Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de la Surface d’un Condensateur

Calcul de la Surface d’un Condensateur Plan

Calcul de la Surface d’un Condensateur Plan

Comprendre la Capacité d'un Condensateur Plan

Un condensateur plan est le type de condensateur le plus simple à analyser. Il est constitué de deux plaques conductrices parallèles, d'aire \(A\), séparées par une distance \(d\). L'espace entre les plaques est rempli d'un matériau diélectrique caractérisé par sa permittivité \(\varepsilon\). La capacité \(C\) d'un tel condensateur dépend directement de ces paramètres géométriques et des propriétés du diélectrique. Connaître la relation entre ces grandeurs permet de concevoir des condensateurs avec des capacités spécifiques ou, inversement, de déterminer les dimensions requises pour une capacité donnée.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un condensateur plan d'une capacité \(C = 100 \, \text{pF}\) (picofarads).

Les deux plaques conductrices parallèles sont séparées par une couche d'air d'épaisseur \(d = 0,50 \, \text{mm}\).

On demande de calculer la surface \(A\) que doit avoir chacune des plaques.

Constantes :

  • Permittivité du vide (et approximativement de l'air) : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Schéma : Condensateur Plan
{/* Plaque supérieure */} {/* Plaque inférieure */} {/* Diélectrique (air) */} {/* Lignes de champ (qualitatif) */} Surface A {/* Distance d */} d Condensateur à plaques parallèles

Condensateur plan avec des plaques de surface A séparées par une distance d.

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule de la capacité \(C\) d'un condensateur plan en fonction de la surface \(A\) de ses armatures, de la distance \(d\) qui les sépare, et de la permittivité \(\varepsilon\) du diélectrique entre elles.
  2. Réarranger cette formule pour exprimer la surface \(A\) en fonction de \(C\), \(d\), et \(\varepsilon\).
  3. Convertir toutes les données fournies dans les unités du Système International (SI).
  4. Calculer la surface \(A\) requise pour chaque plaque du condensateur.
  5. Si on voulait réduire la surface \(A\) de moitié tout en conservant la même capacité \(C = 100 \, \text{pF}\) et en utilisant le même diélectrique (air), comment devrait-on modifier la distance \(d\) entre les plaques ?

Correction : Calcul de la Surface d’un Condensateur Plan

Question 1 : Formule de la capacité \(C\) d'un condensateur plan

Principe :

La capacité d'un condensateur plan est directement proportionnelle à la surface des armatures et à la permittivité du diélectrique, et inversement proportionnelle à la distance entre les armatures.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \varepsilon \frac{A}{d} \]

Où \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\). Pour l'air, \(\varepsilon_r \approx 1\), donc \(\varepsilon \approx \varepsilon_0\).

Résultat Question 1 : La formule de la capacité est \(C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\) (pour l'air).

Question 2 : Expression de la surface \(A\)

Principe :

On isole \(A\) à partir de la formule de la capacité.

Calcul :
\[ \begin{aligned} C &= \varepsilon_0 \frac{A}{d} \\ C \cdot d &= \varepsilon_0 A \\ A &= \frac{C d}{\varepsilon_0} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La surface \(A\) est donnée par \(A = \frac{C d}{\varepsilon_0}\).

Question 3 : Conversion des données en unités SI

Principe :

Il est essentiel d'utiliser des unités cohérentes (SI) dans les calculs pour obtenir un résultat correct.

Données et Conversions :
  • Capacité \(C = 100 \, \text{pF} = 100 \times 10^{-12} \, \text{F} = 1,0 \times 10^{-10} \, \text{F}\)
  • Distance \(d = 0,50 \, \text{mm} = 0,50 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Permittivité du vide \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Résultat Question 3 : Les données converties sont \(C = 1,0 \times 10^{-10} \, \text{F}\), \(d = 0,50 \times 10^{-3} \, \text{m}\), et \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un picofarad (pF) équivaut à :

Question 4 : Calcul de la surface \(A\)

Principe :

On utilise la formule pour \(A\) avec les valeurs converties en unités SI.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{C d}{\varepsilon_0}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{(1,0 \times 10^{-10} \, \text{F}) \times (0,50 \times 10^{-3} \, \text{m})}{8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}} \\ &= \frac{0,50 \times 10^{-13} \, \text{F} \cdot \text{m}}{8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}} \\ &= \frac{0,50}{8,854} \times 10^{-13 - (-12)} \, \text{m}^2 \\ &= \frac{0,50}{8,854} \times 10^{-1} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,05647 \times 10^{-1} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0,005647 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Pour convertir en \(\text{cm}^2\) (sachant que \(1 \, \text{m}^2 = 10^4 \, \text{cm}^2\)) :

\[ A \approx 0,005647 \times 10^4 \, \text{cm}^2 = 56,47 \, \text{cm}^2 \]
Résultat Question 4 : La surface requise pour chaque plaque est \(A \approx 0,005647 \, \text{m}^2\), soit environ \(56,47 \, \text{cm}^2\).

Question 5 : Modification de la distance \(d\) pour réduire \(A\) de moitié

Principe :

On part de la formule \(C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\). Si \(C\) et \(\varepsilon_0\) sont constants, et que la nouvelle surface \(A'\) est \(A/2\), on cherche la nouvelle distance \(d'\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = \varepsilon_0 \frac{A'}{d'} \quad \text{avec} \quad A' = \frac{A}{2} \]
Calcul :

Initialement : \(C = \varepsilon_0 \frac{A}{d}\).

