spécifiées, sans que sa température de régime permanent ne dépasse la valeur spécifiée pour son isolant.
Chute de Tension ( $Δ U$ ): Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et à sa réactance, et au courant qui le traverse. Exprimée en Volts ( $V$ ) ou en pourcentage (%) de la tension initiale.
Puissance Active ( $P$ ): Partie de la puissance électrique qui produit un travail utile ou de la chaleur. Unité : Watt ( $W$ ).
Puissance Réactive ( $Q$ ): Partie de la puissance électrique associée aux champs magnétiques et électriques dans les charges inductives ou capacitives. Unité : Voltampère réactif ( $VAR$ ).
Puissance Apparente ( $S$ ): Combinaison vectorielle des puissances active et réactive. Unité : Voltampère ( $VA$ ). En triphasé : $S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I$ .
Facteur de Puissance ( $\cos φ$ ): Rapport entre la puissance active et la puissance apparente ( $P / S$ ). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance électrique est convertie en travail utile.
Résistivité ( $ρ$ ): Propriété intrinsèque d'un matériau caractérisant sa capacité à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm-mètre ( $Ω.m$ ) ou Ohm.millimètre carré par mètre ( ${Ω.mm}^{2} / m$ ).
Réactance Linéique ( $λ$ ): Partie imaginaire de l'impédance linéique d'un câble, due à son inductance et à sa capacité. Unité : Ohm par mètre ( $Ω/m$ ) ou Ohm par kilomètre ( $Ω/km$ ).
Facteur de Correction de Température ( $k_{T}$ ): Coefficient utilisé pour ajuster le courant admissible d'un câble en fonction de la différence entre la température ambiante réelle et la température de référence pour laquelle le courant admissible de base est donné.
Facteur de Correction de Groupement ( $k_{G}$ ): Coefficient utilisé pour ajuster le courant admissible d'un câble lorsque plusieurs câbles ou circuits sont groupés, en raison de la réduction mutuelle de la dissipation thermique.

Dimensionnement de Câbles pour un Réseau

Données de l'étude

Schéma de Principe de l'Alimentation de l'Atelier

Questions à traiter

Correction : Dimensionnement de Câbles pour un Réseau

Question 1 : Puissances active (P) et réactive (Q) par charge

Principe :

Calculs :

Question 2 : Puissances totales (Ptot, Qtot, Stot)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 3 : Facteur de puissance global (cos⁡φtot)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Question 4 : Courant total de ligne (Iligne)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 5 : Chute de tension maximale admissible en volts (ΔUadm, volts)

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 6 : Section minimale du câble (Smin, Vdrop) pour la chute de tension

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 7 : Choix de la section normalisée (Schoisie)

Principe :

Données spécifiques :

Choix :

Question 8 : Courant admissible corrigé (IZ) pour Schoisie

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 9 : Vérification finale et conclusion

Principe :

Comparaison :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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Question 1 : Puissances active ( $P$ ) et réactive ( $Q$ ) par charge

Question 2 : Puissances totales ( $P_{tot}$ , $Q_{tot}$ , $S_{tot}$ )

Question 3 : Facteur de puissance global ( $\cos φ_{tot}$ )

Question 4 : Courant total de ligne ( $I_{ligne}$ )

Question 5 : Chute de tension maximale admissible en volts ( $Δ U_{adm, volts}$ )

Question 6 : Section minimale du câble ( $S_{min, Vdrop}$ ) pour la chute de tension

Question 7 : Choix de la section normalisée ( $S_{choisie}$ )

Question 8 : Courant admissible corrigé ( $I_{Z}$ ) pour $S_{choisie}$