Nouvelle configuration : \(C = \varepsilon_0 \frac{A/2}{d'}\).

Puisque la capacité \(C\) doit rester la même :

\[ \begin{aligned} \varepsilon_0 \frac{A}{d} &= \varepsilon_0 \frac{A/2}{d'} \\ \frac{A}{d} &= \frac{A}{2d'} \\ \frac{1}{d} &= \frac{1}{2d'} \\ 2d' &= d \\ d' &= \frac{d}{2} \end{aligned} \]

Pour réduire la surface de moitié tout en gardant la même capacité (et le même diélectrique), il faut aussi diviser la distance entre les plaques par deux.

\[ \begin{aligned} d' &= \frac{0,50 \, \text{mm}}{2} \\ &= 0,25 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Pour réduire la surface \(A\) de moitié tout en conservant la même capacité \(C\), il faudrait réduire la distance \(d\) de moitié, soit \(d' = 0,25 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la permittivité \(\varepsilon_0\) du diélectrique entre les plaques d'un condensateur plan double (par exemple, en remplaçant l'air par un autre matériau), et que la surface A et la distance d restent constantes, la capacité C :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La capacité d'un condensateur plan est directement proportionnelle à :

2. Si la distance \(d\) entre les plaques d'un condensateur plan est triplée, et que tous les autres paramètres restent constants, sa capacité :

3. L'unité de la permittivité \(\varepsilon_0\) est :

Glossaire

Condensateur Plan
Condensateur formé de deux plaques conductrices planes et parallèles, séparées par un diélectrique.
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à emmagasiner une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. \(C = Q/V\). Unité : Farad (F).
Surface des Armatures (\(A\))
Aire de l'une des plaques conductrices d'un condensateur plan. Unité : mètre carré (\(\text{m}^2\)).
Distance entre Armatures (\(d\))
Séparation entre les plaques conductrices d'un condensateur plan. Unité : mètre (m).
Permittivité (\(\varepsilon\))
Propriété d'un matériau diélectrique qui décrit sa capacité à polariser en réponse à un champ électrique. Elle est souvent exprimée comme \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0\), où \(\varepsilon_r\) est la permittivité relative (ou constante diélectrique) et \(\varepsilon_0\) est la permittivité du vide. Unité : Farad par mètre (F/m).
Permittivité du Vide (\(\varepsilon_0\))
Constante physique fondamentale, \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Picofarad (pF)
Unité de capacité égale à \(10^{-12}\) farads.
Calcul de la Surface d’un Condensateur

D’autres exercices d’électricité statique:

Calcul de la Force Électrostatique
Calcul de la Force Électrostatique

Calcul de la Force Électrostatique Calcul de la Force Électrostatique (Loi de Coulomb) Comprendre la Force Électrostatique La force électrostatique, décrite par la loi de Coulomb, est la force d'attraction ou de répulsion qui s'exerce entre deux particules chargées....

Structure de l’Atome et Charge Électrique
Structure de l’Atome et Charge Électrique

Structure de l’Atome et Charge Électrique Structure de l’Atome et Charge Électrique Comprendre la Structure Atomique et la Charge Électrique Toute matière est constituée d'atomes, qui sont eux-mêmes composés de particules subatomiques : les protons, les neutrons et...

Calcul du moment dipolaire
Calcul du moment dipolaire

Calcul du Moment Dipolaire Électrique Calcul du Moment Dipolaire Électrique Comprendre le Moment Dipolaire Électrique Un dipôle électrique est un système fondamental en électrostatique, constitué de deux charges électriques de même magnitude \(q\) mais de signes...

Interaction entre Sphères Conductrices
Interaction entre Sphères Conductrices

Interaction entre Sphères Conductrices Chargées Interaction entre Sphères Conductrices Chargées Comprendre l'Interaction entre Sphères Conductrices Lorsque des conducteurs chargés sont mis en présence ou connectés, les charges se redistribuent jusqu'à ce qu'un nouvel...

Calcul de la force exercée sur une charge
Calcul de la force exercée sur une charge

Calcul de la Force exercée sur une Charge Ponctuelle Calcul de la Force exercée sur une Charge Ponctuelle Comprendre la Force Électrostatique sur une Charge Ponctuelle La force électrostatique est l'une des interactions fondamentales de la nature. Elle décrit comment...

Calculs de Surface et Densité de Charge
Calculs de Surface et Densité de Charge

Calculs de Surface et Densité de Charge sur un Cylindre Calculs de Surface et Densité de Charge sur un Cylindre Comprendre les Densités de Charge et les Aires de Surface En électrostatique, lorsqu'une charge est répartie sur la surface d'un objet, il est utile de...

Calcul et Implications du Moment Dipolaire
Calcul et Implications du Moment Dipolaire

Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique Calcul et Implications du Moment Dipolaire Électrique Comprendre le Moment Dipolaire Électrique Un dipôle électrique est formé par un couple de charges électriques de même magnitude \(q\) mais de signes opposés,...

Forces entre Particules Chargées dans le Vide
Forces entre Particules Chargées dans le Vide

Forces entre Particules Chargées dans le Vide Forces entre Particules Chargées dans le Vide Comprendre la Loi de Coulomb et le Principe de Superposition La loi de Coulomb décrit la force électrostatique entre deux charges ponctuelles. Cette force est directement...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *